Term ES Obligatoire 2010

[ TERMINALES ES : DS N°7 MATHEMATIQUES \
Mardi 10 Mai 2011 : Durée 2 heures
E XERCICE 1 M ÉTROPOLE JUIN 2010
4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des
quatre réponses proposées est exacte.
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. correspondante.
Question 1
Le nombre −3 est solution de l’équation :
• ln x = − ln 3
Question 2
• eln x = −3
• ln (ex ) = −3
La limite en +∞ de la fonction f définie sur l’intervalle
−2x 3 + 3x
est :
(2x − 1)3
• −∞
• +∞
• ex = −3
¸
• −1
·
1
; +∞ par f (x) =
2
• −
Question 3
1
4
Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 3 ln x −
2x + 5.
Dans le plan muni d’un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction f en son point d’abscisse 1 admet pour équation :
• y = x +2
• y = −x + 4
• y = 3x + 1
• y = x +3
Question 4
Un jeu consiste à lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont
numérotées de 1 à 6.
Un joueur donne 3 euros pour participer à ce jeu.
Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :
• si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros,
• si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro,
• sinon, il ne reçoit rien.
À ce jeu, l’espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est :
• 1
• 0
• −1
E XERCICE 2 A MÉRIQUE DU NORD JUIN 2010
• −2
8 points
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un
modèle d’appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible
avec cet appareil.
Il a constaté, lors d’une précédente promotion, que :
• 20 % des clients achètent l’appareil photo en promotion.
• 70 % des clients qui achètent l’appareil photo en promotion achètent la carte
mémoire en promotion.
• 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
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On suppose qu’un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus
une carte mémoire en promotion.
Un client entre dans le magasin.
On note A l’évènement : « le client achète l’appareil photo en promotion ».
On note C l’évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».
³
´
³ ´
1.
a. Donner les probabilités p A et p A ∩ C .
b. Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu’il n’achète pas non plus la carte mémoire en promotion.
2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
3. Montrer que la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion
est 0, 34.
4. Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité
que ce client achète aussi l’appareil photo en promotion.
5. Le commerçant fait un bénéfice de 30 € sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 € sur chaque carte mémoire en promotion.
a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du
bénéfice par client. Aucune justification n’est demandée.
Bénéfice par client en euros
Probabilité d’atteindre le bénéfice
0
0,6
b. Pour 100 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant
peut-il espérer tirer de sa promotion ?
6. Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements
d’achat sont indépendants.
Déterminer la probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas
l’appareil photo en promotion.
E XERCICE 3 L IBAN J UIN 2010
8 points
On considère la fonction g définie sur R par
g (x) = x + keax où k et a sont des nombres fixés.
Sur la figure donnée en annexe, la courbe C représentant la fonction g et la droite
D d’équation y = x sont tracées dans un repère orthogonal (unités : 2 cm pour l’axe
des abscisses, 1 cm pour l’axe des ordonnées).
Le point E a pour coordonnées (0 ; 6) et le point F a pour coordonnées (3 ; 0). On
précise que la droite (EF) est tangente à la courbe C au point E et la courbe C admet
au point B une tangente horizontale.
On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g .
1.
a. Par lecture graphique, déterminer la valeur de g (0).
b. Par lecture graphique, déterminer la valeur de g ′ (0).
c. Exprimer g ′ (x) en fonction de a et k.
d. En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de k et a. On
justifiera les calculs.
Dans la suite de l’exercice, on prendra g (x) = x + 6e−0,5x .
2. Démontrer que la droite D est asymptote à la courbe C en +∞.
3. On admet que la courbe C est située au dessus de la droite D. Soit S le domaine délimité par la courbe C , la droite D, l’axe des ordonnées et la droite
d’équation x = 4.
a. Hachurer S sur le graphique.
b. Calculer, en cm2 , l’aire A du domaine S. Donner la valeur exacte, puis
une valeur approchée à 0, 1 cm2 près.
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Annexe exercice 3 à remettre avec la copie
Nom ......................... Prénom :.....................
y
9
8
7
6
b
E
C
5
D
B
b
4
3
2
1
b
−1
O
1
2
3
F
4
5
x
−1
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