LYCÉE BLAISE PASCAL ORSAY

LYCÉE BLAISE PASCAL
ORSAY
BAC BLANC 3 - 26 MAI 2012
SERIE : ES
DUREE DE L’EPREUVE : 3 heures
- COEFFICIENT : 2
Ce sujet comporte 6 pages dont une f euille Anne xe.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies
Les figures des feuilles annexes sont à coller sur la copie.
BB_3 - Obligatoire et Spécialité – mai 2012
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Exercice 1 (4 points)
Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chacune des questions, une seule des
réponses a, b ou c est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre
correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Barème : Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point et absence de
réponse n’apporte et n’enlève aucun point, si le total de points de l’exercice est négatif, il est ramené à 0.
1.
J’ouvre un livret d’épargne rémunéré à un taux annuel de 3,8 % et je place de l’argent pendant deux ans
750 € dès la première année et 850 € supplémentaires la deuxième année.
À la fin des deux ans, je possède :
a. 1660,80 €
2.
b. 2,31
c. 1 + ln ( e + 1)
L’égalité ln ( x 2 + 3x ) = ln x + ln ( x + 3) est vraie :
a. pour tout x réel
4.
c. 1723,91 €
ln ( e2 + e ) est égal à :
a. ln e2 + ln e
3.
b. 1690,38 €
b. si x > 0
c. si x < −3 ou si x > 0
On donne ci-dessous la fréquentation mensuelle des cinémas en France en 2006 en millions d’entrées :
janv.
14,01
fév.
22,8
mars
15
avril
20,9
mai
18,4
juin
11,9
juil.
10,2
août
15,2
sept.
9,9
oct.
nov.
déc.
13,5
16,7
20,4
Sources : CNC/DEPS
On appelle M la médiane de cette série et Q1 le premier quartile. On a :
b. M =
a. M = 2 Q1
5.
a.
6.
0
c. M = 15,1
e 2 x dx est égale à :
−1 + e 2
2
b. 1 − e 2
c.
2e 2 − 2
f '(1) = 3
b.
f '(1) = −1
c.
f (1) = 3
La fonction F : x ֏ 5 + ln ( 2 x + 10 ) est une primitive sur [0 ; +∞[ de la fonction f définie par :
a.
8.
1
2
f est une fonction définie et dérivable sur ℝ . La tangente au point d’abscisse 1 à la courbe
représentative de cette fonction f dans un repère du plan a comme équation réduite : y = − x + 3.
Alors on peut dire que :
a.
7.
∫
L’intégrale
(11,9 + 10, 2 )
f ( x) =
1
x+5
b.
f ( x) =
1
2 x + 10
c.
f ( x) = 5 +
1
x+5
A et B sont deux évènements indépendants associés à une expérience aléatoire tels que :
1
p ( A ) ≠ 0 et p(B) =
2
1
a. p ( A ∪ B ) = p ( A ) × p ( B )
b. p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B )
c. pA (B) =
2
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Exercice 2
(5 points)
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d’appareil photo
numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.
Il a constaté, lors d’une précédente promotion, que :
• 20 % des clients achètent l’appareil photo en promotion.
• 70 % des clients qui achètent l’appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion.
• 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
On suppose qu’un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en
promotion.
Un client entre dans le magasin.
On note A l’ évènement : « le client achète l’appareil photo en promotion ».
On note C l’évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».
1.
( )
(
)
a.
Donner les probabilités p A et p A ∩ C .
b.
Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu’il n’achète pas non
plus la carte mémoire en promotion.
2.
Construire un arbre pondéré représentant la situation.
3.
Montrer que la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.
4.
Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi
l’appareil photo en promotion. (le résultat sera arrondi au millième)
5.
Le commerçant fait un bénéfice de 30 € sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 €
sur chaque carte mémoire en promotion.
a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. (les
résultats seront justifiés)
Bénéfice par client en euros
Probabilité d’atteindre le bénéfice
0
0,6
b. Pour 100 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa
promotion ?
6.
Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d’achat sont indépendants.
Déterminer la probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion.
(le résultat sera arrondi au millième)
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Exercice 3 (5 points)
On se propose d’étudier l’évolution des productions d’électricité d’origines hydraulique et éolienne depuis 1999.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Partie A : Production d’électricité d’origine hydraulique
Le tableau suivant donne la production d’électricité d’origine hydraulique en France pour plusieurs années entre
2000 et 2005.
Année
Rang de l’année : xi
Production en GWh : yi
2000
0
71 593
2002
2
65 826
2003
3
64 472
2004
4
65 393
2005
5
57 271
1.
Représenter, dans le plan muni d’un repère orthogonal, le nuage de points associés à la série statistique
( xi ; yi ) définie ci-dessus.
On utilisera la feuille de papier millimétré donnée en annexe et on choisira comme unités graphiques 2 cm
pour une année sur l’axe des abscisses et 5 cm pour 10 000 GWh sur l’axe des ordonnées. On débutera la
graduation sur l’axe des ordonnées à 50 000.
2.
L’allure du nuage de points permet d’envisager un ajustement affine.
a. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, l’équation y = mx + p de la droite d d’ajustement affine de y en x
obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients m et p seront arrondis au dixième.
c. Placer le point G et tracer la droite d sur le graphique précédent.
Partie B : Production d’électricité d’origine éolienne
Le tableau suivant donne la capacité de production d’électricité d’origine éolienne installée en France de 2003 à
2008.
Année
Rang de l’année : xi
Puissance installée en MWh : yi
1.
2003
0
1,9
Ces données sont représentées par le nuage de points
2004
1
3,3
2005
2
5,5
2006
3
9,4
2007
4
35,5
2008
5
104,5
120
ci-contre :
100
On considère qu’un ajustement affine n’est pas
pertinent.
L’allure du nuage suggère de rechercher un
ajustement exponentiel de y en x.
Pour cela on pose pour tout entier naturel i compris
 y 
entre 0 et 5 : zi = ln  i  .
 100 
Dans les questions a et b suivantes, les calculs seront
effectués à la calculatrice. Aucune justification n’est
demandée. Les résultats seront arrondis au centième.
a.
b.
c.
2.
60
40
20
0
0
Recopier et compléter le tableau suivant :
Rang de l’année : xi
Puissance installée en MWh : yi
 y 
zi = ln  i 
 100 
80
0
1,9
1
3,3
1
2
2
5,5
3
3
9,4
4
4
35,5
5
5
104,5
Déterminer une équation de la droite d ' d’ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés.
 y 
ax
Sachant que z = ln 
 , déterminer l’expression de y sous la forme ke où k et a sont des nombres
 100 
réels à calculer qui seront arrondis au centième.
On suppose que l’évolution de la puissance installée se poursuit dans un avenir proche selon le modèle
précédent. Estimer, au centième de MWh près, la puissance installée prévue pour l’année 2010.
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Exercice 4 (6 points)
Partie A
 3
On considère la fonction f définie sur l’intervalle I =  0 ;  par f ( x) = ln ( −2 x + 3) + 2 x .
 2
La fonction f est dérivable sur l’intervalle I et on note f ′ sa fonction dérivée.
b.
3
.
2
Interpréter graphiquement cette limite.
a.
Montrer que la fonction f ′ est définie sur l’intervalle I par f ′( x) =
b.
c.
Déterminer le signe de f ′ ( x ) sur l’intervalle I
Donner le tableau des variations de f .
3.
a.
b.
Montrer que, sur l’intervalle [0 ; 1], l’équation f (x) = 1,9 admet une unique solution α.
Donner, sans justification, une valeur approchée à 10− 4 près par défaut de α .
4.
Soit F la fonction définie sur I par F ( x ) =
1.
2.
a.
a.
b.
Étudier la limite de f en
−4 x + 4
.
−2 x + 3
( 2 x − 3) ln ( −2 x + 3) + x 2 − x .
2
Démontrer que F est une primitive de f sur I.
Déterminer la primitive de f qui s’annule en 1.
Partie B : Application de la Partie A
Une entreprise, fournisseur d’énergie, envisage d’installer un parc d’éoliennes en pleine mer.
L’installation du parc en mer nécessite un câblage coûteux et délicat, mais le fait d’éloigner les éoliennes des
turbulences dues aux reliefs de la côte améliore leur rendement.
On note x la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte.
Pour des raisons techniques, l’installation doit se faire entre deux et onze kilomètres de la côte, c’est-à-dire
qu’on a 0, 2 x 1,1 .
Un service spécialisé, au sein de l’entreprise, arrive à la modélisation suivante :
Si l’installation se fait à x dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d’euros
réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par f (x).
1.
a.
b.
2.
À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d’énergie doit-il placer le parc pour que son
bénéfice soit maximal ?
Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.
À partir de quelle distance x de la côte, exprimée en mètres, le bénéfice dépasse-t-il 190 000 euros ?
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