Corrigé double pendule

Corrigé double
pendule
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1) Calcul de l’énergie cinétique
Toutes les composantes sont exprimées dans le repère pseudo-galiléen de la figure de l’énoncé.
Position et vitesse des centres de masse :
(
)
(
)
l
l
cos α
− sin α
OG1 =
VG1 = α̇
sin α
cos α
2
2
(
OG2 = l
cos α + 12 cos β
sin α + 12 sin β
Energie cinétique :
)
{
Ec = Ec1 + Ec2
(
VG2 = l
−α̇ sin α − 21 β̇ sin β
α̇ cos α + 12 β̇ cos β
)
Ec1 = 12 I1O α̇ 2 car O est fixe
Ec2 = 21 m2VG22 + 12 I2G2 β̇ 2
avec I1O moment d’inertie de la barre 1 en 0 et I2G2 moment d’inertie de la barre 2 en G2 .
Il vient :
l2
3
l2
= m2
(12
I1O = m1
I2G2
)
1
VG22 = l 2 α̇ 2 + β̇ 2 + α̇ β̇ cos (α − β )
4
Avec m1 = m2 , il vient :
1
Ec = ml 2
2
(
)
4 2 1 2
α̇ + β̇ + α̇ β̇ cos (α − β )
3
3
2) Energie potentielle
Elle s’écrit :
E p = mghG1 + mghG2
(
)
3
1
= −mgl
cos α + cos β
2
2
3) Forces de liaisons
La force de liaison en O ne travaille pas (O est fixe).
En A, les travaux (ou puissances) des forces action-réaction s’annulent. Ils n’interviennent donc pas dans les équations
de Lagrange. La rotule est parfaite : les moments action-réaction sont nuls.
En B, la composante XB de la réaction ~RB est nulle car il y a glissement sans frottement. La composante YB ne travaille
pas car yB = cte = 0. C’est cette composante YB qui maintient la liaison yB = 0. Cette liaison s’écrit :
yB = l (sin α + sin β ) = 0
Le système à deux paramètres de configurations α et β liés par cette relation. Il n’a donc qu’un seul degré de liberté.
Si on ne s’intéressait qu’aux équations du mouvement, il serait plus judicieux d’exploiter cette liaison sous forme
holonôme β = −α , et d’éliminer β dans les expressions de Ec et EP où ne figureraient plus que α et α̇ . Le système serait
alors traité en système holonôme, avec autant de paramètres de configuration que de degrés de liberté (un seul dans le cas
présent). On en déduirait alors l’équation différentielle du mouvement en α , α̇ et α̈ en utilisant la formule de Lagrange :
∂ Ep
d ∂ Ec ∂ Ec
−
=−
dt ∂ α̇
∂α
∂α
sans autres termes, puisque YB ne travaille pas quand la liaison est maintenue.
4) Traitement en système holonôme
1
En substituant β = −α et β̇ = −α̇ dans Ec et E p on obtient :
(
)
1
5
Ec = ml 2 α̇ 2
− cos (2α )
2
3
E p = −2mgl cos α
Il vient :
(
)
∂ Ec
5
2
= ml α̇
− cos (2α )
∂ α̇
3
∂ Ec
= ml 2 α̇ 2 sin (2α )
∂α
∂ Ep
= 2mgl sin α
∂α
d’où l’équation différentielle en α :
(
)
5
2
ml α̈
− cos (2α ) + ml 2 α̇ 2 sin (2α ) + 2mgl sin α = 0
3
5) Traitement en non-holonôme
On conserve les deux paramètres α et β liés par la relation yB = 0, et les énergies cinétiques et potentielles exprimées
sous leurs premières formes en fonction de α̇ et β̇ .
Dérivons la relation de liaison pour faire apparaître la liaison non-holonôme entre les vitesses des paramètres de
configuration :
(1)
ẏB = (l cos α ) α̇ + (l cos β ) β̇ = 0
Les 2 équations de Lagrange vont s’écrire :
d
dt
d
dt
∂ Ep
∂ Ec ∂ Ec
−
=−
+ QNH α
∂ α̇
∂α
∂α
∂ Ep
∂ Ec ∂ Ec
−
=−
+ QNH β
∂β
∂β
∂ β̇
où QNH α et QNH β sont deux termes induits par la liaison non-holonôme (1).
a) Evaluation des QNH par les multiplicateurs de Lagrange :
Elle est immédiate. On associe à la liaison non-holonôme (1) un multiplicateur λ inconnu (qu’il faudra éliminer en
utilisant la liaison non-holonôme où plus précisément sa dérivée). On a alors :
QNH α = λ l cos α
QNH β = λ l cos β
Remarque : On aurait pu ôter le facteur l de la liaison, et même simplifier encore en considérant l’équation de liaison
α̇ − β̇ = 0. En appelant µ le multiplicateur de Lagrange associé à cette relation non-holonôme, on aurait dans ce cas :
QNH α = µ
QNH β = −µ
le paramètre µ , étant à éliminer entre les 2 équations de Lagrange en utilisant la relation α̈ − β̈ = 0. Mais en faisant cela,
le multiplicateur perd toute signification physique, et il ne sert à rien de le calculer ensuite, car il ne représente rien. Cette
simplification est à faire si on ne cherche par à calculer la force généralisée qui maintient la liaison. Ce calcul reviendrait
à la résolution faite en système holonôme.
b) Evaluation des QNH par les travaux virtuels (ou puissances virtuelles) :
La composante YB qui maintient la liaison travaille dans un déplacement virtuel δ yB = (l cos α ) δ α + (l cos β ) δ β qui
ne respecte pas la liaison. Ce travail vaut :
δ W = YB δ yB = YB [(l cos α ) δ α + (l cos β ) δ β ]
2
d’où :
δW
= YB (l cos α ) (quand seul δ α est non nul)
δα
δW
=
= YB (l cos β ) (quand seul δ β est non nul)
δβ
QNH α =
QNH β
Par les puissance virtuelles, on calcule la puissance de YB avec la vitesse virtuelle ẏ∗B = (l cos α ) α̇ ∗ + (l cos β ) β̇ ∗ soit :
]
[
Π = YB ẏ∗B = YB (l cos α ) α̇ ∗ + (l cos β ) β̇ ∗
d’où :
Π
= YB (l cos α ) (quand seule α̇ ∗ est non nulle)
α̇ ∗
Π
= YB (l cos β ) (quand seule β̇ ∗ est non nulle)
=
β̇ ∗
QNH α =
QNH β
En comparant avec le calcul fait en a), il apparaît clairement que si on garde son sens physique à la liaison nonholonôme (translation ou rotation contrainte), le multiplicateur associé à cette liaison dans les équations de Lagrange
est la composante de la force de réaction sur l’axe de translation, où la composante du moment de réaction sur l’axe de
rotation. Ici λ = YB .
On voit clairement l’intérêt des multiplicateurs de Lagrange qui fournissent directement les forces généralisées QNH
des forces ou moments associés aux liaisons non-holonômes, sans avoir à calculer leurs travaux virtuels (ou puissances
virtuelles), à les factoriser et à les dériver.
c) Equations de Lagrange
On obtient :
[ (
)
]
1 2 d 8
3
ml
α̇ + β̇ cos (α − β ) + α̇ β̇ sin (α − β ) = − mgl sin α +YB l cos α
2
dt 3
2
)
]
[ (
1 2 d 2
1
β̇ + α̇ cos (α − β ) − α̇ β̇ sin (α − β ) = − mgl sin β +YB l cos β
ml
2
dt 3
2
Soit :
8
g
2
α̈ + β̈ cos (α − β ) + β̇ 2 sin (α − β ) + 3 sin α = 2 YB l cos α
3
l
ml
2
g
2
β̈ + α̈ cos (α − β ) − α̇ 2 sin (α − β ) + sin β = 2 YB l cos β
3
l
ml
(2)
(3)
sans oublier la dérivée de la relation non-holonôme :
α̈ cos α − α̇ 2 sin α + β̈ cos β − β̇ 2 sin β = 0
La prise en compte de la liaison non-holonôme non dénaturée n’est importante que dans le cas des multiplicateurs,
pour leur donner un sens physique. Ce sens physique étant pris en compte dans notre écriture, la résolution est beaucoup
plus simple en revenant à la liaison écrite sous la forme α − β = 0, qui implique α̇ − β̇ = 0, qui implique α̈ − β̈ = 0.
Il en résulte :
10
g
α̈ − 2α̈ cos (2α ) + 2α̇ 2 sin (2α ) + 4 sin α = 0
3
l
g
4
(2) + (3) → 2α̈ + 2 sin α = 2 YB l
l
ml
(2) − (3) →
d’où :
1
1
ml α̈
YB = mg tan α +
2
2 cos α
3