DEVOIR - MAISON DE MATHEMATIQUES (DM 1) Exercice 1

LEE - TES 2 - 23 octobre 2009
DEVOIR - MAISON DE MATHEMATIQUES (DM 1)
Ce devoir a non seulement pour objectif de raviver les souvenirs et les acquis en Mathématiques, mais aussi d'illustrer le cours avec
des exemples d'application dans d'autres domaines tels que l'environnement ou les Sciences Economiques.
Exercice 1
Lors d'une confrontation télévisée, deux scientifiques proposent des modèles sur la fonte des glaces
et la montée des eaux.
Le premier, Jean Conéinrayon, ingénieur affirme, que, selon son modèle, le niveau de la mer et des
océans, exprimé en centimètres, est donné par la fonction f définie par : f ( x ) = 3x − 6 + 3 ,
4
x+2
pour x ∈ [0; + ∞ [ .
x représente ici le temps, mesuré en année, à partir du 1er janvier de l'an 2010.
Le second, Claude Palégé, ancien ministre, suppute que le niveau de la mer suivra, au cours du
temps, la fonction g définie par : g ( x ) = 6 − 12 , pour x ∈ [0; + ∞ [ .
x+2
1. Montrer que f (0) = g (0) = 0 .
2. A l'aide de f ′( x ) et g' ( x ) , montrer que f et g sont toutes deux strictement croissantes, c'est-àdire que les deux scientifiques prévoient une hausse du niveau de la mer.
3. Déterminer lim g ( x ) .
x →+∞
4. Les affirmations suivantes confirment-elles ou contredisent-elles les propos de Claude Palégé ?
a. A partir d'une certaines années, le niveau de l'eau aura monté de plus de 5,9 cm par rapport à
celui de l'an 2010.
b. Le niveau de l'eau dépassera celui de 2010 d'au moins 6 cm.
5. On appelle C f et C g les courbes respectives de f et g dans un repère orthogonal ( O, i , j ) .
2
6. a. Démontrer que, pour tout réel x ∈ [0; + ∞ [ , f ( x ) − g ( x ) = 3x − 24 x .
4( x + 2)
b. Déterminer les positions relatives des courbes
On rappelle la méthode pour étudier les positions relatives entre deux courbes représentatives de
fonctions C f et C g :
On étudie le signe de f ( x ) – g ( x ) . On a la propriété :
f ( x ) − g ( x ) ≥ 0 sur I ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) sur I ⇔ C f est au dessus de C g sur I.
f ( x ) − g ( x ) ≤ 0 sur I ⇔ f ( x ) ≤ g ( x ) sur I ⇔ C f est en dessous de C g sur I.
7. Démontrer que la droite ∆ : y = 3 x − 6 est asymptote à C f en +∞
4
8. Dans un repère orthogonal ( O, i , j ) , tracer ∆ , C f et C g .
On choisira pour unité de longueur 1 cm pour 1 an en abscisses, 2 cm pour 1 cm en ordonnée.
On tracera les courbes pour des abscisses comprises entre 0 et 15.
On rappelle ce qu'on attend dans un tracé de courbe représentative :
Donner un tableau de valeurs pour chaque fonction, pour construire suffisamment de points pour
tracer précisément la courbe.
9. Représenter sur l'axe des abscisses, la période pendant laquelle Claude Palégé est plus alarmiste
que Jean Conéinrayon, concernant la montée des eaux.
10. On admet que la vitesse de montée des eaux pour les modèles f et g (exprimée en centimètre
par an) est donnée par les fonctions dérivées respectives f ' et g' .
Pour quel scientifique la vitesse de montée des eaux ne fait qu'augmenter ?
Pour quel scientifique la vitesse de montée des eaux ne fait que diminuer ?
Justifier par le calcul.
11. Déterminer lim f ′( x ) et interpréter cette limite.
x →+∞
Remarque finale : les chiffres peuvent paraître faibles, a priori. En réalité, 20 cm suffisent pour
menacer des millions de personnes et d'habitations, notamment dans le delta du Gange, l'une des
régions les plus densément peuplée de la planète.
Exercice 2
On note p le prix d'un produit en euros et f(p) la demande liée à ce produit pour le prix p.
En étudiant f, on s'intéresse donc à l'influence du prix d'un produit sur la demande, c'est-à-dire sur
la quantité de produit potentiellement achetés.
Une étude effectuée sur un certain article conduit à établir la relation suivante :
6 × 105 p
Pour tout p ∈ [2; + ∞[, f ( p ) =
.
36 p2 − 100
1. Calculer la demande, pour p = 2 ; p = 2,5 ; p = 15. Arrondissez si nécessaire à l'unité près.
2. Vérifier que f ( p ) > 0 , pour tout p ∈ [2; + ∞[.
3. Montrer que f est décroissante sur [2 ; +∞[.
Traduction : on montre ainsi que si le prix augmente, la demande diminue.
4. On suppose que le prix p, initialement à 2,5€, subit une augmentation de 1%.
a. Calculer le nouveau prix et la demande correspondant à ce prix, arrondi, arrondie à l'unité
près.
b. Déduisez-en le pourcentage de variation de la demande, consécutive à l'augmentation du prix.
On rappelle que si une valeur passe de d'une valeur initiale VI à une valeur finale VF, le pourcentage
de variation vaut : T = VF − VI × 100 .
VI
p f '( p )
On appelle « élasticité » de la demande par rapport au prix p le nombre E ( p ) =
, pour
f ( p)
p ∈ [2; + ∞[. On admet que ce réel donne une bonne approximation du pourcentage de variation
de la demande, pour une augmentation de 1% d'un prix donné. La démonstration (*) de ce résultat
est donnée en fin de DM, pour assouvir votre curiosité...
5. a. Quel est le signe de E ( p ) pour p ∈ [2; + ∞[ ? Justifier et interpréter cette réponse.
−36 p2 − 100
b. Etablir que E ( p ) =
.
36 p2 − 100
6. Calculer lim E ( p ) .
p →+∞
7. a. Calculer la valeur p0 pour laquelle l'élasticité est de –1,25.
b. Donner à l'aide de E, une approximation du pourcentage de variation de la demande quand
le prix du produit passe de 30€ à 30,30€.
(*) Démonstration : le prix d'un produit vendu initialement au prix p devient, après une hausse de
1% , 1,01p. Le pourcentage de variation de la demande vaut alors :
f (1,01 p ) − f ( p )
T ( p) =
× 100 .
f ( p)
Or, en assimilant une courbe à sa tangente, au voisinage de p,
f (1,01 p ) ≃ f '( p )(1,01 p − p ) + f ( p )
f (1,01 p ) ≃ f '( p ) × 0,01 p + f ( p )
f (1,01 p ) − f ( p ) ≃ 0,01 p × f '( p )
0,01 p × f ′( p )
p × f ′( p )
T ( p) ≃
× 100 , donc T ( p ) ≃
,
f ( p)
f ( p)
soit T ( p ) ≃ E ( p ) , ce qu'il fallait démontrer.