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MPSI B
21 janvier 2017
Énoncé
b. Calculer l'axe z1 du point M1 du bord en lequel se produit le premier choc.
Donner un argument de vz10 .
Dans un plan horizontal, on considère un billard circulaire 1 de rayon 1. Il est identié
au disque unité du plan complexe et son bord au cercle unité U de centre 0.
D = {z ∈ C, |z| ≤ 1}
−
4. Calcul de →
v1 . Traduire la propriété de réexion élastique en M1 par une relation entre
des arguments de vz10 et de vz11 . En déduire vz11 .
5. Montrer qu'il existe β ∈]0, 2π[ indépendant de n (à exprimer avec α) tel que :
U = {z ∈ C, |z| = 1}
Une boule (ponctuelle) est lancée à l'instant t = 0 d'un point M0 (d'axe z0 ) du
bord. Elle rebondit contre le bord du billard en des points M1 , M2 , · · · , Mi , · · · d'axes
z1 , z2 , · · · , zi , · · · .
On suppose que son mouvement est rectiligne uniforme (norme de la vitesse égale 1) entre
deux chocs et qu'il se poursuit indéniment. Les vitesses entre M0 , M1 , M2 , · · · sont notées
→
−
−
−
v0 , →
v1 , →
v2 , · · · . Elles sont de norme 1 et d'axes v0 , v1 , v2 , · · · .
Les chocs sont des réexions élastiques ; c'est à dire que la normale en un point du bord du
billard où un choc se produit est la bissectrice intérieure de deux segments de trajectoire
consécutifs.
On écrit l'axe de la vitesse initiale sous la forme v0 = z0 eiα avec α ∈ [0, 2π[.
Mk
∀n ∈ N∗ , zn = z0 einβ
6. Quelle est la longueur d'une corde Mj−1 Mj pour j ∈ N∗ ?
7. Donner une condition nécessaire et susante sur α pour que le mouvement soit périodique. Préciser la période et la trajectoire.
8. Autre méthode pour les résultats des questions 4 et 5.
zk−1
En exploitant symétrie et rotation, former une relation entre zk+1
zk et zk . En déduire
une expression de zk+1 en fonction de zk et zk−1 .
Que devient cette relation si zk = eiβ zk−1 ? Conclure.
Mk−1
−
→
v0
M0
Mk+1
(a) Choc élastique en
Mk
(b) Vitesse initiale
Fig.
1: Billard
1. Quel angle représente α ? Dans quel intervalle doit-il se trouver ?
2. Simplier 1 − 2 cos αeiα sous la forme d'une seule exponentielle.
3. Calcul de M1 .
a. Préciser géométriquement l'ensemble des points P d'axe w vériant :
∃λ ∈ R tel que w = z0 + λv0
1 d'après
X 98 PC 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Abillard
MPSI B
21 janvier 2017
Corrigé
M1
−−→
0M0
α
−
→
v0
M1
M0
M0
M2
M2
(a) Choc élastique en
M1
ϕ
→
−−
v0
M0
−−−→
−OM1
M1 .
3: Question 4
2: Interprétation du α de la vitesse initiale
−
4. Calcul de →
v1 . Considérons les angles portés sur la gure 3b. La propriété de réexion
élastique se traduit par le fait qu'ils sont opposés (bissectrice).
v0
v1
v1
0
Or θ est un argument de −v
−z1 = z1 et ϕ est un argument de −z1 = − z1 . On en déduit :
−−−→
−
donc une mesure de l'angle entre OM0 et →
v0 (g 2).
1. Le réel α est un argument de
Le mouvement se fait à l'intérieur du billard si et seulement si
v0
z0
α∈
iπ π
h
, +π
2 2
un argument de
2. En utilisant la dénition de cos avec une exponentielle :
1 − 2 cos αe
iα
3.
−
→
v1
(b) Vecteurs en
Fig.
Fig.
θ
Si α1 est un argument de
= 1 − e−iα + eiα eiα = −e2iα = ei(2α+π)
mod (2π)
alors (comme v1 est de module 1) :
v1 = z1 eiα1 avec α1 + π ≡ −(−α + π)
a. Les points dont l'axe vérie la condition imposée forment la droite passant par
−
M0 et de direction →
v0 .
b. Avec les conditions précisées par l'énoncé, on peut chercher l'axe du premier
point de contact avec le bord sous la forme z0 + λz0 eiα avec λ réel. Ce complexe
doit être de module 1 ce qui donne 1 + λ2 + 2λ cos α = 1 ou λ = −2 cos α. On en
déduit
mod (2π) ⇒ α1 ≡ α
mod (2π) ⇒ v1 = z1 eiα
L'axe de la vitesse après le premier choc est eiα z1 .
5. Le calcul du premier choc conduit à :
point : z0
vitesse : v0 = eiα z0
z1 = (1 − 2 cos αeiα )z0 = −e2iα z0 = ei(2α−π) z0
)
(
−→
point : z1 = ei(2α−π) z0
vitesse : v1 = eiα z1
Comme l'expression de v1 en fonction de z1 est analogue à celle de v0 en fonction de
z0 , on peut calculer le deuxième choc et, la forme étant la même, les chocs suivants :
)
(
(
z1 = ei(2α−π) z0
z2 = ei(2α−π) z1
zn = ein(2α−π) z0
−→
−→
·
·
·
−→
v1 = eiα z1
v2 = eiα z2
vn = eiα zn
De plus
z0 eiα
v0
v0
=
= ei(−α+π) ⇒ −α + π est un argument de
z1
z1
z0 ei(2α−π)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
v1
z1
v1
v0
+ π ≡ −un argument de
z1
z1
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Rémy Nicolai Abillard
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De plus,
21 janvier 2017
π
π
< α < + π ⇒ π < 2α < 3π ⇒ 2α − π ∈]0, 2π[
2
2
On a donc bien montré qu'il existe β = 2α − π ∈]0, 2π[ tel que zn = einβ z0 .
6. La longueur Mj−1 Mj est la valeur absolue du λ de la question 3b :
Mj−1 Mj = −2 cos α > 0 car
π
π
<α< +π
2
2
7. Si le mouvement est q -périodique alors z0 = zq donc qβ ∈ 2πZ. Il existe donc un entier
p tel que q(2α − π) = 2pπ donc
2p + q
p 1
α
=
= + ∈Q
π
2q
q
2
Réciproquement, si
α
π
est rationnel et si p et q sont des entiers dénis par
p
α 1
= −
q
π
2
Alors le mouvement est q périodique. Les points sur le bord forment un polygône
régulier mais la trajectoire ne décrit pas forcément les côtés. Par exemple (gures 4a
et 4b) :
(
(
α=
9π
⇒
14
p=1
q=7
ou
α=
13π
⇒
14
p=3
q=7
(a) Cas
8. On peut ramener Mk au point d'axe 1 par une rotation. Les images de Mk+1 et
zk−1
Mk−1 par cette même rotation sont alors zk+1
zk et zk . La symétrie de la gure étant
conservée par rotation, les images sont symétriques par rapport à l'axe réel donc
zk+1
=
zk
zk−1
zk
⇒ zk+1 =
α=
9π
14
(b) Cas
Fig.
α=
13π
14
4: Question 7
zk
zk−1
zk
Si zk = eiβ zk−1 , on en tire
zk+1 =
eiβ zk−1
zk−1 = e2iβ zk−1 = eiβ zk ⇒ zk = eikβ z0
e−iβ zk−1
à partir du calcul de z1 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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