Mathématiques en lycée

2nde
TP:Aux urnes citoyens
1 L’histoire
Lors du premier tour des élections présidentielles, le dernier sondage publié par l’institut B.V.A, effectué
sur 1 000 électeurs le vendredi 19/04/02, prévoyait :
Jacques Chirac
Lionel Jospin
Jean-Marie Le Pen
19%
18%
14%
La surprise a été grande le dimanche 21/04/02, c’est-à-dire deux jours après, au vu des résultats, puisque
Jean-Marie Le Pen figurait au second tour :
Jacques Chirac
Lionel Jospin
Jean-Marie Le Pen
19,88%
16,18%
16,86%
2 Les sondages des présidentielles 2007
Voici les évolutions des intentions de vote au 1er tour le 23/03/07 donné par TNS-SOFRES (source :
http://www.election-politique.com/pres2007.php#sondages)
F IG . 1 – Sondage TNS-SOFRES sur un échantillon de 1 000 personnes
Avec ces données peut-on « prévoir » l’ordre des trois premiers candidats ?
Pour simplifier, on utilisera les données suivantes :
Nicolas Sarkozy
Ségolène Royal
François Bayrou
28%
27%
22%
Définition Soit p le pourcentage des électeurs qui vont voter pour une personne et f la fréquence
obtenue sur un échantillon de n personnes alors, si n > 30 et 0,3 É p É 0,7, les statisticiens ont démontré
qu’il y a 95 chances sur 100 pour que la valeur de p appartienne à l’intervalle
¸
·
1
1
,
f −p ;f +p
n
n
appelé fourchette (ou intervalle) de confiance au niveau de confiance 0,95.
On négligera dans ce TP la condition sur p
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Exemple Pour le candidat Nicolas Sarkozy, on a f = 0,28 donc, comme n = 1 000, la fourchette de confiance est
·
¸
1
1
0,28 − p
; 0,28 + p
,
1000
1000
c’est-à-dire à peu près [0,2484; 0,3116].
Il y a 95 chances sur 100 pour que le pourcentage p des électeurs votant pour ce candidat soit compris
dans l’intervalle [24,84; 31,16].
Questions
1. Calculer les fourchettes des deux autres candidats.
2. Représenter sur un axe les 3 fourchettes.
3. En se basant sur ces fourchettes, peut-on « prévoir » l’ordre des trois premiers candidats ?
3 Retour en 2002
Doit-on alors penser qu’un sondage donné peut-être faux ?
Pour cela, nous allons utiliser les données de l’année 2002 et par simulation vérifier si l’on peut obtenir
un résultat analogue à celui donné par l’institut B.V.A le vendredi 19/04/02 :
Jacques Chirac
Lionel Jospin
Jean-Marie Le Pen
19%
18%
14%
Pour simplifier, on supposera que le dimanche 21/04/02, les résultats fûrent les suivants :
Jacques Chirac
Lionel Jospin
Jean-Marie Le Pen
20%
16%
17%
On supposera qu’une personne vote en choisissant aléatoirement un nombre compris entre 1 et 100 :
– si ce nombre est entre 1 et 20, il votera pour Chirac,
– si ce nombre est compris entre 21 et 36, il votera pour Jospin,
– si ce nombre est compris entre 37 et 53, il votera pour Le Pen,
– dans les autres cas, il votera pour un autre candidat.
Question : Vérifier que les proportions 20%, 16% et 17% sont respectées.
3.1 Utilisation du tableur
Questions :
1. Simuler le choix de 1 000 personnes en remplissant la plage A1 :A1000 de nombres aléatoires compris
entre 1 et 100.
2. On compte le nombre de personnes votant pour Chirac en utilisant la formule NB.SI(A1:A1000;"<=20").
On compte le nombre de personnes votant pour Jospin en utilisant la formule
NB.SI(A1:A1000;"<=36")- NB.SI(A1:A1000;"<=20").
Donner la formule permettant d’obtenir le nombre de votes pour Le Pen.
3. Représenter le tableau ci-dessous et le compléter.
4. En utilisant la touche F9, vérifier que l’on peut obtenir un résultat similaire à celui donné par l’institut B.V.A.
5. Vérifier que l’on peut toujours trouver un sondage correspondant à un ordre préalablement établi
des candidats.
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4 Rahhh les journalistes
Le graphique ci-dessous représente l’évolution des intentions de vote au 2e tour (Sarkozy/Royal) donnée
par l’institut IFOP (source : http://www.election-politique.com/pres2007.php#sondages).
F IG . 2 – Sondage IFOP sur un échantillon d’environ 872 personnes
Voilà ce que l’on a pu entendre : « En considérant un deuxième tour entre N. Sarkozy et S. Royal,
– s’il avait eu lieu le 18 novembre, Sarkozy aurait perdu avec 49% ;
– le 15 décembre, l’égalité était parfaite ;
– le 15 janvier, Sarkozy gagnait avec 52% ;
– et 5 jours plus tard, il perdait 1%.
Sport, maintenant, où Serena Williams a . . . »
Questions
1. Que pensez-vous des commentaires du journaliste ?
2. Après avoir calculé les intervalles de confiance, comment auriez-vous interprété les résultats donnés
par cet institut à ces dates ?
4.1 Utilisation du tableur
Représenter le tableau dont une partie est donnée ci-dessous et le compléter sachant que f représente
le(s) pourcentage(s) donné(s) (en nombre décimal) par le sondage IFOP et que les dates doivent toutes
y être.
Question : Quelle(s) formules doit-on placer dans les cellules C2, C4, C5 et C6 ?
On va insérer un graphique représentant ce tableau.
– Sélectionner la plage de cellules B1:T7.
– Dans le menu de fichiers, choisir I NSERTION>D IAGRAMME.
– Cocher les options pour obtenir la première ligne et la première colonne de votre tableau comme
étiquettes.
– Choisir comme type de diagrammme « Lignes » en ayant coché l’option « données en lignes ».
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– Choisir le graphique « normal » et le créer.
– Agrandir le graphique pour qu’il soit plus lisible ;
– cliquer sur les légendes pour changer les couleurs des courbes et choisir une même couleur pour
chaque candidat ;
– double-cliquer sur la figure puis clic-droit pour modifier l’axe Y (choisir A XE À 0,4).
Vous devez obtenir une figure similaire à celle ci-dessous :
Question A quelle(s) date(s), en se fiant au sondage IFOP peut-on donner, avec un risque minimal de
se tromper, un classement de ces deux candidats ?
5 Conclusion
En fait. . .
En France, la méthode des sondages aléatoires est peu utilisée et les instituts ont souvent recours, pour
leurs enquêtes d’opinion, à la méthode des quotas.
Dans cette méthode, on exploite la structure connue de la population (par exemple grâce au recensement) pour reproduire la même structure dans l’échantillon. On choisit pour cela certains caractères
de la population, que l’on pense devoir être en rapport avec l’enquête menée, comme le sexe, l’âge, la
catégorie socioprofessionnelle, le type de commune. . .
« Avec la méthode des quotas, il n’existe pas de loi mathématique permettant de déterminer la marge
d’erreur d’un sondage », explique Jean-François Doridot, directeur du département opinion d’Ipsos2,
« en pratique toutefois, on considère que la marge d’erreur des sondages par quotas est égale, voire
inférieure à celle des sondages aléatoires. »
Des études ont cependant montré que cette méthode avait tendance à sous représenter les travailleurs
de l’industrie, les personnes les moins instruites ou ayant peu d’activités sociales. . .On peut douter de
l’affirmation précédente selon laquelle la marge d’erreur par la méthode des quotas est égale « voire inférieure » à celle des sondages aléatoires. Le hasard est encore, pour éviter les biais, le meilleur allié du
statisticien. De plus, des difficultés spécifiques aux sondages politiques (ou aux enquêtes d’opinion) tiennent non plus aux problèmes de biais affectant la constitution de l’échantillon, mais aux réponses des
sondés : abstentionnistes répugnant à avouer qu’ils n’ont pas l’intention de voter, indécision jusqu’au
dernier moment, sympathisants d’extrême droite hésitant à afficher leurs opinions. . .
À la lumière des élections précédentes, des coefficients rectificatifs sont alors appliqués, faisant ainsi du
sondage politique davantage un art alchimique qu’une science. Pour « redresser » les résultats bruts des
sondages effectués lors de la campagne présidentielle de 2002, on a pratiqué les « pondérations » suivantes. Lionel Jospin, lorsqu’il recueille 26 à 27% en données brutes, est crédité de 22% après pondération, de même Jacques Chirac passerait de 30% en brut à 27% en pondéré, ou Jean-Marie Le Pen de 4%
à 8% en pondéré (chiffres cités par Philippees Méchet de la Sofres). Ces pondérations sont établies à
partir de plusieurs élections antérieures et de questions posées par le sondeur et permettant de mesurer
le « degré de certitude » du choix de l’électeur.
Source : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/ASm11.pdf.
Utilisation de OOo calc. À retenir : savoir insérer un graphique ; savoir si les données sont en ligne ou
en colonne ; savoir modifier le graphique (axe, échelle, etc.).
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