Exercice 2 - Université de Poitiers

Université de Poitiers - 2015-2016
A. Moreau
Algèbre - Géométrie
M1 MEEF
Formes bilinéaires, produits scalaires, normes euclidiennes
et espaces vectoriels euclidiens
Dans ce qui suit, K = R ou C. Pour n ∈ N∗ , on désigne par Matn (K) l’ensemble des
matrices carrées d’ordre n, par Symn (R) l’ensemble des matrices symétriques d’ordre n, par
Antn (R) l’ensemble des matrices antisymétriques d’ordre n, et par O(n) l’ensemble des matrices
orthogonales.
Sauf mention explicite du contraire, E est un espace euclidien de dimension n muni d’un
produit scalaire noté (· | ·), et dont la norme associée est k · k.
Produits scalaires et normes euclidiennes
Exercice 1. Soit ϕ : Matn (R) × Matn (R) → R l’application définie par :
∀ (A, B) ∈ Matn (R) × Matn (R),
ϕ(A, B) = tr (tAB).
1. Montrer que ϕ définit un produit scalaire sur Matn (R).
2. On note Dn (R) l’ensemble des matrices diagonales de Matn (R). Déterminer Dn (R)⊥ ,
Symn (R)⊥ et Antn (R)⊥ .
3. L’application Matn (R) × Matn (R) → R, (A, B) 7→ tr (AB) est-elle un produit scalaire ?
Exercice 2 (deux démonstrations de l’inégalité de Cauchy-Schwarz).
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français. Il entre à
l’âge de 16 ans à l’École polytechnique, devient ingénieur militaire, puis professeur à la faculté des sciences de Paris, à l’École polytechnique et au Collège de
France. Il est élu à l’Académie des sciences. Son œuvre est considérable, notamment en analyse, à laquelle il donne un cadre rigoureux, en définissant précisément la continuité et l’intégrale. Ses recherches concernent tous les domaines
des mathématiques, en particulier les fonctions holomorphes, les équations différentielles, la théorie des groupes, l’algèbre linéaire, les déterminants. On lui
doit aussi des travaux en physique, notamment dans les domaines de l’élasticité
et de l’astronomie.
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) est un mathématicien allemand. Ses
travaux sont marqués par une forte interaction entre l’analyse et la géométrie.
Élève de Weierstrass, les notes de cours qu’il prit en 1861 contribuèrent à propager les idées de Weierstrass en Italie et en France1. Il a travaillé à Halle,
Göttingen puis à Berlin, sur des sujets allant de la théorie des fonctions à la
géométrie différentielle en passant par le calcul des variations.
Soient u et v deux vecteurs de Rn .
1. Une première démonstration.
L’inégalité est trivialement vérifiée si le vecteur u est nul. On suppose désormais u non
nul. Pour tout réel t, on pose :
P (t) = ktu + vk2 .
Justifier que l’application P est un polynôme de degré 2 qui admet un minimum en un
unique réel t0 . En remarquant que le réel P (t0 ) est positif, démontrer l’inégalité de CauchySchwarz :
|(u|v)| 6 kuk.kvk.
Traiter le cas d’égalité.
2. Une deuxième démonstration.
L’inégalité est trivialement vérifiée si l’un des vecteurs u ou v est nul. On suppose désormais
v
u
et v 0 =
. Justifier les identités :
u et v non nuls. On pose u0 =
kuk
kvk
ku0 + v 0 k2 − ku0 − v 0 k2 = 4(u0 |v 0 )
ku0 + v 0 k2 + ku0 − v 0 k2 = 4
En déduire l’inégalité
|(u0 |v 0 )| 6 1,
puis l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Traiter le cas d’égalité.
Exercice 3 (orthonormalisation de Gram-Schmidt).
Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) est un mathématicien danois. Il débute
une carrière dans une compagnie d ?assurances. Parallèlement, il poursuit ses
travaux en mathématiques, en particulier en analyse numérique, théorie des
nombres, probabilités et statistiques. Il publie également des articles présentant
un modèle mathématique destiné à maximiser le profit dans la gestion d ?une
forêt.
Erhard Schmidt (1876-1959) est un mathématicien allemand. Il est l’élève de
David Hilbert. Il obtient une chaire d ?analyse à l’université de Berlin où il
remplace Hermann Schwarz. Ses travaux concernent l’analyse fonctionnelle, les
équations intégrales, la topologie.
1. Soit E = R3 . Déterminer, grâce au procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, une
base orthonormée de F = Vect(ε1 , ε2 ) où ε1 = (1, −1, 0), ε2 = (0, 2, 1).
2. Soit E = R4 . Déterminer, grâce au procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, une
base orthonormée de F = Vect(ε1 , ε2 , ε3 ) où
ε1 = (1, 0, 1, 0),
ε2 = (−1, 1, 2, 0),
ε3 = (−2, 0, 0, 0).
3. Calculer pF 0 (ε3 ) où F 0 = Vect(ε1 , ε2 ) et où pF 0 désigne la projection orthogonale de E
sur F 0 .
Exercice 4 (distance d’un point à un espace vectoriel). F Soient E un espace euclidien, F un
sous-espace vectoriel de E et a ∈ E.
1. Établir, pour tous x, y ∈ E et tout λ ∈ R :
ka − x + λyk2 = ka − xk2 + 2λ(a − x | y) + λ2 kyk2 .
2. En déduire que, pour x ∈ F , les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) ||a − x|| = inf{||a − z|| ; z ∈ F } ;
(ii) (a − x) ∈ F ⊥ .
3. Prouver qu’il existe un unique point x de F vérifiant les conditions de la question 2), et
que c’est l’image de a par la projection orthogonale pF de E sur F .
Le réel ka − pF (a)k est appelé la distance de a à F . On la note d(a, F ).
Exercice 5 (déterminant de Gram). Pour (x1 , . . . , xp ) un système de vecteurs de E, on appelle
matrice de Gram du système (x1 , . . . , xp ) la matrice carrée d’ordre p, notée Gram(x1 , . . . , xp ),
dont le coefficient (i, j) est (xi |xj ).
1. Soient x1 , . . . , xp des vecteurs de E. Montrer que det Gram(x1 , . . . , xp ) = 0 si et seulement
si les vecteurs x1 , . . . , xp sont liés.
2. Soient a ∈ E, (e1 , . . . , ep ) une famille libre de E et F = Vect(e1 , . . . , ep ). Monter :
d(a, F )2 =
| det Gram(a, e1 , . . . , ep )|
,
| det Gram(e1 , . . . , ep )|
où d(a, F ) est la distance de a à F (cf. exercice 4).
3. Application. Calculer :
Z 1
d = inf{
1/2
|t3 − a − bt|2 dt
0
; a, b ∈ R}.
Adjoint d’un endomorphisme, endomorphismes orthogonaux et symétriques
On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E.
Exercice 6. Soient u ∈ L(E) et F un sous-espace vectoriel de E stable par u, i.e., u(F ) ⊂ F .
Montrer que F ⊥ est stable par u∗ , i.e., u∗ (F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . Interpréter matriciellement ce résultat.
Exercice 7. Soit p ∈ L(E) une projection (quelconque) de E.
1. Montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si kp(x)k 6 kxk pour tout
x ∈ E.
2. Montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si p = p∗ .
Exercice 8. Soit u ∈ Sym(E). On note Sym+ (E) (resp. Sym++ (E)) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. définis positifs), c’est-à-dire dont toutes les valeurs propres
sont positives (resp. strictement positives).
1. Montrer l’équivalence : u ∈ Sym+ (E) ⇐⇒ (u(x)|x) > 0
2. Montrer l’équivalence : u ∈ Sym++ (E) ⇐⇒ (u(x)|x) > 0
∀ x ∈ E.
∀ x ∈ E \ {0E }.
Exercice 9. Que dire d’une matrice A ∈ Sym+
n (R) de trace nulle ?
Exercice 10. Soit u ∈ L(E).
1. Établir : Ker u∗ = (Im u)⊥ et Im u∗ = (Keru)⊥ .
2. Établir : Ker (u∗ ◦ u) = Keru et Im (u ◦ u∗ ) = Im u.
3. Montrer que les endomorphismes u ◦ u∗ et u∗ ◦ u sont symétriques positifs.
Exercice 11. F On dit qu’un endomorphisme u de E est normal s’il commute avec son adjoint,
i.e., u ◦ u∗ = u∗ ◦ u. Soient u un endomorphisme normal de E et F un sous-espace vectoriel de
E stable par u. Montrer que F ⊥ est stable par u∗ et par u.
Exercice 12. F Soit u ∈ L(E) tel que : ∀ x ∈ E,
ku(x)k 6 kxk .
1. Montrer : ∀ x ∈ E, ku∗ (x)k 6 kxk.
2. Prouver que Ker (u − idE ) et Im (u − idE ) sont supplémentaires orthogonaux dans E.
Exercice 13. Soient n > 2 et A ∈ Matn (R) la matrice carrée d’ordre n définie par :

0 ···
.
.
.

0
..
.
0 · · ·

0
···
A=
1 ···

1
.. 

.

.. 
.

1
+
Montrer que A est diagonalisable. A-t-on A ∈ Sym++
n (R) ? A ∈ Symn (R) ?
Exercice 14 (Décomposition polaire).
1. Soit u ∈ L(E). Montrer qu’il existe un unique en+
domorphisme v ∈ Sym (E) tel que : v 2 = u∗ ◦ u.
2. Soit u ∈ GL(E). Montrer qu’il existe un unique couple (w, p) ∈ O(E) × Sym+ (E) tel que :
u = w ◦ p.
Exercice 15 (décomposition d’Iwasawa). F
Kenkichi Iwasawa (1917-1998) était un mathématicien japonais connu pour sa grande influence sur
la théorie algébrique des nombres.
Soit n ∈ N∗ . On note Tn>0 l’ensemble des matrices triangulaires supérieures dont les coefficients
diagonaux sont strictement positifs.
1. Soit P ∈ GLn (R). Montrer qu’il existe Ω ∈ O(n) et T ∈ Tn>0 tels que P = ΩT .
2. En déduire que tout A ∈ Sym++
s’écrit t T T où T ∈ Tn>0 .
n
Exercice 16. Soit A = (ai,j )16i,j6n ∈ Matn (R) avec ai,j = min(i, j). Montrer que A ∈
Sym++
n (R).
Espaces euclidiens de dimension 3
On suppose dans toute la suite que E est un espace euclidien orienté de dimension 3.
Exercice 17. Soient u, v, w ∈ E.
1. Vérifier que u∧(v∧w) ∈ Vect(v, w). En choisissant une base orthonormée directe (e1 , e2 , e3 )
telle que v ∈ Vect(e1 ), w ∈ Vect(e1 , e2 ), établir :
u ∧ (v ∧ w) = (u|w)v − (u|v)w , (u ∧ v) ∧ w = (u|w)v − (v|w)u.
2. Prouver les formules suivantes :
(u ∧ v) ∧ (u ∧ w) = [u, v, w]u , [u ∧ v, v ∧ w, w ∧ u] = [u, v, w]2 ,
u ∧ (v ∧ w) + v ∧ (w ∧ u) + w ∧ (u ∧ v) = 0.
Exercice 18 (Identité de Lagrange). Soient a, b, c, λ, µ, ν ∈ R. Prouver sans calcul que
(aλ + bµ + cν)2 + (aµ − bλ)2 + (aν − cλ)2 + (bν − cµ)2
est égal à :
(a2 + b2 + c2 )(λ2 + µ2 + ν 2 ).
Exercice 19. F Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et u ∈ SO(E) une
rotation de E. Montrer que u est le produit de deux réflexions, c’est-à-dire qu’il existe deux
réflexions s1 et s2 telles que u = s1 ◦ s2 .
Exercice 20. Par des transformations orthogonales à préciser, diagonaliser les matrices symétriques réelles suivantes :






−2 −2 1


−2 1 −2 .
1 −2 −2
0 1 0


1 1 1  ,
0 1 0
1 0 1


0 1 0 ,
1 0 1
Exercice 21. Un espace euclidien de dimension 3 étant rapporté à une base orthonormée directe,
montrer que les endomorphismes dont les matrices dans cette base sont


−2 6 −3
−1 

 6 3 2 ,
7
−3 2 6


0 1 0


0 0 1 ,
1 0 0


−2 −1 2
1

 2 −2 1
3
1
2 2
représentent des rotations. Déterminer les mesure d’angles et les axes de ces rotations.
Exercice 22. Soit f un endomorphisme symétrique de E tel que : ∀ x ∈ E, (f (x) | x) = 0.
Déterminer f .
Exercice 23. Soient u un vecteur non nul de E et f ∈ L(E) défini par :
f : E → E,
x 7→ u ∧ x.
1. Vérifier que f est une application linéaire puis déterminer Ker f et Im f .
2. Déterminer f ∗ .
3. Montrer que f 2 est diagonalisable en base orthonormée.
Exercice 24. Soit f ∈ L(E) tel que : ∀ u, v ∈ E, f (u ∧ v) = f (u) ∧ f (v). Montrer que f est ou
bien l’endomorphisme nul, ou bien une rotation.
Exercice 25. Soient a, b ∈ E, avec a 6= 0.
1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) (a | b) = 0 ;
(ii) il existe x ∈ E tel que a ∧ x = b.
2. On suppose que (a | b) = 0. Etablir : {x ∈ E | a ∧ x = b} = {
b∧a
+ λa ; λ ∈ R}.
kak2
Formes quadratiques
Exercice 26. Pour P, Q ∈ Kn [X], on pose ϕ(P, Q) = P (1)Q(1). Montrer que ϕ est une forme
bilinéaire symétrique sur Kn [X]. Déterminer son noyau et son rang. Déterminer une base ϕorthogonale de Kn [X].
Exercice 27. On suppose dim E = 2. Soient E = (e1 , e2 ) une base de E, et ϕ une forme
bilinéaire symétrique définie par :
!
Mat(ϕ; E ) =
1 1
.
1 1
Soient F = Ke1 , G = Ke2 . Déterminer (F ∩ G)◦ et F ◦ + G◦ .
Exercice 28. Soient E = Matn (R) et ϕ : E × E → R, (A, B) 7→ tr (AB).
1. Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique. Cette forme est-elle non-dégénérée ?
2. Montrer que toute matrice symétrique est ϕ-orthogonale à toute matrice anti-symétrique.
3. Quelle est la signature de ϕ ?
Exercice 29. Par la méthode de Gauss, déterminer les signatures des formes quadratiques sur
R3 données par :
a) Q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4(xy + yz + zx).
b) Q(x, y, z) = 2x2 + 6y 2 − 4xy + 8xz.
c) Q(x, y, z) = xy + yz + 2zx.
d) Q(x, y, z) = 3x2 + 3y 2 + 2z 2 − 2xy.
e) Q(x, y, z) = xy + yz + zx.
f) Q(x, y, z) = 7x2 + 6y 2 + 5z 2 − 4xy − 4yz.
g) Q(x, y, z) = 3x2 + 3y 2 − 2z 2 − 2xy.
Exercice 30. Soit X ∈ Matn,1 (R). Étudier la forme quadratique sur Rn dont la matrice dans
la base canonique de Rn est X tX.