ts courbes de gauss - Pagesperso
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TS EXPONENTIELLES COURBES DE GAUSS 1 C Amérique du Sud - Novembre 2005 Partie A : -x² -x² On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = e et g(x) = x²e . On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal (abscisses : 2cm pour une unité ; ordonnées : 4 cm pour une unité). 1) 2) 3) 4) 5) 6) Etudier la parité de f et g Etudier les variations de f et g. Etudier les limites éventuelles de f et g en +∞. Dresser le tableau de variations de ces deux fonctions. Etudier la position relative de Cf et Cg. Tracer Cf et Cg. Partie B : x On considère la fonction g définie sur R par G(x) = ∫ t²e − t² dt 0 1) 2) 3) Que représente G pour la fonction g ? Donner pour x > 0 une interprétation de G(x) en termes d’aires. Etudier le sens de variation de G sur R. x On définit la fonction F sur R par : pour tout réel x, F( x) = ∫e 0 [ − t² dt ] 1 4) Démontrer que, pour tout réel x, G(x) = F( x) − xe −x² . 2 On admet que la fonction F admet une limite finie l en +∞ et que cette limite l est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine A limité par la courbe Cf et les axes des abscisses et des ordonnées. 5) Démontrer que la fonction G admet une limite en +∞ que l’on précisera. 1 6) Interpréter en termes d’aires le réel N = ∫ (1 − t²)e − t² dt 0 7) En admettant que la limite de G en +∞ représente l’aire P en unités d’aires du domaine D limité par l’axe des 1 abscisses et la courbe Cg, justifier graphiquement que ∫ (1 − t²)e 0 − t² dt ≥ l 2 (On pourra illustrer ce raisonnement sur la figure.) FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 1 03/08/2014 TS EXPONENTIELLES COURBES DE GAUSS 2 -kx² Soit k un réel strictement positif. On définit sur R la fonction Gk par : Gk(x) = e 1) 2) 3) 4) 6) Etudier la parité de Gk. Démontrer que Gk est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire le tableau de variation de Gk. Calculer Gk’’(x) et résoudre l’équation Gk’’(x) = 0 1 Tracer les courbes Gk pour k = , k = 1 et k = 2. 2 Démontrer que h ≤ k ⇔ Gh ≥ Gk sur R. 7) Dans cette question k = 5) 3 C 1 . Soit a la solution positive de l’équation Gk’’(x) = 0. Déterminer une équation de la 2 tangente T à la courbe Gk au point d’abscisse a. Tracer T sur le graphique. Courbes de Gauss et Points d’inflexion. Soit n un entier strictement positif. -nx² On définit sur R la fonction fn par : fn(x) = e 1) Etudier les variations de fn. 2) Montrer que la dérivée seconde f’’n(x) s’annule en deux valeurs opposées an et bn. 3) Soient An et Bn les points de C d’abscisses respectives an et bn. a) Montrer que lorsque n varie dans N, les points An et Bn restent sur une même droite. b) Démontrer que lorsque n varie dans N les tangentes aux points An et Bn à la courbe passent par un point fixe R. Déterminer les coordonnées de ce point. 4) Tracer les courbes Gk pour k = 1 et k = 2, ainsi que les points ak et bk et les tangentes en ces points. FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 2 03/08/2014 TS EXPONENTIELLES COURBES DE GAUSS CORRIGE : 1 Amérique du Sud - Novembre 2005. 1) 2) Les fonctions f et g sont paires. f ' (x) = −2xe − x ² f ' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 Donc f est croissante sur ] − ∞ ; 0 ] et décroissante sur [0 ; + ∞[ g' (x) = 2x(1 − x)(1 + x)e −x ² g' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 Donc g est croissante sur ] − ∞ ; − 1 ] ∪ [0 ; 1] et décroissante sur [−1 ; 0] ∪ [1 ; + ∞[ 3) 4) 5) 6) 2 lim f (x) = lim f (x) = 0 x − > +∞ x − > −∞ lim g (x) = lim g (x) = 0 x − > +∞ x − > −∞ Dresser le tableau de variations de ces deux fonctions. f(x) − g(x) = (1 − x)(1 + x)e −x ² ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 Donc C f est au dessus de Cg sur [−1 ; 1] et en dessous sur ] − ∞ ; − 1] ∪ [1 ; + ∞[ Tracer Cf et Cg. Soit k un réel strictement positif. -kx² On définit sur R la fonction Gk par : Gk(x) = e 1) Paire donc courbe symétrique 2) Gk est dérivable sur R comme composée de deux fonctions dérivables sur R. Gk' (x) = −2kxe−kx ² 3) En déduire le tableau de variation de Gk. Gk' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 Donc Gk est croissante sur ] − ∞ ; 0 ] et décroissante sur [0 ; + ∞[ lim Gk (x) = lim Gk (x) = 0 x − > +∞ x − > −∞ Gk'' (x) = −2ke −kx ² (1 − 2kx ²) 4) 1 1 Gk'' (x) = 0 ⇔ x = − ou x = 2k 2k Un point de la courbe où la dérivée seconde est nulle est appelé point d’inflexion. A cet endroit la courbe change de concavité. Autrement dit, la tangente « traverse » la courbe. 5) . h≤k ⇔ −hx ² ≥ −kx ² 6) ⇔ e −hx ² ≥ e−kx ² car la fonction exp est croissante sur R ⇔ Gh ≥ Gk FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 3 03/08/2014 TS EXPONENTIELLES COURBES DE GAUSS 7) 3 y=− 1 e x+ 2 e Courbes de Gauss et Points d’inflexion. 1) fn' (x) = −2nxe −nx ² fn' (x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 . Donc fn est croissante sur ] − ∞ ; 0 ] et décroissante sur [0 ; + ∞[ lim fn (x) = lim fn (x) = 0 x − > +∞ x − > −∞ fn'' (x) = −2ne −nx ² (1 − 2nx ²) 2) 1 1 fn'' (x) = 0 ⇔ x = − ou x = 2n 2n Un point de la courbe où la dérivée seconde est nulle est appelé point d’inflexion. A cet endroit la courbe change de concavité. Autrement dit, la tangente « traverse » la courbe. 3) Soient An et Bn les points de C d’abscisses respectives an et bn. 1 a) Les points appartiennent à la droite d’équation y = e b) 4) 2 I 0 ; e . FRLT http://frlt.pagesperso-orange.fr/ Page 4 03/08/2014