Chapitre 3 - Suites 1 Notion de suite

Lycée Maximilien Sorre
BTS SIO 1
Année 2016-2017
Chapitre 3 - Suites
1
Notion de suite
1.1 Premiers exemples
Compléter les débuts de séquences suivants :
•
1; 1; 1; 1; 1; ...
•
1; 1; 2; 3; 5; 8; ...
•
55 ; 49 ; 43 ; 37 ; 31 ; . . .
•
3; 1; 4; 1; 5; 9; 2 ...
•
40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 2,5 ; 1,25 ; . . .
•
1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ;. . .
•
2 ; 5 ; 11 ; 23 ; 47 ; . . .
•
2; 4; 5; 6; 4; 3; 4; ...
1.2 Dénition et représentation graphique
Dénition.
Une suite numérique est une fonction dénie sur l'ensemble des entiers naturels
sur une partie de cet ensemble et à valeurs dans
N,
ou
R.
Notations.
•
On note une suite entre parenthèses. Exemple :
• un
est le terme d'indice
est le terme qui suit
n
de la suite
(un ).
(un )
(ou parfois :
(un )n∈N ).
Ainsi, .......... est le terme qui précède
un ,
et ..........
un .
Exemples.
• un = 3n2 + n − 7
•
Pour tout entier
décimal
n
Remarque.
est le terme général d'une suite numérique.
n,
on note
un
en un nombre binaire.
(un )
est une suite numérique.
On peut représenter une suite sur un graphique en mettant les valeurs de
et les valeurs correspondantes de
Exemple.
le nombre de divisions par 2 qu'il faut faire pour convertir l'entier
un
On considère la suite de terme général
un = n2 − n.
un
10
0
1
2
en abscisse
en ordonnée.
donnée ci-dessous.
2
1
0
n
3
4
1
n
Sa représentation graphique est
Important.
Il est très utile de savoir tracer la représentation graphique et obtenir le tableau de valeurs d'une
suite à l'aide de la calculatrice.
Exercice 1.
bout de
n
Un nouvel ordinateur est mis sur le marché. On note
années. On suppose que la suite
(un )
un
son prix de vente en euros au
est donnée par :
un = 525 exp(−0, 25n) + 270
a) Calculer le prix de vente de l'ordinateur à sa mise sur le marché.
b) Déterminer le nombre minimal d'années écoulées depuis sa mise sur le marché à partir duquel le
prix de cet ordinateur sera inférieur ou égal à 300 euros.
1.3 Mode de génération d'une suite
Comme on l'a vu dans les exemples, on peut obtenir une suite de diverses manières. En particulier :
•
On peut dénir la suite
d'indice
n
.............................. en donnant directement la valeur du terme
n.
un = ln(3n) − 15.
en fonction de
Par exemple :
•
(un )
On peut dénir la suite
(un )
.............................. , en donnant une fonction permettant de passer
d'un terme au suivant. Dans ce cas, il faut également donner la valeur du terme initial.
Par exemple :
Remarque.
u0 = 0
et pour tout
n ∈ N, un+1 = 2un + 3.
Il est en général plus naturel de dénir une suite par récurrence. Néanmoins, il est
souvent plus pratique d'avoir la dénition explicite d'une suite, car celle-ci permet de calculer la
valeur de n'importe quel terme en un seul calcul.
1.4 Comportement global d'une suite
Une propriété est particulièrement recherchée lors de l'étude d'une suite : son sens de variation.
Dénitions.
•
On dit que la suite
(un )
est croissante si pour tout entier
n,
.............................. .
La suite est dite strictement croissante si l'inégalité est toujours stricte.
•
On dit que la suite
(un )
est décroissante si pour tout entier
n,
.............................. .
La suite est dite strictement décroissante si l'inégalité est toujours stricte.
Exemples.
•
La suite
(un )
dénie par
•
La suite
(vn )
donnée par vn
•
La suite
(wn )
dénie par
u0 = 1
et
un+1 = un + 2
= −n + 3
wn =
est
est
(−2)n
Remarque.
Interprétation en termes de représentation graphique :
Exercice 2.
Une suite peut-elle être à la fois croissante et décroissante ?
2
2
Suites classiques
2.1 Suites arithmétiques
Dénition.
(un )
Une suite
est dite
arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier n,
un+1 = un ..........
Le réel
r
est alors appelé
Exemple.
raison de la suite.
Bob ajoute tous les mois 10 euros dans sa tirelire. La suite des sommes (en euros) conte-
nues dans la tirelire est une suite arithmétique de raison
Théorème 1.
•
Si
(un )
est une suite arithmétique de premier terme
u0
et de raison
r,
alors :
r,
alors :
un = u0 ..............................
•
Si
(un )
est une suite arithmétique de premier terme
u1
et de raison
un = u1 ..............................
•
Réciproquement, une suite
(un )
dénie par
un = αn + β
est une suite arithmétique de raison
α.
Exercice 3.
a) Soit
(un )
une suite arithmétique de premier terme
b) Soit
(vn )
une suite arithmétique telle que v3
=5
u0 = 3
et v7
et de raison 2. Calculer
= 29.
u200 .
Calculer v0 et la raison de cette
suite.
Théorème 2.
Soit
(un )
une suite arithmétique de raison
r.
Alors :
•
Si
r<0
alors la suite
(un )
est ..............................
•
Si
r=0
alors la suite
(un )
est ..............................
•
Si
r>0
alors la suite
(un )
est ..............................
Exemples.
•
Une suite arithmétique de raison
−0, 01
•
Une suite arithmétique de raison
2
est ..............................
est ..............................
Théorème 3.
La somme
S
de termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
S
Exemple.
=
3 + 5 + 7 + · · · + 103 =
Cas particulier :
3
2.2 Suites géométriques
Dénition.
Une suite
(un )
est dite
géométrique s'il existe un réel r tel que pour tout entier n,
un+1 = un ..........
Le réel
r
est alors appelé
Exemple.
raison de la suite.
Après avoir accidentellement cassé sa tirelire, Bob dépose son argent sur un compte en
banque à 0,5% d'intérêts (composés). La suite des sommes disponibles sur le compte de Bob au début
de chaque année est une suite géométrique de raison
Théorème 4.
•
Si
(un )
est une suite géométrique de premier terme
u0
et de raison
r,
alors :
r,
alors :
un = u0 ..............................
•
Si
(un )
est une suite géométrique de premier terme
u1
et de raison
un = u1 ..............................
•
Réciproquement, une suite
(un )
dénie par
un = αn × β
est une suite géométrique de raison
α.
Exercice 4.
Bob place 1000 euros sur un compte à 3% d'intérêts composés le premier janvier 2010. Pour tout
n ∈ N,
on note
a) Que vaut
un
la somme sur le compte au premier janvier de l'année
u0 ?
b) Quelle est la nature de la suite
c) Calculer
2010 + n.
(un ) ?
Donner sa raison.
u5 .
d) Déterminer à partir de quelle année le capital de Bob sera doublé.
Théorème 5.
Soit
(un )
une suite géométrique de raison
r
et de premier terme strictement positif. Alors :
•
Si
0<r<1
•
Si
r=1
alors la suite
(un )
est ..............................
•
Si
r>1
alors la suite
(un )
est ..............................
alors la suite
(un )
est ..............................
Exemples.
•
La suite géométrique
(un )
de raison
0, 9
et de terme initial
u1 = 3
est ..............................
•
La suite géométrique
(un )
de raison
1, 1
et de terme initial
u1 = 3
est ..............................
Théorème 6.
La somme
S
de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison diérente de 1 est donnée par
la formule suivante :
S
Exemple.
=
Soit (un ) la suite géométrique
3 + 6 + 12 + 24 + · · · + 3072 =
de raison
Cas particulier :
4
2
et de premier terme
u0 = 3.
3
Limite d'une suite
3.1 Limite nie
Exercice 5.
D diminue de 10% chaque année. Déterminer
Un prix ayant une valeur initiale de 1000
au bout de combien d'année ce prix sera inférieur à un centime d'euro.
Quand les valeurs d'une suite
(un )
sont de plus en plus proches d'un réel
l
donné, on dit que cette
suite a pour limite l. Plus précisément :
Dénition.
•
On dit que la suite
(un )
a pour
limite
arbitrairement proche de 0 pourvu que
•
On dit que la suite
vn
= un − l
n
lim un = 0,
0, et on note
si
n→+∞
un
peut être rendu
soit susamment grand.
(un ) a pour limite l, et on note lim un = l, si la suite (vn ) de terme général
n→+∞
a pour limite 0.
Exemple.
•
La suite
•
La suite géométrique
•
La suite
(un )
(un )
dénie pour tout entier
(un )
n≥1
un =
u0 = 420
de terme initial
dénie pour tout entier
par
n≥1
par
1
n a pour limite ..........
et de raison
un = 7 +
0, 99
a pour limite ..........
1
n a pour limite ..........
3.2 Limite innie
Exercice 6.
On possède un capital de 20 000
D
que l'on place à intérêts composés au taux annuel
de 2,5 %. On considère l'algorithme suivant :
Algorithme :
Variables numériques : S, C, n
DEBUT
Saisir S
C ← 20 000
n←0
Tant que C<S
n ← n+1
C ← C × 1,025
Fin Tant que
Afficher : n
FIN
a) Justier la ligne 6 du corps de l'algorithme.
b) À quoi correspond la suite des valeurs de
la variable C ?
c) Quelle est la nature de la suite des valeurs
de la variable C ?
d) À quelle condition sort-on de la boucle ?
e) Que devient le capital à long terme.
f ) Faire fonctionner l'algorithme pour
30000.
S =
Qu'obtient-on ?
g) Que fait l'algorithme ?
Quand les termes d'une suite deviennent de plus en plus grand sans jamais atteindre de limite, on
dit que la suite a pour limite
+∞.
Plus précisément :
Dénition.
On dit que la suite
(un )
a pour limite
arbitrairement grand pourvu que
n
+∞,
et on note
lim un = +∞,
n→+∞
si
un
peut être rendu
soit susamment grand.
Exemples.
•
La suite
•
La suite arithmétique
(un )
dénie par
un = n
(un )
a pour limite ..........
de terme initial
u0 = −420
5
et de raison
0, 01
a pour limite ..........
3.3 Limite d'une suite géométrique
Propriété 7.
r∈R
Soit
et soit
(un )
•
Si
r ≤ −1, (un )
•
Si
−1 < r < 1, lim un = ..........
•
Si
r = 1, lim un = ..........
•
Si
r > 1, lim un = ..........
un = rn .
Alors :
n'a pas de limite.
n→+∞
n→+∞
.
(suite constante).
n→+∞
Remarque.
la suite dénie par
.
On déduit de la propriété précédente la limite d'une suite géométrique en fonction de
la raison et du signe du terme initial de celle-ci.
Exercice 7.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Déterminer la limite éventuelle de la suite
(un )
dans chacun des cas suivants :
un = −0, 1 × 3n ,
99 n
un = 100
− 3 × 4n ,
un = 2000
2n ,
un
un
un
un
n
= (−3)
4 ,
= (−0, 5)n ,
= 0, 0001 × 1, 001n ,
= 42.
Le mot de la n :
Pourquoi est-ce qu'on appelle une suite arithmétique arithmétique et une
suite géométrique géométrique ?
On ne sait pas, mais il y a sûrement une raison.
6