A. Introduction B. Rappel C. Exercices

201-NYB-05 — Calcul intégral
A.
Introduction
1. Une équation différentielle est une équation comportant (au moins) une dérivée.
2. L’ordre d’une équation différentielle est celui de
la dérivée d’ordre le plus élevé qui y figure. Ainsi,
y ′′ − y ′ = 0 est une équation différentielle d’ordre
2. Nous nous limiterons aux équations différentielles d’ordre 1.
3. Résoudre une équation différentielle, c’est
chercher la ou les fonctions qui la satisfont.
4. La solution d’une équation différentielle est
générale si aucune des constantes d’intégration
n’est déterminée; une solution est particulière si
toutes les constantes d’intégration ont été déterminées (généralement à partir de conditions initiales). Ainsi y = 7 e−2x est une solution particulière, alors que y = A e−2x est la solution
générale, de l’équation différentielle y ′ = −2y.
5. Une équation différentielle d’ordre 1 est dite à
variables séparables si elle peut être ramenée à
la forme M (x) dx = N (y) dy.
6. Pour résoudre une équation différentielle à variables séparables, on intègre chaque membre de
l’équation par rapport à sa variable séparée.
B.
Rappel
Si l’équation différentielle n’est pas donnée, il faut
l’établir à partir des informations qui nous sont données. Pour ce faire, il est important de se rappeler
que lorsqu’on dit que A est proportionnel à B, cela
s’écrit A = kB, et que lorsqu’on dit que A est ink
, où
versement proportionnel à B, cela s’écrit A = B
k est constant. De plus, si on nous dit que A est
proportionnel à B et à C, cela s’écrit A = kBC.
C.
Exercices
1. Résoudre
dx
dt
√
= 4 x avec x(9) = 1.
2. Résoudre
dy
dx
= − xy avec y(3) = −4.
3. Intégrez
dp
dt
+ 2p = 8 si p(0) = 1.
4. Résoudre
dx
dy
=
5. Résoudre
dy
dx
= e2x−y .
1
xy .
6. Résoudre (1 + ex )ydy − ex dx = 0
7. Écrivez chacun des énoncés suivants sous la
forme d’une équation différentielle.
Hiver 2009
Équations différentielles
(a) Le taux de variation de l’aire A d’un cercle
par rapport à son rayon r est proportionnel
au rayon du cercle.
(b) Le taux de variation d’une population P ,
par rapport au temps, est proportionnel à
l’écart entre cette population et un nombre
limite L d’individus que le milieu peut supporter.
(c) Au temps t, le taux de croissance d’une
population de bactéries est proportionnel
au nombre N de bactéries à l’instant t et
à la différence entre le nombre limite L de
bactéries que le milieu peut supporter et le
nombre de bactéries à l’instant t.
(d) On administre un médicament par voie intraveineuse à raison de 3 mg/h et ce médicament s’élimine naturellement du corps à un
taux proportionnel à la quantité présente.
(e) Le taux de propagation, dans une forêt,
d’un champignon microscopique qui
s’attaque à une certaine variété d’arbres
est proportionnel à la racine carrée du
nombre N d’arbres déjà atteints et inversement proportionnel au temps écoulé depuis
le début de l’infestation.
8. Le radium se décompose en quantité proportionnelle à la quantité non encore décomposée. Si
la moitié de la quantité initiale disparaît en 1600
ans, alors exprimez la quantité restante au temps
t années.
9. Le taux de refroidissement d’un corps dans l’air
est proportionnel à la différence entre la température du corps et celle du milieu dans lequel
il se trouve. La température de l’air étant de
20◦ C, un corps se refroidit de 100◦C à 60◦ C en
20 minutes. Exprimez la température du corps
en fonction du temps.
10. Un marin se trouve sur un bateau, leur masse
totale étant 200 kg. Si la force de propulsion
est de 60 newtons et si la résistance du milieu
en newton est le double de la vitesse en m/s,
trouvez la vitesse t secondes après le démarrage.
11. Un bateau se déplace sur l’eau à 15 m/s. La résistance du milieu agissant sur l’embarcation est
proportionnelle au carré de la vitesse. Définir la
vitesse du bateau en fonction du temps t secondes après que l’on ait coupé le moteur.
12. En chimie, l’ordre d’une réaction est défini par
l’équation différentielle qui décrit la vitesse de
1 de 2
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Équations différentielles
réaction. L’ordre étant la puissance de la concentration du réactif dans l’équation. Déterminez le
temps de demie réaction d’une réaction d’ordre
deux.
chimique de second ordre]. La constante de proportionnalité est 1/20. La quantité initiale de γ
est nulle. Exprimez la quantité de γ en fonction
du temps.
13. Un réservoir contient initialement 100 litres de
liquide dans lequel sont dissous 60 grammes de
sel. De l’eau pure coule dans le réservoir à raison de 2 litres par minute, et la solution, maintenue uniforme par brassage, s’écoule en quantité
égale. Exprimez la quantité de sel restante dans
le réservoir au temps t minutes.
(a) S’il y a initialement 40 g de α et 60 g de β.
14. Un réservoir contient initialement 100 litres de
liquide dans lequel sont dissous 20 kg de sel. On
y verse 3 litres par minute d’une solution de concentration en sel de 1/10 kg par litre. Le mélange
est maintenu uniforme par brassage. On retire
3 litres par minute du réservoir, de sorte que le
volume reste constant. Trouvez la masse de sel
dans le réservoir au temps t.
15. Lorsqu’une source de tension constante de E
volts, une résistance de R ohms et une bobine de
L henrys sont montées en série, alors le courant
I du circuit, t secondes après la fermeture du
circuit, obéit à l’équation différentielle
(b) S’il y a initialement 50 g de α et 50 g de β.
D.
2. x2 + y 2 = 25
3. p(t) = 4 − 3e−2t
4. y = A exp x2 /2
5. y = log (A + e2x /2)
6. y 2 = 2 log (1 + ex ) + C
16. La plupart des produits pharmaceutiques,
comme la pénicilline, s’éliminent du sang à une
vitesse proportionnelle à la quantité restante y
dans le sang.
8.
=k
dQ
dt
= k(L − P )
= kN (L − N )
= 3 − kQ
√
N
t
= −kQ ; Q(t) = Qo (1/2)t/1600
dT
dt
= −k(T − 20) ; T (t) = 20 + 80e− ln (2)t/20
−t/100
m/s
10. 200 dv
dt = 60 − 2v ; v(t) = 30 1 − e
9.
2
11. m dv
dt = −v ; v(t) =
(b) Si le produit est injecté à raison de I
mg/min, exprimez y en fonction du temps,
si y(0) = 0.
14.
Hiver 2009
dN
dt
(c)
12.
17. Une substance γ est formée par la combinaison
de deux autres, α et β, de façon que 2 g de α et
3 g de β forment 5 g de γ. Le taux de formation
de γ est proportionnel au produit des quantités
de α et de β non encore transformées [réaction
(e)
(b)
(a) Montrez que y(t) = y0 e−kt pour une constante k > 0 si y0 est la quantité initialement injectée.
(c) Si la demi-vie du produit est deux heures,
quel est le taux d’injection qui maintiendra
à long terme la présence de 100 mg dans le
sang ?
= kr
(d)
dA
dr
dP
dt
dN
dt
dQ
dt
7. (a)
dI
+ RI = E
L
dt
Définissez I en fonction de t sachant que I(0) = 0
ampère.
Réponses
√
1. x = 2t + 1
d[α]
dt
2
= −k [α] , [α] =
13. dm = −dt · 2 ·
dm
dt
1
= 3( 10
−
m
100
15
1+15kt/m
m/s
[α]0
1+k[α]0 t , t1/2
=
1
k[α]0
; m(t) = 60 e−t/50 g
m
100 )
; m(t) = 10 + 10e−3t/100 kg
−Rt/L
15. I(t) = E
ampères
R 1−e
16. (b) y(t) = kI 1 − e−kt
(c) 5/6 log (2) mg/min
17. (a) z(t) =
120t
1+1,2t
0,5t
e
−1
(b) z(t) = 250 3e
0,5t −2
2 de 2