Cours de transistor MOS

Cours 5GPM
Edition 2000-2001
TRANSISTOR MOS A EFFET DE CHAMP
Eléments de théorie et de pratique
P. MASSON
et
J.L. AUTRAN
Edition 2000-2001
INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
Département Science et Génie des Matériaux
DEA Dispositif de l’Electronique Intégrée
-2-
Avertissement
Le présent document est la deuxième version d'un cours sur le transistor métal-oxydesemiconducteur (MOS) à effet de champ. L'étude théorique est restreinte au cas du
transistor à canal n dans un régime non saturé (avant pincement du canal). Le cas du
transistor à canal p est traité (intégralement) en annexe.
Les auteurs tiennent à remercier très sincèrement G. Ghibaudo et P. Gentil (LPCS,
ENSERG, Grenoble) pour leurs suggestions et leur lecture critique du document. Ils
remercient également par avance les lecteurs qui voudront bien leur faire part de leurs
remarques et corrections concernant le fond et la forme du document.
Copyright © 1998, 2000 P. Masson et J.L. Autran. Tous droits réservés.
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-4-
Table des matières
Avertissement ................................................................................................. 3
Table des matières ......................................................................................... 5
Table des symboles ......................................................................................... 7
Introduction générale ................................................................................. 11
Chapitre I :
Etude préliminaire du transistor MOS ........................... 12
I.1.
Convention d’écriture .......................................................................................... 12
I.2.
Densité de porteurs dans le semi-conducteur................................................. 13
I.3.
Expression préliminaire du courant ................................................................. 15
I.3.1. Séparation des termes de diffusion et de conduction ........................................... 16
I.3.2. Association des termes de diffusion et de conduction .......................................... 16
I.4. Détermination de la charge totale dans le semi-conducteur QSC ................ 18
I.4.1. Expression de la charge QSC ................................................................................. 18
I.4.2. Cas de l’inversion faible et forte ........................................................................... 21
I.5. Détermination de la charge de la zone désertée QD....................................... 22
I.6.
Détermination de la charge d’inversion Qn ..................................................... 23
I.7.
Expression de  S en fonction de V(x), VGS et VBS ............................................ 24
I.8.
Dépendance des différents paramètres avec la distance à l’interface....... 26
Chapitre II : Le transistor MOS en inversion faible avant saturation
................................................................................................ 29
II.1. Approche complète : courant de diffusion et de conduction ....................... 29
II.1.1. Expression analytique du potentiel de surface .................................................... 29
II.1.2. Expression du courant en inversion faible ........................................................... 31
II.1.3. Détermination de C(x) ........................................................................................ 32
II.1.4. Illustration ............................................................................................................ 34
I.3. Approche simplifiée (courant de diffusion) ..................................................... 36
I.3.1. Calcul de la relation IDS(S) ................................................................................... 36
Chapitre III : Le transistor MOS en inversion forte avant saturation 39
III.1. Expression préliminaire du courant ................................................................. 39
III.2. Expression de QSC.................................................................................................. 40
Expression de QD.............................................................................................................. 40
-5-
Expression du courant.................................................................................................... 41
Expression de la mobilité ............................................................................................... 42
5.1. Collisions sur les phonons ........................................................................................ 43
5.2. Collisions coulombiennes ...................................................................................... 43
5.3. Collisions sur la rugosité de surface ..................................................................... 43
5.4. Mobilité effective en inversion forte ......................................................................... 44
La transconductance....................................................................................................... 47
Exemple ............................................................................................................................. 47
-6-
Table des symboles
Ar
m2
Section droite du canal
CD0
F m-2
Capacité associée à la zone désertée pour S = S0
Cit
F m-2
Capacité associée aux états d’interface
Cox
F m-2
Capacité d’oxyde
cn
m-3
Coefficient de capture des électrons
cp
m-3 s-1
Coefficient de capture des trous
Dit
J-1 m-2
Densité d’états d’interface
Dn
m2 s-1
Coefficient de diffusion des électrons
E
J
Energie
EC
J
Energie du niveau le plus bas de la bande de conduction
ECS
J
Energie du niveau le plus bas de la bande de conduction à l’interface
EF
J
Energie du niveau de Fermi dans le semi-conducteur loin de l’interface
EFn
J
Energie du quasi niveau de Fermi pour les électrons
EFp
J
Energie du quasi niveau de Fermi pour les trous
EFM
J
Energie du niveau de Fermi dans le semi-conducteur
Eg
J
Largeur de la bande interdite du semi-conducteur
Ei
J
Niveau d’énergie intrinsèque loin de l’interface
EiS
J
Niveau d’énergie intrinsèque à l’interface
ET
J
Energie d’un niveau piège dans la bande interdite du semi-conducteur
EV
J
Energie du niveau le plus haut de la bande de valence loin de l’interface
EVS
J
s-1
Energie du niveau le plus haut de la bande de valence à l’interface

V
F

m-1
V-1
Champ électrique
Facteur d’occupation de Fermi pour les électrons
gm
A
Transconductance
IDS
A
Courant Drain - Source
Jn
A m-2
Densité de courant d’électrons en chaque point du canal
k
J K-1
Constante de Boltzmann (k = 1.381023 J.K-1)
L
m
Longueur de canal dessinée
LB
m
Longueur de Debye extrinsèque
NA
m-3
Concentration en atomes accepteurs
ND
m-3
Concentration en atomes donneurs
n
m-3
Concentration d’électrons libres dans le semi-conducteur
ni
m-3
Concentration intrinsèque d'électrons dans le semi-conducteur
nS
m-3
Concentration d'électrons à l’interface
-7-
n0
m-3
Concentration d’électrons libres dans le substrat loin de l’interface
n1
m-3
Concentration d’électrons dans le cas où EF = ET
p
m-3
Concentration des trous libres dans le semi-conducteur
pS
m-3
Concentration des trous à l’interface
p0
m-3
Concentration d’électrons libres dans le substrat loin de l’interface
p1
m-3
Concentration de trous dans le cas où EF = ET
Qox
C m-2
Charge dans l’oxyde
QD
C m-2
Charge dans la zone désertée du semi-conducteur
QD0
C m-2
Charge dans la zone désertée du semi-conducteur pour S = S0
Qit
C m-2
Charge due aux états d’interface
Qit0d, Qit0a C m-2
Qit0ad, Qit0
Charges constantes dues aux états d’interface selon le type d’état
QSC
C m-2
Charge dans le semi-conducteur
Qn
C m-2
Charge de la couche d’inversion
q
C
Valeur absolue de la charge de l’électron (1.60210-19 C)
RSD

Résistance série
tox
m
Epaisseur d’oxyde
T
K
Température absolue
V(x)
V
Potentiel le long du canal du à la polarisation Drain - Source
VBS
V
Tension Substrat - Source
VDS
V
Tension Drain - Source
VFB
V
Tension VGS pour laquelle S = 0 à la source
VGS
V
Tension Grille – Source
Vox
V
Tension aux bornes de l’oxyde
Vmg
V
Tension VGS pour laquelle S = F à la source
VT
V
Tension de seuil du transistor
Vth
V
Tension VGS pour laquelle S = 2F à la source
VText
V
Tension de seuil extrapolée du transistor
W
m
Largeur de canal dessinée
yd
m
Largeur de la zone désertée
ydM
m
Extension maximale de la zone désertée (inversion forte)
yi
m
Epaisseur de la couche d’inversion

V
Potentiel thermique (q/kT)
L
m
Sur-gravure de la longueur du canal
W
m
Sur-gravure de la largeur du canal
0
F m-1
Permittivité du vide (8.8510-12 F.m-1)
ox

Constante diélectrique de l’oxyde (3.82)
SC

Constante diélectrique du semi-conducteur (11.9)
Si
F m-1
Permittivité du semi-conducteur (0SC)
-8-
1
V-1
Facteur d’atténuation linéaire de la mobilité dans le canal
2
V-2
Facteur d’atténuation quadratique de la mobilité dans le canal
µ0
m2V-1s-1
Mobilité des électrons dans le canal à faible champ électrique
µeff
m2V-1s-1 Mobilité effective des électrons dans le canal

C m-3
Densité volumique de charge
C
V
Ecart entre les quasi niveaux de Fermi
F
V
Potentiel de volume du semi-conducteur

V
Potentiel dans le semi-conducteur
S
V
Potentiel de surface du semi-conducteur
S0
V
Valeur particulière
S0 = 1.5 F  VBS
du potentiel de
-9-
surface du semi-conducteur :
- 10 -
Introduction générale
La connaissance des équations modélisant le courant de conduction du transistor MOS à
effet de champ est essentielle, aussi bien pour étudier son comportement électrique que
pour déterminer ses paramètres de fonctionnement, tels que la tension de seuil (VT), la
transconductance de canal (gm) ou la mobilité à faible champ électrique des porteurs (µ0).
Dans ce document, nous avons entrepris de réécrire complètement les démonstrations de
quelques modèles d’utilisation courante. Il ne faut donc pas chercher dans son contenu
d’élément novateur car tel n’est pas son but. Par son approche très détaillée, nous espérons
que le texte permettra au lecteur de mieux comprendre le fonctionnement du transistor et
de mieux cerner les méthodes d’extraction de paramètres, notamment celles dédiées à la
détermination du potentiel de surface en fonction de la tension de grille.
Nous avons limité notre étude au fonctionnement du transistor en faible et forte inversion
avant saturation dans le cas d'une structure à canal n. Les équations relatives au
transistor à canal p sont données en annexe.
- 11 -
Chapitre I : Etude préliminaire du
transistor MOS
Cette première partie a pour objectif d’introduire des notions fondamentales telles que la
charge du semi-conducteur et la charge d’inversion ainsi que leur dépendance avec les
divers polarisations ou densités de défauts électriquement actifs. Nous nous plaçons bien
entendu dans l’optique du transistor MOS c’est-à-dire dans le cas d’un semi-conduteur hors
équilibre et nous ferons apparaître, pour en tenir compte, les quasi-niveaux de Fermi.
Précisons dans un premier temps les conventions d’écriture et de calcul que nous avons
choisies.
I.1.
Convention d’écriture
EC
Source
-qVGB
ECS
EFp
EFn
-qF
-qC
-q(y)
EVS
Métal Isolant
0 yi
VGS
Drain
IDS
Isolant
N+
EV
EiS
EFM
a
Ei
EF
Grille
N+
z
0
y
Substrat type-p
-qS
Silicium
Substrat ou Bulk
y
VDS
L x
W
VBS
b
Figure I.1.a. Diagramme de bandes du transistor MOS à canal n faisant apparaître les
quasi-niveaux de Fermi : C = -VBS à la source et C = VDS - VBS au drain. VDS est la tension
appliquée entre le drain et la source, et VBS la tension appliquée entre le substrat et la
source. b. Coupe d’un transistor MOS à canal n.
La Fig. (I.1.a) présente le diagramme de bandes de la structure Métal - Oxyde - Semiconducteur d’un transistor MOS :
 Le niveau de Fermi du métal est au dessus du minimum de la bande de conduction
(non représenté) ce qui donne à ce matériau un nombre considérable d’électrons
libres.
 Les bandes de conduction et de valence de l’isolant sont représentées mais non
spécifiées car elles n’interviennent pas dans l’établissement des diverses
expressions.
 Le semi-conducteur, représenté en régime d’inversion forte, fait apparaître deux
notations pour le nom des bandes : une dans le volume du substrat et une à
l’interface Si/isolant spécifiée par l’indice "S". Les énergies de ce diagramme sont
en joules (J) et les diverses tensions sont en volts (V). (y) et Ei représentent
- 12 -
respectivement la courbure des bandes et le milieu de la bande interdite du semiconducteur. EC (e.g. ECS) et EV (e.g. EVS) sont le bas de la bande de conduction et le
haut de la bande de valence du semi-conducteur. Le choix du sens des flèches a
pour origine la tension que l’on applique entre la grille et le substrat. Cela revient
à faire la différence entre les niveaux de Fermi du métal et du semi-conducteur.
En raison d’une polarisation non nulle appliquée entre la source et le drain, le
semi-conducteur, au niveau du canal, n’est pas à l’équilibre thermodynamique.
Cela se traduit par l’apparition de quasi niveaux de Fermi notés EFn pour les
électrons et EFp pour les trous avec, dans le cas d’un substrat de type p : EFp  EF.
C correspond à l’écart entre ces quasi niveaux de Fermi. Il est égal à la
polarisation extérieure appliquée entre le point y et le volume du semi-conducteur
(y  ). Ce potentiel est fonction de la position considérée le long du canal, il est
égal à  VBS au niveau de la source et à VDS  VBS au niveau du drain.
Remarque : pour comprendre l’origine de C il faut se souvenir du diagramme de
bande de la jonction p-n en l’absence de polarisation (cas de la source avec VBS = 0)
ou en polarisation inverse (cas du drain avec VBS = 0) : l’écart entre les quasiniveaux de Fermi de la zone désertée de ces deux diodes se retrouvent aux bornes
du canal.
Le potentiel de volume F du semi-conducteur a pour expression [Sze’88] :
F =
kT  N A  1  N A 
1
ln
  ln
    EF  Ei 
q
q
 ni    ni 
(I.1)
où k est la constante de Boltzmann, T la température absolue,  = q/kT, NA le
dopage du substrat (que nous supposons uniforme dans la région active de la
surface) et q la valeur absolue de la charge de l’électron.
Pour avoir une notion d’ordre de grandeur à l’esprit faisons le petit calcul suivant : le gap
du silicium à 300 K est de 1,1 eV et un dopage du substrat de 21023 m3 donne
F = 0,424 eV alors q’un dopage de 21023 m3 donne F = 0,457 eV.
Un schéma en coupe du transistor MOS à canal n est donné à la figure (I.1.b). Les deux
caissons N+ latéraux servent de réservoirs à porteurs minoritaires (du substrat).
I.2.
Densité de porteurs dans le semi-conducteur
Puisque la polarisation est non nulle entre la source et le drain, le semi- conducteur n'est
pas à l'équilibre thermodynamique au niveau du canal. Les densités d’électrons et de trous
s’expriment donc en fonction des quasi-niveaux de Fermi (EFn et EFp) [Sze’66]. Pour les
électrons, on peut écrire :
 E - E i (y) 
n(y) = n i exp Fn

kT


(I.2)
Pour les trous, une expression similaire donne :
 Ei (y)  EFp 

p(y)=ni exp

kT


(I.3)
- 13 -
Si l'on remarque que EFn  Ei(y) = EFn  EF + EF  Ei + Ei  Ei(y) = qC  qF + q(y)
(pour le substrat de type p, EFp  EF ), l'Eq. (I.2) peut se réécrire sous la forme :
n(y)=ni exp βΦ F expβ Ψ(y) ΦC 
(I.4)
c'est-à-dire :
1.2x10
24
1.0x10
24
8.0x10
23
6.0x10
23
4.0x10
23
2.0x10
23
-3
nS (m )
 q
Ψ(y) ΦC 
n(y)=n0 exp
 kT

0.0
(I.5)
 C variable
0V
0.05 V
0.1 V
nS = p0
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
 S (V)
Figure I.2. Evolution de la densité d’électrons à l’interface en fonction de l’écart entre les
quasi-niveaux de Fermi (C). NA = 2.51023 m-3.
De même, en posant Ei(y) - EFp = Ei(y) - Ei + Ei - EFp = -q(y) + qF, l’Eq. (I.3) conduit à :
p(y) = p0 exp (y)
(I.6)
Dans les expressions (I.5) et (I.6), n0 et p0 représentent les densités de porteurs libres à
l'équilibre dans le volume du semi-conducteur (i.e. loin de l’interface).
Ces densités sont données par :
n 0 = n i exp  F 
(I.7)
p0 = n i exp F 
(I.8)
La figure (I.2) représente l’évolution de la densité d’électrons à l’interface en fonction du
potentiel de surface et de l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi (C) évaluée à partir de
l’équation (I.5). La limite entre inversion faible et inversion forte est atteinte lorsque la
densité en électrons à l’interface, nS, est égale à la densité en trous dans le volume du semiconducteur, n0. Lorsque l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi est nul (i.e. EFn = EFp),
cette limite est atteinte pour S = 2F. Par contre si C est différent de 0, cette limite est
alors atteinte pour un potentiel de surface supérieur ou inférieur à 2F (S = 2F + C),
c’est ce qu’illustre la figure (I.2).
- 14 -
I.3.
Expression préliminaire du courant
La densité de courant en chaque point du canal est la somme des composantes de diffusion
et de conduction des électrons et de trous libres [Pao’66] :









Jx,y   q μ n nξ  Dn n  μ pξ  Dpp  J n  J p

(I.9)

où J n et J p représentent les composantes du courant dues aux électrons ou aux trous. D n
et Dp sont les coefficients de diffusion des électrons et des trous.
L'expression (I.9) se simplifie puisque le courant d’électrons (cas du n-MOS) ne sera
observable qu’en régime d’inversion faible et forte. Cela signifie que l’on peut considérer la
densité de courant des porteurs majoritaires dans le volume du substrat (i.e. des trous)


comme négligeable, i.e. J p  0 [Barron’72]. Le quasi niveau de Fermi des trous peut donc
être considéré comme constant dans tout le substrat. Ceci est d'autant mieux vérifié que
les dopages des zones de sources et de drain sont élevés (car l’injection de trous dans ces
deux régions à partir du substrat est alors négligeable).
Puisque le canal du transistor se forme à l’interface isolant / semi-conducteur, la mobilité
des électrons µn est une grandeur caractéristique des propriétés de transport en surface du
semi-conducteur, généralement différentes des propriétés volumiques. Nous la notons µ0 et
nous lui donnons le sens d'une mobilité moyenne des électrons dans la couche d’inversion.
L’équation (I.9) se résume alors à :




J(x,y)  J n =qnμ 0ξ  qDn n
(I.10)
Il est possible d’obtenir une solution analytique de l'équation (I.9) si la condition
d’unidimensionnalité est vérifiée, c’est-à-dire si :
2
y 2

2
(I.11)
x 2
Cette hypothèse, appelée approximation graduelle de Shockley, n’est valable que lorsque le
transistor fonctionne en régime de non saturation (canal non pincé). Dans ce cas, on
démontre que la variation du champ longitudinal en fonction de la coordonnée x est
relativement faible (les lignes de courant sont considérées parallèles à l’interface).
L'expression de la densité de courant d’électrons sous sa forme unidimensionnelle s’écrit de
la façon suivante :
J n = qn 0  x  qDn grad x (n)
(I.12)
où x est le champ électrique longitudinal dans le canal.
Sachant que le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire (x =  gradx) et en
kT
utilisant la relation d’Einstein D n =  0
, l’Eq (I.12) peut se mettre sous la forme :
q
J n =  qnμ 0
d
kT dn
 qµ 0
dx
q dx
(I.13)
- 15 -
I.3.1.
Séparation des termes de diffusion et de conduction
Le courant IDS en chaque point du canal correspond à l’intégration de la densité d’électron
sur toute la couche d’inversion de l’interface vers le volume du semi-conducteur. Soit yi et
W respectivement la profondeur et la largueur de cette couche, on écrit alors :
I DS =W
yi
0
qn
0
d
dy  W
dx
yi
0
qµ 0
kT dn
dy
q dx
(I.14)
Dans l'Eq. (I.14), le signe  vient du fait que l’axe x est orienté dans le sens opposé au sens
du courant IDS. Cette équation peut se mettre sous la forme :
yi
y

d
kT d  i
I DS =Wμ 0
qndy  Wµ0
qndy 
dx 0
q dx  0





(I.15)
La densité de charge Qn de la couche d‘inversion par unité de surface (exprimée en C m-2)
est donnée par :

yi
Q n  q ndy
(I.16)
0
Donc, à partir des équations (I.15) et (I.16) on arrive à :
I DS =  Wμ 0 Q n
d
kT dQ n
 Wµ0
dx
q dx
(I.17)
L’expression du courant s’obtient en intégrant l’équation (I.17) le long du canal c’est-à-dire
de x = 0 à x = L :
S ( L )
Qn ( L )

kT
I DS dx=Wμ 0  Q n d 
dQ n 

q

0
Qn ( 0 ) 
 S ( 0)

L


(I.18)
et finalement :
I DS = 

 ( L)
S
W
W
kT
Qn (L)  Qn (0)
μ 0 Q n d  μ 0
L
L
q
S ( 0)
(I.19)
Le premier terme de l’équation (I.19) représente le courant de conduction et le second
terme le courant de diffusion.
I.3.2.
Association des termes de diffusion et de conduction
A partir de l’équation (I.5), l’Eq. (I.12) peut aussi se mettre sous la forme :
d
n 0 expβ ψ(y)  ΦC 
J n =  qnμ 0grad x (ψ)  kTμ 0 
 dx

- 16 -
(I.20)
d C 
d
d

 q 0 n 0 expy    C 
 n 0 expy    C 
dx
dx
dx 

J n  qn 0
(I.21)
L'Eq.(I.21) se simplifie en utilisant l'Eq. (I.5) [Barron’72] :
J n =  qμ 0 n
dΦC
dx
(I.22)
Le courant total IDS est alors obtenu en intégrant Jn sur toute l’épaisseur de la couche
d’inversion yi formant le canal du transistor :

yi

yi
I DS =  W J n dy  W qμ 0 n
0
0
ΦC
dy
x
(I.23)
Le terme  C x étant indépendant de la variable y au niveau du canal du transistor, on
peut donc le sortir de l’intégrale. Il en va de même pour le terme constant µ0. L'expression
intégrale de IDS peut donc se mettre sous la forme :
d C
I DS = Wq 0
dx

yi
ndy  W 0
0
d C
Qn
dx
(I.24)
Le courant IDS est constant le long du canal, ce qui permet d'intégrer l'Eq. (I.14) par
rapport à x et à C de la source (x = 0, C = VBS) au drain (x = L, C = VDS  VBS) :

L
I DS dx  I DS L=  Wμ 0
0

VDS  VBS
(I.25)
Q n dΦC
 VBS
où C(x) = V(x)  VBS, V(x) étant le potentiel en chaque point du canal dû à la polarisation
appliquée entre le drain et la source. Le potentiel du substrat VBS est constant, ce qui
implique que dV = dC. On effectue donc le changement de variable V(x) = C(x)  VBS.
L'Eq. (I.18) devient :
I DS = 

V
DS
W
μ 0 Q n (V)dV
L
0
(I.26)
D'après l'Eq. (I.26), le problème du calcul du courant IDS se ramène donc au calcul de Qn
intégrée de 0 à VDS. Cette charge d'inversion peut être considérée comme égale à la charge
totale du semi-conducteur QSC à laquelle on soustrait la charge de la zone désertée QD
située en dessous du canal, i.e. Qn = QSC  QD. L’Eq. (I.26) prend alors la forme :

V
DS
W
I DS =- μ 0 Q SC  Q D dV
L
0
(I.27)
Le calcul de IDS passe donc par la détermination des quantités QSC et QD.
- 17 -
I.4.
Détermination de la charge totale dans le semi-conducteur QSC
I.4.1.
Expression de la charge QSC
La densité de charge  dans le semi-conducteur s’écrit :
  qp  n  N D  N A 
(I.28)
Dans le volume du semi-conducteur, loin de l’interface, la condition de neutralité doit être
satisfaite, i.e. (y  ) = p0  n0 + ND  NA- = 0 d’où ND  NA- = n0  p0. La densité de charge
s’écrit alors avec les équations (I.5),(I.6) et (I.28) :


 q

 q

  q  n 0 exp y    C   p 0 exp
y   n 0  p 0 
 kT

 kT



(I.29)
L'équation (I.29) s'écrit après factorisation :
n

  qp 0  0 expy    C   1  exp y   1
 p0

(I.30)
Le champ électrique dans la zone désertée est relié à la densité de charge  via l’équation
de Poisson :
d 2
dy
2

d


dy
Si
(I.31)
où Si = SC0 est la permittivité diélectrique du semi-conducteur. On peut donc écrire à
partir des Eqs. (I.30) et (I.31) :
d2
dy
2

qp 0
Si
n0

 expy    C   1  exp y   1
 p0

(I.32)
La première intégration de l'Eq. (I.32) se fait par changement de variable en considérant le
fait que :
d2
dy
2

d
dy
 d 
d

 dy 
  d


 d  d

 dy 
 dy


2
 d2 

d = d d  d  1 d d 
 dy  dy 2  dy 
 dy 2 






D’où :
(I.33)
(I.34)
La dérivée seconde de  est évaluée grâce à l’Eq. (I.31) :
 d 

d

 dy 
2
 2

 Si
d
(I.35)
- 18 -
Les conditions aux limites sont (y  ) = 0 (potentiel de nul dans le volume du semid
conducteur loin de l’interface) et
 0 , d’où l’intégrale :
dy y

2
0

0
n 0

qp
 d 

  2 0
d
exp   C   1  exp  C   1d

d  dy 
 si   p 0

dy
(I.36)
On peut donc écrire :
2
2
qp
 d 
 d 


  2 0
 
 si
 dy  y  dy  y
n0

 p0
0
1
  1

 exp   C       exp     

  
 
(I.37)
soit :
2
 d 
qp

  2 0
si
 dy 
 n0
 exp  C   exp   C      1  exp     
 p0
(I.38)
ou encore :
2
 d 
qp  n

  2 0  0 exp   C     exp  C  1  exp     
si  p 0
 dy 
(I.39)
En prenant la racine carrée de l'équation (I.39), on obtient :
1
2kTp0  n 0
d

 exp   C     exp  C  1  exp      2  y 
dy
 si  p 0
(I.40)
avec un signe + si S < 0 et un signe  si S > 0. Le champ électrique à l’interface s’écrit :
S  
1
2kT p0  n 0
 expS   C   S  exp  C  1  exp S   S  2
 si  p 0
(I.41)
avec un signe + si S > 0 et un signe - si S < 0.
Le calcul de la densité de charge totale dans le semi-conducteur s'effectue à partir de
l'expression du champ électrique en surface en utilisant le théorème de Gauss.

Rappel : Le flux du vecteur excitation électrostatique ( D = SC0  dans le cas d'un milieu
diélectrique parfait) sortant d’une surface fermée (S) est égal à la somme des seules
 
Q int
charges vraies intérieures à (S), soit
. Dans le cas présent, la surface
 . dS 


SC
0
( S)

d’intégration choisie est celle d’un cylindre fermé de section unitaire, d’axe y et dont l'une
des bases est dans le plan de l'interface Isolant/Semi-conducteur, la deuxième base se
trouvant dans une région neutre (i.e. dans le volume du substrat au-delà de la zone
désertée), comme l'illustre la Fig. (I.3).
- 19 -
(y)
-S
Figure I.3. Surface d’intégration choisie pour
appliquer le théorème de Gauss au champ
électrique dans le semi-conducteur (considéré
comme milieu diélectrique parfait).
=0
(y)
0
Isolant
y
Silicium
Dans la région neutre du semi-conducteur, le champ électrique est nul ( = 0). Sur les faces

latérales du cylindre, le champ électrique est parallèle à la surface, ainsi le flux de  au
travers de ses faces est nul, de sorte que le théorème de Gauss conduit finalement à :
ξ S= 
Q SC
ε Si
(I.42)
0.004
-2
| QSC | ( Cm )
23
1 10
23
5 10
1
23
2.5 10
23
4 10
0.003
23
0.5 10
2
4
3
0.002
0.001
0.000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
 S (V)
Figure I.4. Exemple de courbes QSC(S) calculées pour différentes valeurs du dopage du
substrat NA (m-3). Les différents régimes du semi-conducteur sont indiqués pour
NA = 2.51023 m-3.
L’expression de la charge dans le semi-conducteur est donc évaluée en reportant dans
l'équation (I.41) l'expression du champ électrique en surface établie dans l'Eq. (I.42) :
n
1
QSC   2kT si p 0  0 expS   C   S  exp  C   1  exp S   S  2
 p0
(I.43)
avec un signe + si S < 0 et un signe  si S > 0.
Il est important de rappeler que cette expression n’est valable que dans le cas d'un semiconducteur de type p. L'expression de QSC pour un substrat de type n est donnée en
annexe 1. La Fig. (1.3) illustre les variations de QSC en fonction du potentiel de surface
pour différentes valeurs du dopage (supposé constant) du semi-conducteur. On distingue
les quatre régimes suivant pour le semi-conducteur (cas ou C = 0) :
- 20 -
 S < 0 : régime d’accumulation. Les trous, porteurs majoritaires du substrat,
sont accumulés à l’interface.
 0 < S < F : régime de déplétion. Les trous sont encore présents à l’interface
mais moins nombreux que dans le volume du substrat.
 F < S < 2F : régime d’inversion. La concentration en électrons libres à
l’interface devient plus importante que celle des trous.
 S > 2F : régime d’inversion forte. Les électrons libres, porteurs minoritaires,
sont accumulés à l’interface où ils forment la couche d’inversion.
I.4.2.
Cas de l’inversion faible et forte
1
10
-2
10
-5
10
-8
10
exp(-  S)
  S-1
exp (
exp (-
 S) et   S-1
10
 S-  C)-exp (-  C)
Bien que rigoureusement exacte, l'expression (I.43) est assez "lourde" à manipuler dans
l’optique du transistor. Pour alléger cette expression il faut constater que le courant dû a
l’effet transistor ne sera observé que dans les régimes d’inversion faible ou forte. En régime
de désertion ou d’accumulation il sera extrêmement faible et dans tous les cas masqué par
le courant inverse de la jonction drain-substrat.
-11
a
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
exp (
 S-  C)-  S
 S (V)
10
10
11
10
8
10
5
10
2
0.0
 C variable
5; 10; 25;
50; 100 mV
0.2
0.4
0.6
b
0.8
 S (V)
11
10
8
10
5
10
2
0.0
Figure I.5. Variations en fonction du
potentiel de surface des quantités
exp(S) et S  1 (a), exp(S  C)
exp(C) pour C variable (b) et
exp(S  C)  S pour C (c).
 S variable
5; 10; 25;
50; 100 mV c
0.2
0.4
 S (V)
0.6
0.8
Dans le cas ou S est positif, on peut effectuer quelques simplifications :
 exp S   S  1
- 21 -
 exp  C   expS   C 
 S  expS   C 
Ces simplifications sont illustrées sur les figures (I.5.a) à (I.5.c). On en déduit une
expression simplifiée de QSC :
1
n
 2
Q SC=  2kTε Si p0  0 expβΨS  β  C   βΨS  1
 p0

(I.44)
n0
 2q F 
 exp 
 d'après les équations (I.7) et (I.8), et compte tenu du
p0
kT 

fait que C = V  VBS, l'expression de QSC pour S > 0 peut se réécrire sous la forme :
Etant donné que
1
QSC=  2kTε Si p0 expβ ΨS  V  VBS  2ΦF   βΨS  1 2
I.5.
(I.45)
Détermination de la charge de la zone désertée QD
Pour obtenir l'expression de la charge de la zone désertée QD, il faut résoudre l’équation de
Poisson en omettant le terme ayant pour origine les électrons de la couche d’inversion
(quantité n). La densité de charges s’écrit donc à présent :

n 
ρ  qp0 exp βΨ(y)  n 0  p0   qp 0 exp βΨ(y)  1  0 
p0 

(I.46)
En reportant (I.46) dans l’équation de Poisson, il vient :
d 2Ψ
dy
2

qp 0 
n0 
exp βΨ(y)  1 

ε Si 
p0 
(I.47)
Utilisant une démarche calculatoire similaire à celle mise en œuvre pour le calcul de Q SC,
on arrive à la succession d’étapes suivantes :
2
2qp 0
 d 

 
Si
 dy 
0


n0
 
 exp     
p0


(I.48)
2

2kTp 0 
n0
 d 

 
  1
exp     
 Si 
p0
 dy 

(I.49)
La racine carrée de l’équation (I.49) donne :
d

dy
1
 2
2kTp 0 
n0
  1
exp     
 Si 
p0

(I.50)
Notons que puisque le substrat est de type p, la zone désertée dans le semi-conducteur
apparaît uniquement pour S > 0 ; c’est pourquoi seule la racine positive de l'équation est
- 22 -
considérée. L’expression de la charge de la zone désertée QD s’obtient alors en appliquant le
théorème de Gauss de la même façon qu'au paragraphe I.5.2. On obtient :
1

 2
n
Q D  2kTε Si p0 exp βΨS   βΨS  0 βΨS  1
p0


(I.51)
Puisque S est positif, il est possible de simplifier notablement l’équation (I.51) en
remarquant que :
 1
n0
n 2
1 i 1
p0
NA
 exp S   S
La charge de la zone de désertée s’exprime alors comme suit :
1
Q D   2kT Si p0 S  1 2
I.6.
(I.52)
Détermination de la charge d’inversion Qn
En faible inversion, puisque S + VBS  2F < 0, alors exp((S  V + VBS  2F)) << S  1
du moins tant que S + VBS << 2F  kT/q. Ainsi en développant QSC au premier ordre, il
vient :
1
 expS  V + VBS  2 F  2
1
Q SC =  2kT Si p0 1 
 S  1 2
S  1


 expβ ΨS  V+VBS  2ΦF 
1
Q SC   2kTε Si p0 1 
βΨS  1 2
2βΨS  1


soit :
(I.53)
(I.54)
Avec un substrat de type p, p0  NA. Considérant les équations. (I.52) et (I.54), la charge
d’inversion Qn peut donc s’écrire sous la forme :
1 
expS  V  VBS  2 F  
Qn  QSC  Q D   2kT Si N A S  1 2 1 
 1
2S  1


(I.55)
D’où :
Qn = 
1 2kT Si N A
expS  V + VBS  2 F 
2
S  1
(I.56)
La figure (I.6.a) représente l’évolution de la charge du semi-conducteur, QSC (équation.
(I.43)), de la charge de désertion, QD (Eq. (I.51)), et de la charge d’inversion, Qn (= QSC –
QD), en fonction du potentiel de surface pour tous les régimes. On constate que les charges
QSC et QD égales en régime d’accumulation, de désertion et d’inversion faible. Par contre en
régime d’inversion forte la charge de la couche d’inversion ne peut plus être négligée.
- 23 -
-3
10
-4
Inversion
forte
10
Désertion
Inversion
faible
-2
Accumulation
10
|QSC|
|Qn|
|QD|
a
0.0
0.2
0.4
 S (V)
0.6
0.8
1.0
-2
|QSC|, |QD| et |Qn| (Cm )
-2
|QSC|, |QD| et |Qn| (Cm )
La figure (I.6.b) permet de rappeler la remarque faite à la figure (I.2) sur l’apparition du
régime d’inversion forte en fonction de S qui est retardée lorsque C augmente.
0.03
 C variable
0V
|QSC|
|Qn|
|QD|
0.02
0.05 V
0.01
b
0.8
0.1 V
0.9
1.0
 S (V)
1.1
Figure I.6. Evolution des différentes densités de charges présentes dans le semi-conducteur
pour tous les régimes de fonctionnement (a) et en régimes d’inversion faible et forte pour C
variable (b).
I.7.
Expression de S en fonction de V(x), VGS et VBS
Pour établir l’expression du potentiel de surface S, commençons par établir la condition de
neutralité électrique au niveau de la charge totale par unité de surface de la structure
MOS :
QG  Qox  Qit  QSC  0
(I.57)
où Qox représente la charge fixe de l'isolant de grille ramenée à l’interface Si-SiO2. Elle est
dite fixe car elle ne change pas avec la polarisation. QG est la charge de grille et Qit la
charge piégée dans les états d'interface. En régime d’inversion faible, les variations de Q it
avec S ne sont pas négligeables. Il est d'ailleurs démontré en annexe 2 que quelque soit la
répartition énergétique des pièges de type donneur (chargé positivement si inoccupé neutre
si occupé) et accepteur (neutre si inoccupé et chargé négativement si occupé) dans la bande
interdite du semi-conducteur, Qit peut se mettre sous la forme :
Qit = Qit0  qDit S S   F   S   C S   C   F 
- 24 -
(I.58)
où Qit0 est une constante (exprimée en Cm2) et Dit est la densité d’état d’interface
(exprimée en eV1 m2). L’équation (I.57) s’écrit donc :
QG  Qox  Qit0  qDit S S   F   S   C S   C   F   QSC  0
(I.59)
Comme C = V  VBS, alors :
QG  Qox  Qit0  qDit S S   F   S  V  VBS S  V  VBS   F   QSC  0
(I.60)
Par ailleurs, la relation entre les différents potentiels de la structure MOS s’écrit :
VGS  VBS = Vox + S +  MS
(I.61)
De plus en considérant la tension aux bornes de l’isolant et la charge sur la grille, on a :
QG =CoxVox=Cox VGS  VBS  ΨS  ΦMS 
(I.62)
L'Eq. (I.61) peut donc s'écrire :
VGS   MS 
Q ox  Q it0
Q
qD it
S S   F   S   C S   C   F   VBS
 S  SC 
C ox
C ox
C ox
(I.63)
Il est important de noter que cette équation est utilisable du régime d’accumulation au
régime d’inversion forte en prenant pour la charge QSC l’expression non simplifier (I.43).
On peut aussi remarquer que la détermination de VGS en fonction du potentiel de surface
S est analytique. En pratique on applique un potentiel sur la grille et la détermination S
nécessite l’utilisation d’un solveur.
1.5
0.6
0.3
10
marge (%)
S (eV)
1.2
0.9
1
C = 0, 0.025, 0.5
0.2, 0.5 V
2 F
F
C = 0.025, 0.5
0.2, 0.5 V
-3
10
-7
10
-11
10
0.0
b
a
-2
-1
0
1
-2
2
-1
0
1
2
VGS (V)
VGS (V)
Figure I.7. Evolution de S en fonction de VGS pour différentes valeurs de C (a) et
différence entre les courbes (b). VBS = 0, NA = 7.51023 m3, Dit = 0, Qox = 0.
L’évolution du potentiel de surface en fonction du potentiel de grille est présentée à la
figure (I.7.a) pour plusieurs valeur de C et en l’absence d’états d’interface. En prenant
comme référence la courbe à C = 0, on constate qu’elle est identique aux autres courbes
dans les régimes d’accumulation, désertion et inversion faible. Par contre elle s’écarte très
rapidement en régime d’inversion faible. Pour bien mettre en évidence la différence entre
- 25 -
les courbes nous la représentons à la figure (I.7.b). En supposant que la référence
représente S au niveau de la source et une des quatre autres courbes le potentiel de
surface au niveau du drain, on constate qu’en régime d’inversion faible et en raison de la
faible différence entre ces deux potentiels, le courant de drain sera essentiellement dû à un
phénomène de diffusion (c.f. équation (I.13)). Par contre en régime d’inversion forte ce
courant sera essentiellement dû à un phénomène de conduction.
S (eV)
0.9
a
2 F
0.6
F
0.3
10
Dit = 0, 5x10
11
11
12
12
1x10 , 5x10
0.0
1x10 , 5x10
-2
-1
0
1
2
VGS (V)
Figure I.8. Evolution de la courbe
S(VGS) pour C = 0 et différentes
densités de pièges exprimée en eV1cm2
(a) Evolution de la courbe S(VGS) en
fonction de C et Dit (b) et différence
entre ces courbes (c).
VBS = 0, NA = 7.51023 m3, Dit = 0,
Qox = 0.
La présence d’états d’interface déforme la relation VGS(S) comme le montre les figures
(I.8). Nous constatons à présente et raison de la forte différence entre le potentiel de
surface au niveau de la source et du drain, que le courant en régime d’inversion faible
correspond à la somme d’un courant de diffusion et d’un courant de conduction. En
inversion forte, le courant est toujours dû principalement à un phénomène de conduction.
I.8.
Evolution de , n et p avec la distance à l’interface
Jusqu’à présent nous nous sommes intéressés aux caractéristiques de la structure MOS au
niveau de l’interface comme la courbure de bande à l’interface (potentiel de surface S) et
les densités de porteurs nS et pS. Il est cependant possible de connaître l’évolution de ces
paramètres de l’interface vers le volume du semi-conducteur en résolvant l’équation de
Poisson (Eq. (I.31)). La connaissance de l’évolution de la courbure de bande nécessite donc
la résolution d’une équation différencielle du deuxième ordre mais on peut réduire ce calcul
d’un ordre en utilisant l’équation (I.40) : dérivée du potentiel  par rapport à la distance y
(c.f. figure (I.1)).
2kTp0
d

dy
 si
n0
exp   C     exp  C   1  exp     
p0
- 26 -
(I.64)
avec un signe + si S < 0 et un signe  si S > 0.
2 F
S croissant
10
S croissant
18
F
0.3
10
-3
 (V)
0.6
p0
22
n (m )
0.9
ni
14
10
10
0.0
10
a
0
10
20
30
y (nm)
40
b
50
0
10
20
30
y (nm)
40
n0
50
26
10
p0
22
Figure I.9.
Evolution de la
courbure de bande (a), de la densité
d’électrons (b) et de trous (c) en
fonction de la distance à l’interface
pour C = 0. NA = 71023 m-3.
-3
p (m )
10
18
10
ni
14
10
S croissant
10
10
c
0
10
20
30
y (nm)
40
n0
50
A la figure (I.9.a), nous représentons la courbe (y) pour les différents régimes du semiconducteur (accumulation, désertion, inversion faible et forte). Rappelons aussi que  varie
dans toutes la zone de charge d’espace (ZCE) dont la longueur dépend de la valeur du
potentiel de surface. Les figures (I.9.b et c) illustrent la variation de la densité des
électrons et des trous pour C = 0 et mettent en évidence la rapidité de la décroissance avec
la distance. Donc si on se place par exemple en régime d’inversion faible, nous pouvons dire
que la quasi-totalité des électrons se trouvent proche de l’interface comparé à la ZCE.
- 27 -
ni
14
10
S croissant
n0
-3
n (m )
10
10
6
10
Figure I.10.
Evolution de la
densité d’électrons en fonction de la
distance à l’interface pour C = 0.5
V.
NA = 71023 m-3.
2
10
-2
10
0
10
20
30
y (nm)
40
50
Lorsque le semi-conducteur n’est pas à l’équilibre thermodynamique il faut tenir compte de
l’écart entre les quasi-niveaux de Fermi pour déterminer la densité en électrons dans la
ZCE. Hors de cette zone la densité d’électron est gérée par le niveau de Fermi. La courbe
n(y) doit donc présenter une discontinuité à la limite de cette zone. De plus à S donné la
densité en électrons est inférieure pour un C positif que pour C = 0. Tous ceci est illustré
à la figure (I.10).
I.9.
Variation de S avec  C
Comme nous le savons à présent, le potentiel de surface ainsi que l’écart entre les quasiniveaux de Fermi varie le long du canal entre le drain et la source. Il est possible de
déterminer la dépendance entre S et C à partir de l’équation (I.63) mais il faudra
résoudre l’équation du courant (équation (I.13)) pour positionner ces deux potentiels le long
du canal (sauf pour les extrémités du canal).
- 28 -
Chapitre II : Le transistor MOS en inversion
faible avant saturation
Dans cette première partie, nous allons étudier le fonctionnement du transistor en régime
d’inversion faible avant saturation. Nous établissons l’expression du courant Drain/Source
IDS en fonction de la tension Grille/Substrat VGS.
A partir des l'Eqs. (I.19) et (I.27), deux méthodes de calcul peuvent être envisagées :
 La première considère qu’en inversion faible le courant dû au champ électrique (i.e. la
composante de dérive) est négligeable devant le courant de diffusion (membre de
droite de l’équation (I.27)). C’est ce que nous appelons l’approche "simplifiée". Cette
méthode ne permet pas de donner une expression analytique du courant de drain en
fonction du potentiel de grille sauf sous certaines conditions.
 La deuxième méthode prend en compte les deux composantes de dérive et de diffusion
sans simplification (équation (I.19)). C’est ce que nous appelons l’approche
"complète".
Nous commençons par nous intéresser à cette approche "complète" dans le paragraphe II.1.
II.1. Approche complète : courant de diffusion et de conduction
II.1.1. Expression analytique du potentiel de surface
Rappelons tout d’abord que la charge QSC est quasiment égale à la charge QD en inversion
faible ce qui donne avec l’équation (I.52) :
1
QSC  Q D =  2ε Si kTN A βΨS  1 2
(II.1)
Au niveau de la source et en régime de faible inversion, le potentiel de surface s varie en
fonction de la polarisation de grille de F  VBS à 2F  VBS. On peut alors considérer que le
potentiel de surface moyen dans le canal du transistor vaut S0 = 1.5F  VBS, ce qui
permet de développer QSC au premier ordre autour de cette valeur moyenne S0 :
 dQ D 

ΨS  ΨS0 
Q D  Q D(ΨS0 )+
 dΨS ΨS0
(II.2)
QD  QD0  CD0 ΨS  ΨS0   QSC
(II.3)
- 29 -
-5
SO
0.0
0.4
1.2
0.8
S (V)
1.2
1.6
-1
10
-2
10
b
1.6
0.3
2 F + C
10
0.8
F + C
-4
0.4
SO
inversion
faible
2 F
10
0.0
0
10
F
-3
1
a
2 F + C
-2
QD (Cm )
10
inversion
faible
10
marge (%)
2 F
-5
F + C
10
10
QD
QDsimp
SO
-4
F
-2
QD (Cm )
-3
10
0.6
0.9
c
1.2
1.5
S (V)
Figure II.1. Evolution de la charge de la zone désertée, en fonction du potentiel de surface,
calculée sans approximation (QD) ou avec simplification (QDsimp) pour C = 0 (a) et C = 0.5
V (b). Evolution de la différence entre QD et QDsimp (c). NA = 21023 m3, F = 0.424 V.
Dans l'Eq. (II.3), CD0 et QD0 ont pour valeur :
QD0 =QD(
S0 )= 
2 Si kTN A S0  11 / 2
 dQ D 
1 q

βΨS0  1 12
C D0 =  
= 2ε Si kTN A
2 kT
 dΨS ΨS0
ΨS0
(II.4)
(II.5)
soit :
C D0 =
q²ε Si N A
βΨS0  112
2kT
(II.6)
QD0 et CD0 sont respectivement la charge et la capacité de la zone désertée (par unité de
surface) pour S = S0. L’équation (I.63) s'écrit en fonction de ces deux quantités :
VGS   MS 
Q ox  Q it0
Q
qD it
S   C   C D0 S  S0   VBS
 S  D0 
C ox
C ox
C ox
(II.7)
L'Eq. (I.7) peut se réécrire en faisant apparaître la capacité associée aux états de surface
définie par :
C it = 
dQ it
 qD it
dΨS
(II.8)
Il vient donc :
VGS  VBS  ΨS  ΦMS 
Q ox +Qit0 C it
ΨS  V+VBS   Q D0  CD0 ΨS  1.5ΦF +VBS   0

C ox
C ox
C ox C ox
(II.9)
soit :
- 30 -

C
C
1  it  D0
C ox C ox



C
C 
Q +Qit0
ΨS  VGS  1  it  D0  VBS  ΦMS+ ox
C ox C ox 
C ox


C
C
Q
 it V+1.5 D0 ΦF + D0
C ox
C ox
C ox
(II.10)
De l’Eq. (II.10), on tire donc facilement l’expression du potentiel de surface :

C ox
S  
 C ox  C it  C D0

Q  Q it0
C
Q
 VGS   MS  ox
 1.5 D0 F  D0
C ox
C ox
C ox


C it
 
 C ox  C it  C D0



(II.11)

 V  VBS

*
Soit VGS
la tension définie par l’expression suivante :
*
VGS
=  MS 
Q ox +Q it0
C
Q
 1.5 D0  F  D0
C ox
C ox
C ox
(II.12)
L’expression finale de S peut donc s’écrire sous la forme :

C ox
S  
 C ox +Cit +CD0


*
 VGS  VGS


+ C
C it
 ox +Cit +CD0

 V  VBS


(II.13)
II.1.2. Expression du courant en inversion faible
Il est à présent possible de réécrire l’expression de la charge d’inversion Q n (Eq. (I.49)) en
remplaçant S par la quantité donnée par l’Eq. (I.69) :
Qn  


 
 C ox +CD0
C ox
1 2kT Si N A
*
exp
VGS  VGS
 
2
S  1
  C ox +Cit +CD0
 C ox +Cit +CD0


 V  2 F 




(I.70)
Reportant cette valeur de Qn dans l’expression intégrale de IDS (Eq. I.9), il vient :

VDS
W
I DS 
0
L
0

 
C ox
1 2kT Si N A
*
exp
VGS  VGS
2
S  1
C

C

C
  ox
it
D0
 C ox  C D0
 
 C ox  C it  C D0
Le terme



 V  2 F dV



(I.71)
2kT Si p 0
varie peu avec S en comparaison du terme exponentiel. On le sort
S  1
de l’intégrale en considérant que l’erreur commise est négligeable lorsque l’on estime ce
terme pour la valeur moyenne du potentiel de surface S0. L’expression de IDS(VGS)
devient :
- 31 -
I DS 
kT Si N A  1 C ox  C it  C D0
W

0
L
2S0  1  
C ox  C D0


 exp 2 F 


(I.72)
V

DS



C ox
C ox  C D0
*  


 exp 
VGS  VGS
exp


V



C ox  C it  C D0 
 C ox  C it  C D0
 

0
L’équation (I.72) peut se simplifier en considérant l’égalité suivante :
 kT 
kT kT Si N A

 
q 2S0  1  q 
2
2
q² Si N A
 kT 
 C D0
 
2kTS0  1  q 
(I.73)
d’où l’expression finale du courant [2] :
2



C  C it  C D0
C ox
W  kT 
* 

 C D0 ox
exp 2 F  exp 
VGS  VGS

L q 
C ox  C D0
 C ox  C it  C D0




C ox  C D0
 1  exp  
VDS 
C ox  C it  C D0



(I.74)
I DS   0
Dans le cas d’une tension drain-source VDS très petite (typiquement inférieure à kT/q),
l’équation du courant peut se simplifier en faisant un développement limité du terme
exponentiel comprenant VDS.

C ox VDS
1  exp  
C ox  C it  C D0


C ox


VDS

C ox  C it  C D0
 VDS 0
(I.75)
L’expression du courant pour VDS petit est donc :
I DS   0

 
C ox
W1
*
C D0 exp
VGS  VGS
L 
  C ox  C it  C D0
 exp 2

F

(I.76)
II.1.3. Détermination de C(x)
La combinaison de l’Eq. (I.70) (donnant l’expression de Qn(VGS)) avec l’Eq. (I.17) (sachant
que dC/dx = dV/dx) conduit à la relation suivante :
I DS 


 


 dV
W 0 C D0
C ox  C D0
C ox
*
exp  
V  exp
VGS  VGS
 2 F 

C ox  C it  C D0 

 dx
  C ox  C it  C D0
(I.77)
On pose la constante Const comme étant égale à :


 
 I DS
C ox
*
C onst  exp 
VGS  VGS
 2 F 
 W 0 C D0
  C ox  C it  C D0
Les Eqs. (I.77) et (I.78) permettent de trouver l’équation différentielle suivante :
- 32 -
(I.78)


C ox  C D0
dV
exp  
V   C onst
dx
C ox  C it  C D0 

(I.79)
L’Eq. (I.79) peut se réécrire sous forme d’intégrale :

x
C onst dx 
0

V


C ox  C D0
exp 
V dV
 C ox  C it  C D0 
0
 C ox  C D0
Soit H  
 C ox  C it  C D0
(I.80)

 , l’intégration de l’équation (I.80) donne :


Const x  H1 exp HV(x )  1
(I.81)
La condition (V = VDS en x = L) et l’Eq. (I.35) conduisent à l’expression de la constante
Const sous la forme :
C onst  
1
exp HVDS   1 (I.82)
LH
Les équations (I.81) et (I.82) permettent d’exprimer V en fonction de x :
x
exp HVDS   1  exp HV(x)  1
L
(I.83)
qui devient finalement :
V( x )  
 exp HVDS   1

1
ln 
x  1
H 
L

(I.84)
soit :


  (C ox  C D0 )

VDS   1
 exp

C ox  C it  C D0 
 C ox  C it  C D0

V( x )  
ln 
x  1
(C ox  C D0 )
L




(I.85)
L’expression de C(x) est facilement obtenue à partir de celle de V(x) en considérant la
relation C = V  VBS.
La figure (I.7) illustre cette relation C(x) pour différentes valeurs de VDS. Pour les faibles
tensions VDS, la courbe C(x) est assimilable à une droite, ce qui signifie que le courant IDS
est essentiellement dominé par le seul mécanisme de diffusion des porteurs. En revanche,
pour VDS > 26 mV, la relation C(x) n’est plus linéaire.
- 33 -
A noter que l’équation (I.85) est assimilable à une droite d’équation V( x ) 
VDS
x lorsque
L
Cox  Cit  CD0
, ce qui à température ambiante et dans le cas d’une densité d’états
Cox  CD0 
d’interface faible (typiquement < 1010 eV-1cm-2) conduit à VDS  5 mV .
VDS 
 C (% de VDS )
100
0.0025 V
0.05 V
0.2 V
80
0.025 V
0.1 V
0.5 V
60
40
20
0
0
source
20
40
60
x (% de L)
80
100
drain
Figure I.7. Relation C(x) tracée pour différentes valeurs de VDS avec VBS = 0. C est
exprimé en % de VDS et x en % de la longueur de canal L. Les paramètres utilisés pour la
simulation sont : tox = 59 Å, NA = 1.21023 m-3 et Dit = 21011 eV-1.cm-2.
II.1.4. Illustration
Les courbes IDS(VGS) et S(VGS), présentées aux figures (I.6) et (I.7), illustrent les équations
qui ont été établies précédemment pour le transistor à canal N en régime de faible
inversion.
Dans une représentation semi-logarithmique, la pente de la courbe IDS(VGS) est égale à :
dln(I DS )
C ox
=
dVGS
C ox + C it + C Do
(I.86)
La pente en inversion faible s’exprime communément en volts (ou millivolts) par décade et
est calculée à partir de l’expression suivante :
1
=
Pente
ln(10)
C ox

C ox + C it + C D0
(I.87)
- 34 -
Dit (A)
10
-5
10
-7
10
-9
Dit variable
11
12
10
11
0; 10 ; 5x10 ;
10 ; 2x10
-11
-0.2
0.0
0.2
12
0.4
0.6
VGS (V)
Figure I.6. Courbes IDS(VGS) en régime sous le seuil tracée pour différentes valeurs de D it
exprimées en eV-1cm-2. Valeurs utilisées pour la simulation : NA = 1.21023 m-3, tox = 59 Å, W
= 10 µm, L = 1 µm.
Dit (eV-1cm-2)
0
11011
51011
11012
21012
Pente (mV/décade)
73.2
74.8
81.4
89.8
106.4
Tableau. I.1 Pente sous le seuil des courbes IDS(VGS) de la Fig (I.6).
Le tableau (I.1) indique les valeurs des pentes sous le seuil en prenant exemple des courbes
de la figure (I.7).
L’Eq. (I.87) montre que lorsque la densité d’états d’interface est très faible (Cit  0) et que la
capacité CD0 est négligeable, la caractéristique IDS(VGS) admet une pente maximale égale à
59.6 mV/décade. Pour le transistor MOS sur silicium massif, cette valeur est une limite
physique qui ne peut être franchie quel que soit le niveau de dopage du substrat.
Les figures (I.8.a) et (I.8.b) représentent le potentiel de surface en fonction de V GS calculé à
partir de l’équation (I.56). Elles permettent de constater que plus VDS et Dit sont grands et
plus l’écart s’accroît entre les relations S(VGS) évaluées au niveau du drain et au niveau de
la source du dispositif.
 S = 2 F
0.8
 S (V)
0.6
0.4
 S Source
 S Drain
11
-1
Dit = 2x10 eV cm
S = F
-2
0.2
Dit = 0
0.0
-1.5
-1.0
-0.5
S=0
0.0
VGS (V)
- 35 -
a
0.5
 S = 2 F
0.8
 S Source
 S Drain
 S (V)
0.6
0.4
11
-1
Dit = 2x10 eV cm
S =F
-2
0.2
Dit = 0
0.0
-1.5
-1.0
-0.5
S=0
0.0
b
0.5
VGS (V)
Figure I.7. Caractéristiques S(VGS) calculées pour différentes valeurs de Dit au niveau de
la source et du drain. Paramètres utilisés pour la simulation : NA = 1.21023 m-3, tox = 59 Å,
W = 10 µm, L = 1 µm, VDS = 10 mV (a) ou VDS = 75 mV (b).
Remarque : Une variation de la charge fixe Qox de l’isolant entraîne une variation de la
*
quantité VGS
, ce qui a pour unique conséquence une translation de la courbes IDS(VGS) vers
les VGS positifs ou négatifs selon le signe de Qox. Cependant, une variation de la densité
*
d’états d’interface entraîne non seulement une variation de VGS
, via le terme Qit0, mais
aussi une variation de la pente sous le seuil, via le terme Cit.
I.3.
Approche simplifiée (courant de diffusion)
Dans le cas de l’approche simplifiée, le courant de conduction (dû au champ électrique le
long du canal) est négligé. Le courant IDS est alors considéré comme un pur courant de
diffusion des électrons.
I.3.1. Calcul de la relation IDS( S)

 ( L)
S
W
W
kT
Qn (L)  Qn (0)
I DS =  μ 0 Q n d  μ 0
L
L
q
S ( 0)
Pour les faibles tensions VDS, le courant de drain se comporte de la même façon que le
courant de collecteur d’un transistor bipolaire NPN dont la base, dopée uniformément,
serait constituée par le substrat P de la structure MOS. L’expression de IDS peut donc
s’écrire comme suit :
I DS  qA r Dn
dn
n0  nL 
 qA r Dn
dx
L
(I.88)
où Ar est la section dans laquelle passe le courant, n(0) est la densité d’électrons dans le
canal au niveau de la source (en surface du semi-conducteur) et n(L) la même quantité au
niveau du drain. L’Eq. (I.4) permet d’exprimer ces deux densités d’électrons :
n0  n i expS  VBS   F 
(I.89)
- 36 -
nL  n i expS  VDS  VBS   F 
(I.90)
Le calcul de la quantité n(0) - n(L) conduit à :
n0  nL  n i expS  VBS   F  expS  VDS  VBS   F 
(I.91)
n0  nL  n i expS  VBS   F 1  exp VDS 
(I.92)
soit :
La section Ar que traverse le courant est égale au produit de la largeur du canal W par son
épaisseur yi. En raison de la dépendance exponentielle de la densité d’électrons avec (x),
l’épaisseur effective du canal peut être assimilée à la distance pour laquelle la quantité
(x) diminue de kT/q ( 26 mV à température ambiante) par rapport à la valeur en surface
kT
(S). Cette épaisseur effective est égale à
où S est le champ électrique à l’interface
q S
(supposé constant sur l’épaisseur yi).
La détermination de S permet donc de remonter à celle de yi. En effet, la densité de
charges dans la zone désertée est approximativement égale à   -qNA ; ce qui conduit à
N
d
l’expression de la dérivée du champ sous la forme
 q A . L’intégration de cette
dx
 Si
N
équation permet d’obtenir y   q A y  y d  qui pour y = 0 (i.e. à l’interface) devient
 Si
N
 S  q A y d . La longueur de la zone désertée (yd) en fonction du potentiel de surface est
 Si
d
tirée de l’équation de Poisson en considérant que
  , ce qui une fois intégrée donne
dy
y  
q NA
y  y d 2 et donc S  q N A y d 2 en surface. D’où y d 
2  Si
2  Si
2 Si S
.
qN A
En remplaçant l’expression de yd dans celle de S en surface, cette dernière quantité a donc
2qN A S
pour valeur  S 
, ce qui conduit à l’épaisseur du canal recherchée :
 Si
yi 
 Si
1
 2qN A S
(I.93)
On peut à présent établir l’expression IDS(S).
I DS 
 Si
W q 0
ni
expS  VBS   F 1  exp VDS 
L 2
2qN A S
(I.94)
En se rappelant que N A  n i exp F  , l’équation (I.94) peut s’écrire sous la forme :
I DS 
qW 0 n i
L 2
 Si
expS  VBS  1,5 F 1  exp VDS 
2qn i S
- 37 -
(I.95)
Cette expression s’exprime différemment en introduisant la longueur de Debye
extrinsèque et un coefficient Cm qui valent respectivement :
LB 
 Si
qN A
(I.96)
W
2L
(I.97)
Cm   0
Finalement, l’expression du courant IDS est [3] :
qL B N A
I DS  2C m

 ni

 NA
2

1
 expS  VBS S 2 1  exp VDS 

(I.98)
I.3.2. Etablissement de la relation IDS(VGS)
A l’instar de l’approche utilisée dans la méthode "complète", la relation IDS(VGS) s’obtient
par un développement en série de Taylor de VGS autour de S0 [4] :
VGS  VGS S  1.5 F  VBS  
VGS
 S  1.5 F  VBS 
S  1.5  V
S
F
BS
(I.99)
L’Eq (I.69) permet d’exprimer la dérivée de l’Eq. (I.99), ce qui donne :
VGS  VGS S  1.5 F  VBS  
C ox  C it  C D0
S  1.5 F  VBS 
C ox
(I.100)
ou encore :
S 
C ox
VGS  VGS S  S0   1.5 F - VBS
C ox  C it  C D0
(I.101)
L’introduction de cette valeur de S dans l’Eq (I.95) donne :
I DS   0
W 1
L 2
q Si N A
1

exp  F  1  exp VDS 
2S0
2




C ox
VGS  VGS S  S0 
 exp
 C ox  C it  C D0

(I.102)
Par ailleurs, la capacité CD0 peut s’exprimer sous la forme :
C D0 =
q² Si N A
S0 - 112 
2kT
q Si N A
2S0
On arrive donc à l’expression du courant IDS:
- 38 -
(I.103)
I DS   0



C ox
W 1
1

** 
C D0 exp  F 1  exp VDS  exp
VGS  VGS

L 2
2

 C ox  C it  C D0

(I.104)
avec :
**
VGS
 VGS S  1.5 F  VBS 
(I.105)
Pour VDS très faible, l’Eq. (I.104) se simplifie en l’expression suivante :
I DS   0



C ox
W1
1

** 
C D0 VDS exp
VGS  VGS
 exp  F 
L 
2

 C ox  C it  C D0

(I.106)
On peut identifier cette relation à l’équation (I.76), ce qui permet d’écrire :
C ox
C ox
1
**
*
F 
VGS
 2 F 
VGS
2
C ox  C it  C D0
C ox  C it  C D0
(I.107)
C  C it  C D0
**
*
VGS
 2,5 ox
 F  VGS
C ox
(I.108)
soit :
*
**
Remarque : Cette Eq. (I.108) fait le lien entre les tensions VGS
et VGS
introduites
respectivement dans les références [Grotjohn’84] et [Van Overstraeten’72] (aux faibles
tensions VDS).
Chapitre III : Le transistor MOS en
inversion
forte avant saturation
Dans cette deuxième partie, nous établissons les équations régissant le fonctionnement du
transistor en régime d’inversion forte avant saturation.
III.1. Expression préliminaire du courant
L’intégrale donnant le courant IDS est toujours valable (Eq. (I.20)) et s’exprime sous la
forme :
- 39 -

V
DS
W
I DS =  μ 0 Q SC  Q D dV
L
0
(III.1)
où Qn représente la charge par unité de surface de la couche d’inversion, QSC la charge
totale dans le semi-conducteur et QD la charge de la zone désertée. V est le potentiel
extérieur en chaque point du canal ayant pour origine la polarisation du drain.
III.2. Expression de QSC
La neutralité de la charge totale s’exprime par :
QG  Q tot  QSC  0
(III.2)
où Qtot représente l’ensemble des charges de l’isolant rapportées à l’interface Si-SiO2.
Par ailleurs, l’équation des tensions dans la structure MOS s’écrit :
VGS  Vox  S   MS  VBS
(III.3)
Vox 
avec :
QG
C ox
(III.4)
En régime d’inversion forte, le potentiel de surface s’écrit S = C +2F avec C = V - VBS.
D’où, en combinant les équations (III.2) à (III.4) :
Cox VGS - V + VBS - 2 F -  MS - VBS   Q tot + QSC = 0
(III.5)


Q
Q SC = -Cox  VGS - V -  MS + tot - 2 F 
C ox


(III.6)
Soit la tension Vtot définie comme :
Vtot =  MS -
Q tot
C ox
(III.7)
L’expression de la charge du semi-conducteur s’écrit alors :
QSC = -Cox VGS - V - Vtot - 2 F 
(III.8)
Expression de QD
La densité de charges dans la zone désertée étant égale à   qN A , on en déduit
immédiatement l’expression de la dérivée du champ électrique via l’équation de Poisson :
- 40 -
N
d
NA
y  y d  , et donc à
 q A . L’intégration de cette équation donne (x) = -q
dy
 Si
 Si
N
l’interface (y=0) S = q A y d . On exprime alors l’épaisseur de la zone désertée, yd, en
 Si
fonction du potentiel sous la forme suivante :
 ( y) =
qN A
 y  y d ²
2 Si
(III.9)
qN A
y d ² et tenant compte du fait qu’en régime
2 Si
de forte inversion S  V  VBS  2 F , l’épaisseur maximale de la zone déplétée ydM s’écrit :
En surface, cette expression devient S =
y dM =
2 Si
V  VBS  2 F 
qN A
(III.10)
La charge de la zone déserté est alors Q D  qN A y dM , ce qui s’écrit en remplaçant ydM par
sa valeur trouvée précédemment :
Q D = - 2qN A Si V - VBS + 2 F 
(III.11)
Expression du courant
En reportant les expressions de QSC et QD (Eqs. (III.8) et (III.11)) dans l’expression du
courant (Eq. III.1) on obtient :
I DS 

VDS
2qN A Si
W
V  VBS  2 F  12 dV

 0 C ox
VGS  V  Vtot  2 F 
0
L
C ox


(III.12)
qui une fois integré donne :
VDS
3 
 
W
V
 2 2qN A  Si
V  VBS  2 F  2 
I DS 
 0 C ox V VGS   Vtot  2 F  
L
2
C ox
 3
 
 0
soit :
I DS 

3
V
W

 2 2qN A  Si 
 0 C ox VDS  VGS  DS  Vtot  2 F  
 VDS  VBS  2 F  2
L
2
C ox


 3

3 
  VBS  2 F  2 

(III.14)
- 41 -
(III.3)
Pour des valeurs VDS suffisamment faibles (i.e. VDS  VBS  2 F ), un développement
limité au premier ordre de l’expression donne :
VDS  VBS  2 F 
3
2
  VBS  2 F  2   VBS  2 F 
3
3
3



 2 
VDS

2 
 1  1
  VBS  2 F





3 
VDS
3
  VBS  2 F  2 1 

 2  VBS  2 F 
1
3
 VDS  VBS  2 F  2
2
(III.15)
Le courant IDS s’exprime alors sous la forme simplifiée suivante :

2qN A Si
W
 VBS  2 F  12  VDS 
 0 C ox VDSVGS  Vtot  2 F 
L
C ox
2 
(III.16)
I DS 
On défini à présent la tension de seuil du transistor par la quantité suivante :
VT  Vtot  2 F 
2qN A  Si
C ox
 VBS  2 F  12
(III.17)
ce qui permet d’écrire l’expression bien connue du courant IDS :
V 
W

 0 C ox VGS  VT  DS  VDS
L
2 

(III.18)
I DS 
Expression de la mobilité
Dans l’équation (III.18) établie précédemment, le terme0 correspond à la mobilité des
porteurs sous faible champ électrique. D’un point de vue physique, il est clair que cette
mobilité n’est pas celle qui convient pour décrire le transport des porteurs en régime
d’inversion forte. En effet, certaines interactions porteurs-milieu ne peuvent plus être
négligées dès lors que la densité de porteurs en surface du canal devient importante. On
est donc amené à introduire une mobilité effective eff qui tient compte de ces interactions.
Schématiquement, trois mécanismes différents sont à l’origine du comportement de la
mobilité en régime d’inversion forte [5] :
 Les collisions sur les phonons ;
 Les collisions coulombiennes ;
 Les collisions sur la rugosité de surface.
Il est intéressant de s’attarder sur ces mécanismes sans entrer vraiment dans les détails.
- 42 -
5.1. Collisions sur les phonons
Au-dessus de 0 K, un réseau cristallin vibre suivant des modes de vibration ou phonons qui
dépendent de l’énergie d’excitation apportée au réseau. A faible énergie thermique
(typiquement pour des températures inférieures à 100 K), ce sont les phonons acoustiques
qui prédominent. A plus forte énergie, (e.g. pour des températures voisines de 300 K), il
faut considérer les phonons optiques.
Lors de son transport dans la couche d’inversion, un électron peut entrer en collision avec
un ou plusieurs phonons, ce qui se traduit par une diminution de sa mobilité.
5.2.
Collisions coulombiennes
Les collisions coulombiennes sont dues à la présence de charges électriques parasites à
proximité du canal du transistor qui viennent perturber le transport des électrons. Ces
charges correspondent aux charges fixes d’oxyde, aux charges des états d’interface et aux
impuretés ionisées dans le substrat.
L’influence de ces collisions coulombiennes est importante lorsque la couche d’inversion est
d’épaisseur très faible. Elle diminue en revanche lorsque l’on est en forte inversion car un
phénomène d’écrantage apparaît alors. En effet les électrons qui sont "loin" de l’interface
ne "voient" pas les charges qui s’y trouvent en raison de la présence d’autres électrons (en
densité importante) situés entre eux et l’interface.
A l’instar des collisions phoniques, un électron peut être gêné lors de son transport dans la
couche d’inversion par les charges parasites situées à proximité du canal du transistor. Il
en résulte une baisse de la mobilité.
5.3.
Collisions sur la rugosité de surface
Lorsque la couche d’inversion est totalement formée (inversion forte), les collisions sur les
phonons et sur les centres coulombiens influencent relativement peu la mobilité des
porteurs. Un troisième phénomène, dû à la rugosité de surface du canal, devient
prédominant. Il en résulte qu’à fort champ électrique (VGS élevée), les électrons proches de
l’interface ont tendance à subir principalement cette rugosité de surface qui freine leur
transport dans le canal.
(Grille)
(Source)
VGS
2
3
(Drain)
IDS
N+
4
5
VDS
N+
1
Substrat type-P
(Substrat)
VBS
- 43 -
Figure III.1.
Schématisation des
différents types de charges présents
dans un dispositif MOS au voisinage
de
l’interface
Si-SiO2
et
des
mécanismes collisionnels affectant la
mobilité des porteurs dans le canal.
La Fig. (III.1) résume les différents types de charges présents au voisinage de l’interface et
des mécanismes collisionnels affectant la mobilité des porteurs dans le canal : électrons
présents dans le canal (1), charges fixes dans l’oxyde (2), états d’interface (3), rugosité de
surface (4), impuretés ionisées dans le substrat (5).
En résumé, à température ambiante (300 K), la mobilité des porteurs est essentiellement
affectée par les phonons et les pièges chargés aux faibles valeurs du champ électrique et
par la rugosité de surface à fort champ.
5.4. Mobilité effective en inversion forte
A partir des considérations précédentes, on montre, sur le plan physique, que la mobilité
effective des porteurs peut s’exprimer sous la forme suivante :
1
I


Q n  + 1 Q n + 2QD  n  2 Q n + Q D 2
 eff
I
1
2
(III.19)
1

expression dans laquelle :
 le terme
I
1
traduit l’influence des collisions coulombiennes ;
Qn  
I
 imp
 le terme
1
Q n + 2QD  1n  1 représente les collisions sur les phonons ;
1
 phon
 le terme
2
Q n + Q D 2  1 représente les collisions sur la rugosité de surface.
2
 surf
Ce modèle physique est valable en régime d’inversion (faible et forte).
Un autre paramètre important qui affecte cette mobilité effective est la résistance série RSD
d’accès au canal. Elle intervient dans le calcul de la mobilité effective suivant la relation :
1
 eff

1
 imp

1
 phon

1
 surf

W
R SD Q n
L
(III.20)
Parallèlement à cette approche "physique", on montre que sur le plan expérimental, la
mobilité effective peut se modéliser empiriquement sous la forme :
 eff =
0
V 
V 


1 + 1  VGS  VT  DS    2  VGS  VT  DS 
2 
2 


(III.21)
Pour les faible valeurs de VDS, l’Eq. (III.21) se réduit à :
- 44 -
2
0
 eff =
1 + 1 VGS - VT    2 VGS  VT 2
(III.22)
ce qui conduit à l’expression du courant IDS :
I DS 
V 
W

 eff C ox  VGS  VT  DS VDS
L
2 


W
L
V 

 0 C ox VDS  VGS  VT  DS 
2 

V 
V 


1  1  VGS  VT  DS    2  VGS  VT  DS 
2 
2 


2
(III.23)
Il est possible d’établir une corrélation entre le modèle physique et le modèle empirique de
la mobilité effective afin d’analyser la dépendance des coefficients µ0, 1 et 2 avec certains
paramètres physiques [6]. Les calculs qui suivent ont pour but d’illustrer ce passage entre
les deux modèles en mettant en évidence l’influence de la résistance d’accès au canal sur la
valeur du coefficient empirique 1.
Sur la figure (III.2) est représenté le schéma électrique d’un transistor MOS avec ses
résistances d’accès au canal, côté source et côté drain. Dans l’expression du courant sourcedrain établie précédemment (Eq. (III.23)), il faut remplacer VGS par VGS’ et VDS par VD’S’.
Bien évidemment, IDS = ID’S’ avec 1 remplacé par  1* .
D
RSD/2
Figure III.2.
Représentation schématique d’un
transistor MOS (encerclé) et de ses résistances d’accès
au canal.
D’
G
VD’S’
VDS
S’
VGS
RSD/2
S
D’après la figure (III.2), on peut écrire très simplement (loi des mailles) :
VDS  R SD I DS  VD'S'
(III.24)
En remplaçant IDS par son expression tirée de l’équation (III.23) à faible VD’S’, il vient :
I D'S' 
 0 C ox VD'S' VGS'  VT 
W
L 1  1 VGS'  VT    2 VGS'  VT 2
(III.25)
d’où :
- 45 -
VDS = R SD
(III.25)
W
 eff C ox VGS'  VT VD'S' + VD'S'
L
W


VDS = R SD
 eff C ox VGS'  VT   1 VD'S'
L


(III.26)
On en déduit alors l’expression de VD’S’ :
VD'S' 
VDS
W
R SD
 eff C ox VGS'  VT   1
L
(III.27)
Remplaçant VD’S’ par son expression dans l’expression du courant, il vient :
I DS =
W
 eff C ox VGS'  VT 
L
VDS
R SD
W
 eff C ox VGS'  VT +1
L
(III.28)
soit :
I DS =
 0 C ox VGS'  VT 
W

*
L 1 + 1 VGS'  VT  +  2 VGS'  VT 2
R SD
VDS
 0 C ox VGS'  VT 
W
+1
L 1 + 1* VGS'  VT  +  2 VGS'  VT 2
(III.29)
ou encore :
 0 C ox VGS'  VT VDS
W

W
L


1 +  1* + R SD
 0 C ox VGS'  VT  +  2 VGS'  VT 2
L


(III.30)
I DS =
On pose donc :
1 = R SD
(III.31)
W
 0 C ox + 1*
L
ce qui permet d’écrire IDS sous sa forme finale :
I DS =
VDS
W
 0 C ox VGS' - VT 
L
1 + 1 VGS' - VT  +  2 VGS' - VT 2
(III.32)
D’après l’Eq. (III.31), on constate donc que la résistance d’accès intervient directement
dans l’expression du coefficient 1, avec toutefois une expression du courant (Eq. (III.32))
- 46 -
faisant intervenir VGS’ au lieu de VGS. Pour retomber sur l’expression initiale du courant, il
faut donc considérer l’équation suivante :
VGS  VGS' 
(III.33)
R SD
I DS
2
De l’Eq.(III.33), on déduit que pour avoir VGS = VGS’ il faut et il suffit que le terme
(RSDIDS)/2 soit négligeable devant VGS’, i.e. VDS faible et RSD pas trop élevée.
La transconductance
La transconductance gm d’un transistor MOS est définie par la dérivée suivante :
I DS
VGS
(III.34)
gm 
Pour établir l’expression de la transconductance, on part de l’Eq. (III.23) donnant
l’expression du courant IDS que l’on dérive :
V 

1 -  2  VGS  VT  DS 
2 

2
W
 0 C ox VDS
L
2 2

VDS 
VDS  


1 + 1  VGS  VT 
 +  2  VGS  VT 
 
2 
2  




(III.35)
gm =
S’il n’y avait pas de rugosité de surface, gm s’exprimerait sous la forme :
0
W
C ox
V
2 DS
L

VDS 


1 + 1  VGS  VT 
2 


(III.36)
gm =
Dans le cas où VDS est très faible, la quantité VDS/2 peut être supprimée de l’expression
précédante et dans ce cas RSD est inclus dans 1.
Exemple
Les figures (III.3.a) et (III.3.b) montrent des simulations de IDS(VGS) en fonction de 1 et de
2. Comme le laisse supposer l’équation (III.35), le terme 2 peut rendre la résistance
dynamique IDS/VGS négative. En effet la figure (III.3.a) montre qu’à partir d’un certain
VGS le courant commence à décroître. Il est à noter aussi qu’il est possible de trouver un 1
négatif lorsque les collisions coulombiennes sont importantes.
- 47 -
-4
1.0x10
-4
8.0x10
-5
6.0x10
-5
0
1.0x10
-4
8.0x10
-5
6.0x10
-5
4.0x10
-5
2.0x10
-5
-2
0,05 V
0,1 V
4.0x10
-5
2.0x10
-5
-1
-0,1 V
-2
-2
(A)
IDS
IDS (A)
1.2x10
0,3 V
-2
0,6 V
-1
-0,05 V
0
-1
0,05 V
-1
0,1 V
a
0
1
2
3
VGS (V)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
VGS (V)
Figure III.3. Tracé de IDS(VGS) pour 2 et 1 variables NA = 1.2 1023 m-3, tox = 59 Å, W = 10
µm, L = 1 µm, VDS = 25 mV. a 2 variable, 1 = -0,01V-1. b 1 variable, 2 = 0,06 V-2.
- 48 -
- 49 -