Cours 03 Principe Fondamental de la dynamique

CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
PFD
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
1- Principe fondamental
Soit un système matériel E.
En tout point M de ce système, on associe à un volume
élémentaire dv un scalaire positif dm tel que dm = ρ (M ).dv
où ρ (M ) est la masse volumique en ce point.
On peut caractériser le comportement de ce système
matériel par différents torseurs
M, dm
(E)
Ω

Torseur cinématique :
{V( E / R ) }=  ( S / R ) 
V

A  ( A, S / R ) 
 R ( E → E ) 
Torseur des actions extérieures : {T ( E → E )}= 


M
( E → E )


A
A
R,t
m V( G / R ) 

=




σ
AM
∧
V
( M / R ) dm 



A
∫
(
E
/
R
)



M
∈
E
A
A
 V ( M / R ) dm
Torseur cinétique : {C ( E / R )}= ∫M ∈E
∫M ∈E Γ ( M / R ) dm
 m Γ 
 (G / R ) 
Torseur dynamique : {D ( E / R )}= 
 = 

AM
∧
Γ
( M / R ) dm 
δ



∫
A
(
E
/
R
)
 A
A  M ∈E
Définition :
Il existe un repère Rg, appelé repère galiléen, et une chronologie, appelée chronologie galiléenne,
tels que pour tout ensemble matériel (E), le torseur des actions extérieures appliquées à (E) soit égal
au torseur dynamique de (E) dans son mouvement par rapport à Rg.
Le repère galiléen et la chronologie galiléenne sont aussi appelés « espace-temps » galiléen.
{T
} = {D
(E → E)
}
(E / R )
g
On peut également énoncer ce principe en sens inverse, suivant les objectifs de l’étude où l’on est
amené à l’utiliser :
{D
} = {T
(E / Rg )
}
(E → E)
M Salette- Lycée Brizeux- Quimper
Définition d’un repère galiléen :
Un espace-temps est défini en associant :
à l’espace matériel environnant, un espace affine euclidien à trois dimensions dont la norme est
appelée longueur (unité de longueur : le mètre).
au temps, un espace affine à une dimension et une échelle de temps (unité de temps : la
seconde).
L’ensemble d’un repère d’espace et d’un repère de temps constitue un « référentiel ». Le référentiel
ou repère galiléen sera noté Rg.
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TD
Exemples d’espaces-temps galiléens approchés :
le repère de Copernic, défini par le centre d’inertie du système solaire (sensiblement le centre du
soleil) et les directions stellaires, constitue une bonne approximation d’espace galiléen. Ce repère
convient pour l’étude des fusées interplanétaires.
le repère lié au centre d’inertie de la Terre et dont les axes sont définis par les directions
stellaires (repère en translation non rectiligne et non uniforme par rapport à l’espace de Copernic)
convient pour l’étude du mouvement de corps restant au voisinage de la Terre, ou pour des
expériences de longue durée.
le repère lié à la Terre convient dans la plupart des mécanismes étudiés sur terre, sauf dans les
cas particuliers suivants :
⇒ étude des mouvements sur un temps très long (pendule de Foucault),
⇒ étude de mouvements très rapides (gyroscopes).
2- Théorèmes généraux de la dynamique
Théorème de la résultante dynamique :
Pour tout système matériel E, la résultante dynamique (galiléenne) est égale à la résultante des
efforts extérieurs appliqués sur ce système :
mE .Γ( G , E / R ) = R( E → E ) ou R( E → E ) = mE .Γ ( G , E / R
g
g
)
Théorème du moment dynamique :
Pour tout système matériel E, le moment dynamique (galiléen) est égal au moment résultant des
efforts extérieurs appliqués sur ce système :
δ A ( E / R ) = Μ A ( E → E ) ou Μ A ( E → E ) = δ A ( E / R )
g
g
3- Equations différentielles de mouvement
Soit un système matériel E, en mouvement dans un repère Rg considéré comme galiléen. Ce
système matériel est défini en position dans le repère Rg par un ensemble de paramètres qi (t) .
L’application du principe fondamental de la dynamique fait donc intervenir des relations entre les
&&i (t ) et les efforts extérieurs
paramètres qi (t) , leurs dérivées premières q&i (t ) et secondes q
s’appliquant sur E.
&&i (t ) et
Si certains de ces paramètres sont inconnus, les relations liant ces paramètres qi (t ) , q&i (t ) , q
les efforts connus sont appelées équations différentielles du mouvement . Ces équations (du
second ordre) permettent par leur intégration de déterminer la loi du mouvement des éléments du
système, à partir de conditions initiales connues.
Exemple 1: comportement d’une masse ponctuelle en mouvement horizontal reliée au
bâti par un ressort
x
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TD
La masse m étant en mouvement de translation rectiligne, on a
{C }
(S / R)
m V( G / R )  m x& x 
= 
= 
 et


σ
0


G  G(S / R)  G 
m Γ( G / R )  m &x& x 
= 
= 



δ
0


G  G(S / R)  G 
{D }
(E / R)
Bilan des actions extérieures exercées sur la masse m :
Action dans la liaison glissière avec le bâti
Action du ressort :
F = −k ( x − x 0 ).x
où x0 est la longueur à vide du ressort.
Action de la pesanteur
Le théorème de la résultante, en projection sur l’axe
m.&x& = − k ( x − x0 ) soit m.&x& + k .x = cste
x
se traduit par
Cette équation différentielle du deuxième ordre à second membre constant admet une solution sous
la forme x =
V0
ω0
sin (ω0.t + ϕ) avec
ω0 =
k
m
Exemple 2: comportement d’une barre oscillant autour d’un axe horizontal
La barre est supposée d’épaisseur négligeable
devant sa longueur l.
Sa masse est m, son centre d’inertie est G
0
O
Sa matrice d’inertie par rapport au point O dans le
repère lié à la pièce 1 est de la forme :


IO,1 = 0
0

0

O
0
m.l 2
3
0

0 

0 

m.l 2 
3  x , y , z
1
On en déduit donc que
δ O ,1 / 0 =
1
z0
y0
α
1
σ O ,1/ 0
m.l 2 &
=
.θ .z
3
G
x0
et que
1
2
m.l &&
.θ .z
3
Bilan des actions extérieures exercées sur la barre:
Action dans la liaison pivot
Action de la pesanteur.
x1
Pour ne pas faire intervenir les inconnues de liaison,
on applique le théorème du moment dynamique en projection sur l’axe
z
2
On obtient donc m.l .θ&& = − m.g . l sin θ
3
2
Si l’angle θ reste faible, on a donc sin θ ≈ θ
2
d’où l’équation différentielle du deuxième ordre : m.l .θ&& + m.g . l
3
2
θ =0
qui admet une solution sous la forme θ = θ0 sin (ω0.t + ϕ) avec ω =
0
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2.l
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