Chapitre 1.1 - Le cercle trigonométrique

Chapitre 1.1 - Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique représente un cercle de « 1 » unité de rayon centré à l’origine
d’un plan cartésien xy :
y
(0,1)
1
(-1,0)
(0,0)
(1,0)
x
(0,-1)
Si l’on fait rouler ce cercle sur une ligne droite, on peut mesurer la circonférence du
cercle et retrouver les quatre points identifiés sur le cercle aux endroits suivants :
y
(0,1)
1
(-1,0)
(0,0)
(1,0)
x
(0,-1)
Circonférence = 6,283185..
Le nombre π
Puisque la circonférence d’un cercle trigonométrique est un nombre irrationnel, on définit
exactement la circonférence d’un cercle trigonométrique de la façon suivante :
Ctrigo = 2π ≈ 6,283185
où
C trigo : Circonférence du cercle trigonométrique.
π : Le nombre irrationnel Pi ( π = 3,141592654... ).
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Le radian
Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer la longueur d’un arc de cercle
trigonométrique. Le synonyme « angle » est régulièrement utilisé pour nommer cette
longueur d’arc de cercle. On utilise l’axe θ pour définir cette longueur. On peut
également faire une correspondance entre la longueur de l’arc de cercle et une longueur
horizontale.
Définition :
θ
(arc de cercle d’un cercle trigonométrique)
Conventions :
La mesure de l’arc de cercle débute toujours à la coordonnée (1,0) du plan xy.
L’arc est positif si la rotation s’effectue dans le sens antihoraire.
L’arc est négatif si la rotation s’effectue dans le sens horaire.
y
π/4
(1,0)
x
-2π / 3
-2π / 3
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
0
π/4
θ
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Coordonnée xy associée à un arc de cercle trigonométrique
Puisque l’arc de cercle est situé sur un cercle de « 1 » unité de rayon centré à l’origine
d’un système d’axe xy, on peut associer une coordonnée (x,y) aux deux extrémités de
l’arc de cercle. Par convention, l’arc de cercle débute à la coordonnée (1,0) et se termine
à la coordonnée définie par la fonction P(θ ) :
P(θ ) = (x, y )
où
P(θ ) : Fonction définissant la coordonnée xy de l’extrémité de l’arc de cercle.
θ : Longueur de l’arc de cercle débutant à la coordonnée (1,0).
x : Coordonnée en abscisse de l’extrémité de l’arc de cercle.
y : Coordonnée en ordonnée de l’extrémité de l’arc de cercle.
y
7π / 6
P(0) = (1,0)
− 3/2
x
−1/ 2

3 1
,− 
P(7π / 6) =  −
2
 2
0
θ
7π / 6
Arc de cercle caractéristique
Puisque toutes les coordonnées (x,y) des points sur un cercle trigonométrique sont
comprises dans l’intervalle [-1..1], plusieurs coordonnées ne peuvent être exprimées avec
des expressions exactes, car ces coordonnées sont des nombres irrationnels. Par contre,
quelques coordonnées peuvent être exprimées de façon exacte :
y
(
P (2π / 3) = − 1 / 2,
(
(
P(3π / 4) = − 2 / 2,
2 /2
P(5π / 6 ) = − 3 / 2, 1 / 2
3/2
)
P(π / 2) = (0,1)
(
P(π / 3) = 1 / 2,
)
P (π / 4 ) =
)
3/2
(
2 / 2,
P(π / 6) =
P(π ) = (− 1,0 )
(0,0 )
)
(
2 /2
)
)
3 / 2, 1 / 2
P (0 ) = P (2π ) = (1,0 )
x
(
P(7π / 6 ) = − 3 / 2, −1/ 2
(
)
P (5π / 4 ) = − 2 / 2, − 2 / 2
(
P(11π / 6) =
)
P (7π / 4 ) =
)
P (4π / 3) = − 1 / 2, − 3 / 2
P(3π / 2) = (0,−1)
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(
(
(
3 / 2, −1/ 2
2 / 2, − 2 / 2
P(5π / 3) = 1 / 2, − 3 / 2
)
)
)
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La fonction sinus et cosinus
La fonction sinus est une fonction mathématique périodique permettant d’évaluer la
coordonnée y associée à l’extrémité d’un arc de cercle trigonométrique θ :
y = sin (θ )
où
y
: Coordonnée en ordonnée de l’extrémité de l’arc de cercle.
sin (θ ) : Fonction définissant la coordonnée y de l’extrémité de l’arc de cercle.
θ
: Longueur de l’arc de cercle débutant à la coordonnée (1,0).
Voici la forme de la fonction : sin (θ )
y
1
0
sin (θ )
π
π
2
3π
2
2π
θ
−1
La fonction cosinus est une fonction mathématique périodique permettant d’évaluer la
coordonnée x associée à l’extrémité d’un arc de cercle trigonométrique θ :
x = cos(θ )
où
x
: Coordonnée en abscisse de l’extrémité de l’arc de cercle.
cos(θ ) : Fonction définissant la coordonnée y de l’extrémité de l’arc de cercle.
θ
: Longueur de l’arc de cercle débutant à la coordonnée (1,0).
Voici la forme de la fonction : cos(θ )
x
1
cos(θ )
0
π
2
π
3π
2
2π
θ
−1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Ainsi, la fonction P(θ ) positionnant les points sur le cercle trigonométrique peut être
exprimée de la façon suivante :
(
P(θ ) = cos(θ ), sin (θ )
où
)
P(θ ) : Fonction définissant la coordonnée (x,y) de l’extrémité de l’arc de cercle.
θ
: Longueur de l’arc de cercle débutant à la coordonnée (1,0).
cos(θ ) : Coordonnée en abscisse de l’extrémité de l’arc de cercle.
sin (θ ) : Coordonnée en ordonnée de l’extrémité de l’arc de cercle.
y
P(θ ) = (cos(θ ), sin (θ ))
y
θ
P(0) = (1,0)
x
x
θ
0
θ
Arc de cercle de rayon quelconque
Soit un cercle de rayon r, il est possible de démontrer que la longueur d’un arc L sur ce
cercle est égale au rayon r de ce cercle multiplié par un arc d’ouverture θ associé à un
cercle trigonométrique. L’arc θ doit obligatoirement être mesuré en radian :
L = rθ
où
L : Longueur de l’arc de cercle de rayon r.
r : Rayon du cercle.
θ : Arc de cercle trigonométrique (rad).
y
L = rθ
θ
x
1
r
0
0
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
θ
θ
rθ
L
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Circonférence d’un cercle
Avec la relation entre le rayon d’un cercle et son angle d’ouverture, nous pouvons
mesurer la circonférence C de n’importe quel cercle en fonction de son rayon r :
C = 2π r
où
C : Circonférence du cercle.
π : Le nombre irrationnel Pi ( π = 3,141592654... ).
r : Le rayon du cercle.
Coordonnée xy associée à un cercle quelconque
En construction …
Le degré
Le degré est une mesure d’arc de cercle basée sur une circonférence de 360 unités. On
utilise régulièrement le mot « angle » pour définir la mesure en degré. Le degré n’est pas
une mesure réelle d’un arc de cercle trigonométrique, mais cette mesure peut être
convertie grâce à la relation suivante1 :
360° ↔ 2π
Voici une table de correspondance entre une mesure en degré et une mesure en
radian pour le premier quadrant :
Degré
0o
Radian
0
30o
π/6
45
o
π/4
60
o
π/3
90
o
π/2
Pour faire des subdivisions de degré, on utilise des fractions de degré (ex : 6,3o) ou on
utilise la minute et la seconde :
1 degré = 60 secondes :
1 seconde = 60 minutes :
1
1° = 60'
1' = 60' '
et
et
1' = 0,0166°
1' ' = 0,000277°
Le « grade » est une autre unité de mesure d’arc de cercle basée sur une circonférence de 400 unités (gr).
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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