Suites - Exercices

Suites - Exercices
A. Calculs de termes et variations
(exercices pour commencer : calculer les premiers termes d'une suite, conjecturer son sens de
variations, puis démontrer la conjecture en calculant un+1 – un)
Série 1
a) un = 2n – n
c) u n=
n
3n
b) un = (n – 5)²
d) u n=
2n−1
n3
Série 2
2
1
u n1 et u0 = – 4
2
un
c) u n1=
et u0 = 3
1u n
a) u n1=
1
2
1
d) u n1=u 2n −u n1 et u 0 = .
2
b) u n1=u n 1−u n et u 0 =
B. Suites arithmétiques
Exercice 1
a) (un) est est une suite arithmétique telle que u0 = 5 et u10 = 65. Calculer u20.
b) (un) est est une suite arithmétique telle que u4 = 12 et u8 = 4. Calculer u20.
Exercice 2
Parmi les suites suivantes, quelles sont celles qui sont des suites arithmétiques ?
a) un = – 2n + 3
b) un = n3 – 3n2 + 2
c) un = (n + 1)2 – n2
d) un = 5 + 2n
e) un+1 = un + n – 1 et u0 = 3
Exercice 3
(un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 5.
On sait que u0 + u1 + u2 + ... + u10 = 253. Calculer u20.
C. Calculs de sommes
Exercice 1
(repérer des suites arithmétiques ou géométriques, puis calculer la somme de leurs termes )
a) S = 0,25 + 0,5 + 0,75 + 1 + .... + 12,5
rép : 318,75
b) S = 0,02-0,1+0,5-2,5+ ..... + 312,5
rép : 260,42
c) S = 4/5 + 7/5 + 2 + ...... + 11
rép : 531/5
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d) S = 1+  2 +2+.....+ 8  2
rép : 151  2
Exercice 2
(un) est la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme u0 = 5.
Calculer les sommes :
A = u0 + u1 + u2 + ... + u99
B = u100 + u101 + u102 + ... + u199
C = u0 + u2 + u4 + u6 + ... + u100
D. Etudes de suites récurrentes
Plan général :
– calcul des premiers termes pour voir s'il peut s'agir d'une suite arithmétique ou géométrique
– étude numérique à la calculette ou étude graphique pour tester la converge
– définition d'une suite auxiliaire qui est arithmétique ou géométrique
– expression en fonction de n et calcul de la limite.
Exemple 1
23un
1
et u n1=
.
4u n
4
Calculer u1, u2 et u3. S'agit-il d'une suite arithmétique ou géométrique ?
Montrer que si un+1 = 1, alors un = 1. En déduire que pout tout n, un≠1.
2u n
Soit (vn) la suite définie par vn=
. Calculer v0, v1, v2, v3. Montrer que la suite (vn) est une
1−u n
suite géométrique.
Exprimer vn en fonction de n, en déduire une expression de un en fonction de n.
La suite (un) a-t-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
Soit (un) la suite définie par u 0 =
1)
2)
3)
4)
5)
Exemple 2
4un−6
.
u n−1
Calculer u1, u2 et u3. S'agit-il d'une suite arithmétique ou géométrique ?
Montrer que si un+1 = 2, alors un = 2. En déduire que pout tout n, un≠2.
u n−3
Soit (vn) la suite définie par vn=
. Calculer v0, v1, v2, v3. Montrer que la suite (vn) est une
u n−2
suite géométrique.
Exprimer vn en fonction de n, en déduire une expression de un en fonction de n.
La suite (un) a-t-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
Soit (un) la suite définie par u0 = 6 et u n1=
1)
2)
3)
4)
5)
Exemple 3
2
.
un
1) Calculer u1, u2 et u3. S'agit-il d'une suite arithmétique ou géométrique ?
2
2) Soient f et g les fonctions définies sur [1 ; 4] par f (x) = x et g x =1 .
x
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et u n1=1 
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3)
4)
5)
6)
Construire les représentations graphiques de f et g, en déduire les représentations graphiques de
u0, u1, u2, u3, u4, .... De quel nombre semble se rapprocher un ?
Montrer que si un+1 = -1, alors un = -1. En déduire que pout tout n, un≠-1.
u n−2
Soit (vn) la suite définie par vn=
. Calculer v0, v1, v2, v3. Montrer que la suite (vn) est une
u n1
suite géométrique.
Exprimer vn en fonction de n, en déduire une expression de un en fonction de n.
La suite (un) a-t-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
Exemple 4
(ici la suite auxiliaire est arithmétique)
2un
1
Soit (un) la suite définie par u 0 = et u n1=
.
27un
2
1) Calculer u1, u2 et u3. S'agit-il d'une suite arithmétique ou géométrique ?
2) Montrer que si un+1 = 0, alors un = 0. En déduire que pout tout n, un≠0.
2−u n
3) Soit (vn) la suite définie par vn=
. Calculer v0, v1, v2, v3. Montrer que la suite (vn) est une
un
suite arithmétique.
4) Exprimer vn en fonction de n, en déduire une expression de un en fonction de n.
5) La suite (un) a-t-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
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