Puissances réelles et exponentielles de base a

Vestiges d'une terminale S – Puissances réelles et exponentielles de base a – Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais
Puissance réelle d'un nombre positif
Nous connaissons déjà la puissance entière (naturelle ou relative) d'un nombre réel.
Puissance entière d'un nombre réel a
La puissance nième du réel a est le réel noté a n et défini par :
an =
a
×…× a
a −n =
a 0 = 1 ou
ou
n facteurs a si n >0
1
1
1
×… × =
a
a an
n facteurs
1
a
Propriétés de la puissance réelle
La puissance réelle présente les mêmes propriétés que sa petite soeur entière. Mais si
celles de cette dernière découlent des propriétés du produit, celles de la puissance réelle
proviennent des propriétés des fonctions ln et exponentielle.
Dans ce qui suit, a et a' sont des réels positifs. b et c sont deux réels quelconques.
• L'exposant d'un produit est la somme des exposants.
•
a
•
La puissance réelle est parfaitement compatible avec la puissance entière. Cela
découle des propriétés de l'exponentielle. En effet , pour tout n ∈ * :
n termes n facteurs
n.ln ( a )
ln ( a ) +⋯+ ln ( a )
ln ( a )
ln a
n
n
a
=e
= e
= e
×… × e ( ) = a
× … × a = a
n facteurs
L'exponentielle du produit est la somme des...
0
a
=e
= e0 =
Puissance réelle
( )=
−n
a
=e
− n×ln a
Puissance réelle
1
= a0
1
e
L'exponentielle
de l'opposé...
=
1
n
a
D 'après ( )
=e ( )
e
b −c .ln a
= e( ) ( ) = a b −c
b.ln a − c.ln a
c.ln ( a )
En particulier, l'exposant de l'inverse est l'opposé de l'exposant (ici b = 0 ).
L'exposant de la puissance est le produit des exposants
c
b.ln a
a b = exp c × ln a b  = exp  c × ln e ( )  = exp c × b.ln ( a )  = a b×c





n
Car
ln
est
la
réciproque
d'exponentielle
ln a = n.ln ( a )
(
( )
)
ne s'applique que
si n est un entier naturel
•
Produit de deux mêmes exposants.
b.ln ( a )
b.ln a '
b.ln a + b.ln ( a ')
a b × a 'b = e
×e ( ) = e ( )
Le produit des exponentielles est la somme...
= exp  b. ( ln ( a ) + ln ( a ' ) )  = exp  b. ( ln ( a × a ' ) )  = ( a × a ' )
b
La somme des logarithmes est le logarithme du produit
•
Logarithme d'une puissance
b.ln a
ln a b  =
ln e ( )  = b.ln ( a )


 
car ln est la réciproque de l'exponentielle
Cette propriété prolonge celle qui existait déjà avec la puissance entière.
Puissance entière...
Puissance entière
n×ln ( a )
b.ln ( a )
( )
La fonction ln n'étant définie que sur ]0; +∞[ , la définition précédente n'a que
de sens que si a est un réel strictement positif.
Par contre, b est un réel quelconque.
Pour note, la puissance entière existe même pour les exposés a négatifs et 0.
0×ln ( a )
c
e
=
( )
b.ln ( a )
Quelques remarques sur cette définition :
• La puissance réelle d'un réel a étant une exponentielle, c'est une quantité qui est
toujours strictement positive.
Vu sous l'angle de
la puissance réelle
b + c .ln a
= e( ) ( ) = a b + c
b.ln a + c.ln a
Le quotient des exponentielles est l'exponentielle de la différence
La puissance b du réel positif a est le réel a et défini par :
•
c.ln a
L'exposant d'un quotient est la différence des exposants
ab
b
•
b.ln a
Le produit des exponentielles est l'exponentielle de la somme
Cette notion de puissance peut être étendue à tout exposant réel en s'appuyant sur les
fonctions logarithme népérien et exponentielle.
ab = e
( ) ×e ( ) = e ( )
( )
e
ab × ac =
Dans la présente définition, n est un entier naturel.
Puissance réelle d'un nombre réel positif a
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1
1
= × … × = a −n
a
a
Puissance entière
Etude des fonctions puissances xα
Dans ce qui suit, α est un réel fixé quelconque. La fonction fα est définie par :
α.ln x
fα ( x ) = x α = e ( )
Puissance réelle.
Du fait de l'emploi de la puissance réelle et du logarithme népérien, la fonction fα n'est
définie que sur ]0; +∞[ .
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Déterminons les limites de fα aux bornes de son ensemble de définition :
Quand x se rapproche de 0 par la droite,
Quand x tend vers +∞ , ln ( x ) s'en va aussi
ln ( x ) va vers −∞ .
vers +∞
Si α < 0 alors
lim α.ln ( x ) = +∞
x → 0+
donc
lim fα ( x ) = +∞
x →0 +
Si α > 0 alors
lim α.ln ( x ) = −∞
x → 0+
donc
lim fα ( x ) = 0
x → 0+
Si α < 0 alors
lim α.ln ( x ) = −∞
x →+∞
donc
lim fα ( x ) = 0
x →+∞
Si α > 0 alors
lim α.ln ( x ) = +∞
x →+∞
donc
lim f α ( x ) = +∞
x →+∞
α
Conséquence : lorsque α > 0 , fα peut être prolongée en 0 en posant f α ( 0 ) = 0 = 0 .
Comme la fonction u ( x ) = α.ln ( x ) est dérivable sur ]0; +∞[ alors sa composée avec
la fonction exponentielle est aussi dérivable sur cet intervalle et pour tout réel x > 0 :
α α.ln x
xα
′
u x
f α′ ( x ) = e u(x)  = u ' ( x ) .e ( ) = .e ( ) = α.
= α.x α−1


x
x
Comme la puissance réelle x α−1 est toujours positive, α donne son signe à la dérivée.
Si l'exposant α est négatif
Si l'exposant α est positif
x
+∞
0
α.x α−1
x
+∞
0
α.x α−1
–
+∞
fα
Du fait de ln, cette fonction n'a un sens que si le réel fixé a est strictement positif.
Par contre, il n'y a aucune contre-indication sur x. Donc expa est définie sur .
x.ln e
La fonction exponentielle e x = e x×1 = e ( ) est l'exponentielle de base e.
Déterminons les limites de la fonction expa en −∞ et +∞ .
Les limites de expa dépendent du signe de ln ( a ) . Deux cas sont possibles :
Si 0 < a < 1 alors ln ( a ) est négatif d'où
x.ln ( a )
= +∞
lim e
x →−∞ fα
0
0
Dérivée et primitive de la puissance réelle d'une fonction
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors
′
• La fonction u α est dérivable sur I et sa dérivée est u α = α.u '.u α .
( )
• Une primitive de la fonction u '.u α sur I est
lim e ( ) = 0
x →−∞ lim e ( ) = +∞
x →+∞ x.ln a
lim e
=0
x →+∞ ax
ax
x.ln a
ax
ax
u x
La fonction u ( x ) = x.ln ( a ) étant dérivable sur , il en va de même pour e ( ) .
u x ′
u x
expa′ ( x ) = e ( )  = u ' ( x ) .e ( ) = ln ( a ) .a x


Pour tout réel x, il vient :
La puissance réelle a x étant toujours positive, ln ( a ) donne son signe à la dérivée. Donc
Si 0 < a < 1 alors ln ( a ) est négatif d'où
x
Si a > 1 alors ln ( a ) est positif d'où
+∞
0
x
+∞
0
ln ( a ) .a x
–
+∞
Si a > 1 alors ln ( a ) est positif d'où
x.ln ( a )
ln ( a ) .a x
+
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+
+∞
+∞
fα
3
y= 
4
0
y = 0, 2x
x
fα
0
4
y = ex
4
y= 
3
x
α+1
u
α +1
2
y = 1x = 1
Etude des fonctions exponentielles de base a
La fonction exponentielle de base a est notée expa et est définie par :
x.ln a
expa ( x ) = a x = e ( )
Puissance réelle
-6
-4
-2
2
4
6