Chapitre XII : Transformée de Fourier

Chapitre XII : Transformée de Fourier
Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable de :
• définir la transformée de Fourier
• donner quelques exemples d’utilisation en Sciences Physiques
• donner le spectre de Fourier d’une fonction
• calculer quelques transformées de Fourier usuelles
• définir et interpréter le produit de convolution
• utiliser la transformation de Fourier pour l’étude des systèmes linéaires
Mathématiques pour les Sciences Physiques
160
I Définitions et exemples
1°- Transformée de Fourier et Transformée de Fourier
inverse
Soit une fonction f de R dans C. On définit la transformée de
Fourier de f (T.F.) par:
F ( u) =
On note:
∫
+∞
−∞
f ( x ) e − i 2πux dx
.F .
f T
→ F ou encore F=F[f] et F(u)= F[f](u)
∧
ou encore :
f ( u) = F[f](u)
On définit de même la transformée de Fourier inverse de F (ou
cotransformée) par:
f ( x) =
∫
+∞
−∞
F ( u) e + i 2πux du
La seule différence avec la transformée directe est le signe dans
l’exponentielle.
On note:
−1
.F .
F T
→ f ou encore f=F
-1
[F] et f(x)= F
-1
[F](x)
2°- Théorème
Si la fonction f n’est pas trop irrégulière, ce qui sera souvent le cas
en Sciences Physiques, alors la transformée inverse de la transformée de f
redonne f :
Transformée de Fourier
F
[ [ f ]] = f
-1
F
161
[
F F
et
[ F ]] = F
-1
En un point de discontinuité de f, F -1[F[f]] prend la valeur
moyenne de f .
3°- Existence
Pour la plupart des fonctions rencontrées en Physique, la
transformée de Fourier de f existe. Par exemple:
* Si f ∈ L1(R), c’est-à-dire si
∫
+∞
−∞
f ( x ) dx converge, alors
F[f] existe.
* Si f a un support borné ( ∃a , b∈R∀ x ∉ [a , b] f ( x ) = 0 ) et
est continue par morceaux, alors F[f] existe.
4°- Analyse d’un phénomène physique variable dans
le temps
Soit un phénomène physique variable dans le temps décrit par une
fonction f(t). F(ν)=F[f](ν) donne la composition fréquentielle du
phénomène physique.
Par exemple, considérons un train d’onde sinusoïdal passant en
un point M de l’espace (une onde de gravitation dans un fluide, une onde
électromagnétique, une onde acoustique dans un tube, etc.). Le train
d’onde sera décrit par la fonction :
 f (t ) = cos( 2πν t ) si t ∈] − τ , + τ [
0

2 2

 f (t ) = 0 sit ∉] − τ ,+ τ [

2 2
La durée du train d’onde est τ.
f(t)
- τ/2
+τ/2 t
Mathématiques pour les Sciences Physiques
162
Alors
F (ν) =
+∞
∫−∞
+τ 2
cos( 2πν0 t ) e −i 2πνt dt
−τ 2
+ i 2πν0 t
+τ 2 e
+ e −i 2πν0 t −i 2πνt
e
dt
−τ 2
2
f ( t )e −i 2πνt dt = ∫
=∫
Soit
F (ν) =
=
1 +τ 2 +i 2π (ν0 −ν )t
(e
+ e −i 2π (ν0 +ν )t )dt
∫
τ
2 − 2
τ 1  e +iπ (ν0 −ν )τ − e −iπ (ν0 −ν )τ e +iπ (ν 0 +ν ) τ − e −iπ (ν 0 +ν ) τ 

+

2 2i 
πτ(ν0 − ν)
πτ(ν0 + ν)

D’où, en introduisant la fonction sinus cardinal: sin c ( x ) =
F (ν ) =
sin( x )
x
τ
(sin c(πτ(ν0 − ν)) + sin c(πτ(ν0 + ν)) )
2
F( ν)
Transformée de Fourier du train d’ondes
Cet exemple permet de dégager deux conséquences importantes:
ℵ un phénomène physique purement sinusoï dal n’existe pas
puisque la durée du phénomène est toujours finie. Dans le cas du train
d’onde, le signal est certes composé d’une vibration de fréquence ν0, mais
aussi de fréquences satellites disposées autour de ν0.
Transformée de Fourier
163
ℑ la largeur à mi-hauteur de la fonction sinc(x) (sinc (x)=1/2 donne
x=±1,9) permet de relier la durée τ du train d’onde à la sa largeur
spectrale ∆ν:
∆ν ⋅ τ #1
Un autre exemple significatif est celui d’une impulsion rectangulaire
de largeur τ où le phénomène physique est représenté par la fonction
« rectτ » :
1 si t ∈ [ − τ ,+ τ ]

2
2
f(t)=rectτ (t) avec rectτ (t)= 
 0 si t ∉ [ − τ 2 ,+ τ 2 ]
1
- τ/2
+ τ/2
t
fonction rect τ
F (ν) =
=
+∞
∫−∞
f (t ) e −i 2πνt dt =
(
)
+τ 2 −i 2πνt
e
dt
−τ 2
∫
1
e +iπντ − e −iπντ = τ sinc( πντ )
i 2πν
τ sinc( πντ) →τ
ν→0
fonction τ sinc( πντ)
∆ν
1/τ
164
Mathématiques pour les Sciences Physiques
On peut de même que pour le train d’onde formuler deux remarques:
ℵ un phénomène physique parfaitement indépendant du temps
(continu) n’existe pas. Dans le cas d’une impulsion rectangulaire, le spectre
du signal est essentiellement constitué de la fréquence nulle, mais pas
seulement. On peut aussi vérifier que ∆ν⋅τ # 1.
ℑ il est intéressant de voir ce que devient la transformée de Fourier
de l’impulsion rectangulaire lorsque sa durée devient très grande (τ → ∞ ).
On pose δ (ν ) = lim τ sin c (πντ ) où la fonction δ de Dirac est une
τ →∞
fonction qui est souvent utilisée grâce à ses propriétés intéressantes. Par
exemple :
- cette fonction est nulle partout, sauf en ν=0 où elle est
infinie: elle sera donc utile pour modéliser des phénomènes physiques
ponctuels (ici, c’est la composition fréquentielle d’un signal continu).
- la transformée de Fourier de f(t)=1 est δ(ν) :
δ(ν)= F[1](ν)
- la transformée de Fourier inverse de δ(ν) est 1 :
1= F
-1
[δ(ν)](t)
On voit qu’il est possible de généraliser la transformation de Fourier à des
fonctions qui ne satisfont pas les critères d’existence.
Transformée de Fourier
165
5°- Visualisation d’une transformée de Fourier à l’aide
d’un système optique
Un objet lumineux émet une vibration décrite par la fonction
s0 ( x ) = f ( x ) . A l’aide d’un système optique approprié, la vibration
lumineuse s f ( X ) reçue dans certains plans s’exprime facilement à l’aide
de F[f] :
X
x
système optique
objet
lumineux
Il est alors possible:
plan
d’observation
- de visualiser  F[f]2 à l’aide d’un écran.
- de modifier F[f] (lentilles, diaphragme,
etc.) pour recomposer une image traitée de l’objet (traitement optique des
images). Le traitement optique des images est maintenant supplanté par le
traitement numérique: les calculateurs travaillent directement sur l’image
numérisée.
Dans le même ordre d’idée, l’onde électromagnétique diffractée par
un cristal est directement reliée à la T.F. de la densité électronique dans le
cristal. La radiocristallographie est la science qui tente de reconstruire la
structure cristalline à partir du module de cette T.F. (les détecteurs ne
peuvent mesurer que  F[f]2).
Mathématiques pour les Sciences Physiques
166
6°- Autres définitions de la transformée de Fourier
Il peut être intéressant dans certains cas d’obtenir le spectre de f en
fonction d’une pulsation plutôt que d’une fréquence. Dans ce cas, on définit
la transformée de Fourier de f par:
G(ω) = ∫
+∞
−∞
f (t ) e −i ωt dt
Mais la transformée de Fourier inverse s’écrit alors :
f (t) =
1 +∞
G(ω) e +iωt dω
∫
2π −∞
En effet, G(ω)=F(ω/2π), donc
+∞
+∞
+∞
∫−∞ G(ω)e +iωt dω = ∫− ∞ F (ω 2π)e +iωt dω = ∫−∞ F (ν)e +i2 πt 2πdν = 2πf (t )
On peut aussi adopter une formulation plus symétrique:
G(ω) =
1 +∞
f ( t )e −iωt dt
∫
−∞
2π
f (t) =
1
2π
+∞
∫−∞ G (ω)e +iω t dω
II Propriétés de la transformée de Fourier
1°- Parité
Si f est réelle et paire, alors F[f] est réelle et paire et
F
+∞
[ f ]( u ) = 2 ∫ cos( 2πux) f ( x ) dx
0
Si f est réelle et impaire, alors F[f] est imaginaire pure et
impaire et
F
+∞
[ f ]( u ) = −2i ∫ sin( 2πux ) f (x ) dx
0
Transformée de Fourier
167
2°- Conjugaison
On définit la fonction conjuguée de f par f ( x ) = f ( x ) . Alors:
F
[ f ]( u) [ f ]( − u)
= F
3°- Comportement asymptotique de la transformée de
Fourier
Si f ∈ L1(R), ( ∫
+∞
−∞
f ( x ) dx converge), alors F[f] est de limite nulle
en -∞ et +∞.
De façon générale :
- plus f est régulière, plus F tend vers zéro à l’infini.
- plus f tend vers zéro à l’infini, plus F est régulière.
4°- Linéarité
F
[λ1 f1 + λ2 f 2 ] = λ1 F [ f1 ] + λ2 F [ f 2 ]
Cette propriété est essentielle pour pouvoir utiliser la transformation
de Fourier dans les systèmes physiques linéaires.
Mathématiques pour les Sciences Physiques
168
5°- Translation sur x
f(x-a)
f(x)
a
x
F
x
[ f ( x − a)](u ) = e −i2πau F [ f ](u)
Ainsi, une translation de f ne fait qu’introduire un facteur de phase
dans F[f]. En effet, la translation de f ne change pas son contenu
sinusoï dal.
6°- Translation sur u
F
[F (u − u 0 )]( x) = e +i2πu x f ( x )
-1
0
1
1
F -1[ (F(u-u0)+ F(u+u0))](x)= ( e + i 2 π u 0 x + e − i 2 πu 0 x ) f(x)
2
2
= cos(2πu0x)f(x) (modulation en amplitude)
Remarque:
7°- Changement d’échelle
f(ax)
f(x)
x
(ici, a>1 : on observe
une compression de f )
Transformée de Fourier
F
169
[ f (ax )](u ) =
1
a
F
[ f ] ua 
Ainsi, un étalement de la fonction f va produire une compression de
F[f] et réciproquement.
8°- Dérivation de f
Notons f’ la dérivée de f par rapport à x. Alors:
F
et donc
F
[ f ′ ](u) = 2iπuF [ f ]( u)
[ f ](u ) = (2iπu )
(n)
n
F
[ f ](u )
On peut utiliser cette propriété pour calculer la transformée de Fourier de la
fonction « triangle » de largeur 2X définie par :
0 si x < − X ou x > + X

Λ X ( x) = x + X si − X ≤ x ≤ 0
− x + X si 0 ≤ x ≤ + X

f(x)
fonction triangle
F(u)
x
On a alors Λ' X ( x ) = rectX(x+X/2)-rectX(x-X/2)
sinc =F [triangle]
2
u
Mathématiques pour les Sciences Physiques
170
D’où F[ΛX’](u)= e
i2 π
X
u
2 X
sin c(πXu) − e
i 2π
−X
u
2 X
sin c(πXu)
= 2iX sin(πXu) sin c(πXu) = i 2πuX 2 sin c 2 ( πXu)
F
Soit, en identifiant:
[Λ X ]( u) = X 2 sin c 2 (πXu)
9°- Multiplication par x
En notant F ′ la dérivée de F par rapport à u, on remarque que
F
[− i 2πxf ](u) = F ′( u)
Application: on peut par exemple montrer que :
F[x⋅rectX(x)](u)=
1 πXu cos( πXu) − sin(πXu)
− i 2π
πu 2
10°- Théorème de Parseval
Soit une grandeur physique représentée par f(x) et notons F(u) sa
transformée de Fourier: F(u)=F[f](u).
F(u) est le spectre fréquentiel de la grandeur physique: F ( u) du chiffre
l’amplitude complexe des contributions à f de fréquences comprises entre
u et u+du. F(u)
2
représente la densité spectrale d’énergie et l’énergie
+∞
totale de la grandeur physique est
∫ F(u)
2
du
−∞
Pour fixer les idées, supposons que la variable x soit une variable
de position (on aurait pu raisonner avec une variable temporelle). Alors
f(x)
2
est la densité spatiale d’énergie, c’est-à-dire que l’énergie du
Transformée de Fourier
171
2
phénomène physique observé entre x et x+dx est f(x) dx . L’énergie
+∞
totale est
∫
2
f(x) dx .
−∞
On a donc:
+∞
∫
2
f(x) dx =
−∞
+∞
∫
2
F(u) du
−∞
C’est le théorème de Parseval Plancherel qui montre que l’énergie totale
d’un phénomène physique est répartie sur ses différentes composantes
spectrales. Ce résultat est à rapprocher de l’égalité de Parseval des
coefficients de Fourier dans les décompositions en séries de Fourier.
Pour montrer cette propriété, montrons que
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ f ( x )g ( x )dx = ∫ F (u)G(u)du
+∞
-1
comme g(x)=F [G](x)=
∫ G(u)e i2πux du
u =−∞
 +∞

i 2π ux 

alors : ∫ f ( x ) g( x ) dx = ∫ f ( x ) ∫ G( u) e
du dx
 u =−∞

−∞
x = −∞
+∞
+∞
+∞
 +∞

= ∫ G( u)  ∫ f ( x ) e i 2πux dx du
 x =−∞

u =−∞
(théorème de Fubini)
+∞
 +∞

− i 2π ux 

= ∫ G( u)  ∫ f ( x ) e
dx du = ∫ G( u) F ( u) du


u =−∞
x =−∞
u =−∞
+∞
Le cas où g=f permet de retrouver le théorème de Parseval
Mathématiques pour les Sciences Physiques
172
III Exemples de transformées de Fourier
Le calcul d’une transformée de Fourier peut-être effectué à l’aide
d’un logiciel de calcul formel (Mathematica, Maple, etc.). On donne ici les
principaux résultats.
1°- La fonction rectangle
Rappelons que pour la fonction rectangle de largeur X définie par :
1 si x ∈ [ − X ,+ X ]

2
2
rectX(x)= 
0 si x ∉ [ − X 2 ,+ X 2]
F
[rect X ](u) = X sin c(πXu)
2°- La fonction triangle
Pour la fonction triangle de largeur 2X définie par:
0 si x < − X ou x > + X

Λ X ( x) = x + X si − X ≤ x ≤ 0
− x + X si 0 ≤ x ≤ + X

f(x)
X
F(u
)
x
2X
sinc 2= F [triangle]
fonction triangle de largeur 2X
F
[Λ X ]( u) = X 2 sin c 2 (πXu)
Transformée de Fourier
173
3°- La fonction signe
signe(x)
+1
x
-1
La fonction signe est définie par:
 −1 si x < 0

signe(x)= 0 si x = 0
 +1 si x > 0

On remarque que : rect X =1 ( x) =
1
1
1 
 signe( x + ) - signe( x - )
2
2
2 
Donc
F[rect(x)](u)= sinc(πu)=
1
1
1
1
F[signe(x+ )]F[signe(x- )]
2
2
2
2
i
1
=
F[signe(x)] e
2
D’où
2π
u
2 -
−i
1
F[signe(x)] e
2
sin(πu )
= i F[signe(x)] sin(πu)
πu
On en tire:
F
[signe( x ) ](u ) = iπu
1
2π
u
2
Mathématiques pour les Sciences Physiques
174
4°- La Lorentzienne
T.F. de la Lorentzienne
Lorentzienne
1
avec b réel. Elle
b + x2
décrit notamment le spectre de la lumière émise par une lampe spectrale
haute pression.
La Lorentzienne est la fonction f ( x ) =
2
Pour évaluer sa T.F., calculons F[ e −a x ] où a est un réel positif.
La fonction étant paire, on obtient :
+∞
F
[e ] = 2 ∫ e
-a x
0
− ax
 +∞ − ax i 2πux 
cos( 2πux) dx = 2 Re ∫ e e
dx
 0

a
1
2
a
1


2π
= 2 Re
=
=
 a − i 2πu  a 2 + 4π 2 u 2 π  a  2
  + u2
 2π 
D’où, en utilisant la propriété F[F[f]](x)=f(-x), et en posant b =
F[
1
b
]= e −a u
2
2
πb +x
soit :
 1  π −2π b u
F 2
= e
b + x 2  b
a
:
2π
Transformée de Fourier
175
5°- La Gaussienne
La Gaussienne est la fonction f ( x) = e −b x avec b réel. Elle
décrit notamment le spectre de la lumière émise par une lampe spectrale
basse pression.
2 2
On peut calculer sa T.F. en passant par la fonction e −b z de la
variable complexe z. On peut aussi utiliser la méthode suivante mettant en
évidence l’utilisation possible de la T.F. pour la résolution d’équations
différentielles :
2 2
Comme
f ' (x ) = −2b2 xf ( x )
et que F[xf]= −
1
F’(u) et F[f’]=2iπu F[f]
i 2π
F vérifie 2i πuF = 2b 2
F'
2i π
soit
F’+
F(u) = F(0) e
+∞
Enfin, F(0)=
∫
−∞
e −b
2 2
x
dx =
π
.
b
−
2π 2
uF=0
b2
π 2 u2
b2
donc
Mathématiques pour les Sciences Physiques
176
[
2 2
-b
On obtient: F e
x
]
π −
=
e
b
π 2 u2
b2
F La TF d’une Gaussienne est une Gaussienne.
6°- La fonction δ de Dirac
On a défini la fonction δ de Dirac par :
δ( x ) = lim X sinc( πXx)
X →+∞
On peut aussi utiliser d’autres définitions:
δ( x ) = lim X rect 1 ( x )
X →+∞
δ( x ) = lim X e −πX
ou encore :
X →+∞
Ces différentes définitions conduisent aux mêmes propriétés:
• δ est nulle partout sauf en x=0
où elle vaut +∞
• δ(x-a) est nulle partout sauf en
x=a où elle vaut +∞
x=a
+∞
•
∫ δ(x)dx = 1
et plus généralement
−∞
+∞
∫ δ(x − a ) f (x )dx =
f ( a ) (sifting property)
−∞
• δ(ax)=
X
1
δ(x)
a
• F[δ]=1 et F[2iπδ(x-a)]= e −2 iπau
2 2
x
Transformée de Fourier
177
• F[ e 2iπu0 x ]=δ(u-u0)
1
(δ ( u − u0 ) + δ ( u + u0 ) )
2
• F[cos(2πu0x)]=
• F[sin(2πu0x)]=
1
(δ( u − u0 ) − δ( u + u0 ))
2i
δ n’est pas une fonction au sens usuel, et la description correcte de
cet objet nécessite la théorie des distributions. Dirac utilisa et vulgarisa cet
outil dès 1930, mais ce n’est qu’en 1950 que la théorie fut présentée
(Schwartz). Signalons simplement que δ(x-a) est la distribution
singulière qui à une fonction f continue en a associe le réel f(a). On note:
<δ a,f>=f(a), ce que l’on écrit en physique :
+∞
∫ δ(x − a ) f (x )dx =
f (a )
−∞
Montrons l’utilité de cet outil pour montrer par exemple que :
F[F[f]](x)=f(-x)
+∞
F[f](u)=
∫ f (ξ)e −i 2πξu dξ =F(u)
−∞
+∞
F[F](x)=
∫ F (u)e−i2πxu du =
u = −∞
+∞
=
∫
ξ = −∞
 +∞

f (ξ) ∫ e−i 2πu ( ξ + x ) du dξ
 u = −∞

+∞
=
 +∞

− i 2πξu  − i 2π xu

f
(
ξ
)
e
d
ξ
e
du
∫  ∫


u = −∞  ξ = −∞
+∞
∫ f (ξ)δ(ξ + x )dξ =f(-x)
ξ = −∞
Mathématiques pour les Sciences Physiques
178
7°- Le peigne de Dirac
Le peigne (comb en anglais) est la fonction :
+∞
comb(x)=
∑ δ(x − n )
n = −∞
comb(x)
-1
1
2
3
x
La représentation de cette fonction justifie son appellation: il s’agit
de pic de Dirac régulièrement espacés (le pas est 1). On peut modifier le
 x
pas en considérant la fonction comb  de pas a.
 a
On montre que la TF du peigne est encore un peigne :
+∞
F
[comb( x)](u) = ∑ δ (u − q) = comb( u)
q = −∞
8°- La fonction de Heaviside
Heaviside(x)
x
1 si x ≥ 0
Elle est définie par: Heaviside(x)= 
0 si x < 0
Transformée de Fourier
Comme Heaviside(x)=
F
179
1
(1 + signe( x)) , on obtient :
2
[Heaviside( x ) ](u ) =
1
1 
 δ( u ) +

2
i πu 
180
Mathématiques pour les Sciences Physiques
IV Transformée de Fourier et Convolution
1°- Produit de convolution
Soient f,g: R → C. On définit sous réserve d’existence :
+∞
(f*g)(x) =
∫ f (t ) g ( x − t ) dt
t = −∞
La fonction f*g est appelée convoluée de f et g. Elle existe notamment
lorsque :
• f et g ∈ L1 (R), alors f*g ∈ L1 (R)
• f ∈ L1 (R) et g bornée
2°- Propriétés
• La convolution est commutative dans L1 (R): f*g = g*f
(Il suffit de faire le changement de variables u=x-t)
• La convolution est associative dans L1 (R):
f*(g*h) = (f*g)*h
• La convolution est distributive par rapport à l’addition dans L1
(R) :
f*(g+h) = f*g + f*h
• Dérivation: si f,g ∈ L1 (R) et si f ou g de classe C1 sur R, alors
f*g est de classe C1 sur R et :
(f*g)’ = f’*g = f*g’
• Translation: (f*g)(x-a) = f(x-a)*g = f*g(x-a)
Transformée de Fourier
181
3°- Interprétation graphique du produit de
convolution
Soient deux fonctions f et g réelles
g(t)
f(t)
t
t
g(x-t)
g(-t)
t
x
g(-t) retourne g(t)
t
g(x-t) translate g(-t) de x
f(t)
g(x-t)
x
g(x-t) translate g(-t) de x
t
+∞
A x fixé,
∫ f (t )g ( x − t)dt
t = −∞
g(x-t)
permet de voir le recouvrement de f(t) avec
Mathématiques pour les Sciences Physiques
182
x1
x2
t
x3
En faisant varier x, on déplace la courbe g(x-t) par rapport à la courbe
f(t). Pour chaque valeur de x, (f*g)(x) chiffre le recouvrement des deux
fonctions.
Qualitativement, on peut conclure que f*g sera nulle en x 1, va croître
jusqu’en x 2, puis décroître pour s’annuler en x 3.
Exemple: la convolution de la fonction rectangle avec elle même donne la
fonction triangle :
ΛX (x)
rectX(x)
-X/2
+X/2
x
-X
+X
x
4°- Théorème de convolution
Dans L1 (R), la transformée de Fourier d’un produit de convolution
est égale au produit des transformées de Fourier :
[ ] [ ][]
F f*g = F f F g
Transformée de Fourier
183
F[f*g](u)
+∞
=
∫ ( f * g )( x )e −i2 πxu dx =
x = −∞
 +∞


 e −i 2πxu dx
f
(
t
)
g
(
x
−
t
)
dt
∫  ∫


x = −∞ t = −∞
+∞
+∞
=
∫
+∞
∫ f (t )g ( x − t )e−i2πxu dxdt
t = −∞ x = −∞
+∞
=
∫
t = −∞
 +∞

f ( t ) ∫ g( x − t ) e −i 2πxu dx dt
 x = −∞

(théorème de Fubini)
+∞
=
∫
t =−∞
 +∞

f ( t )  ∫ g ( y ) e −i 2π ( t + y ) u dy dt


 y = −∞

(changement de variable y=x-t)
+∞
=
∫
t =−∞
+∞
=
∫
t = −∞
 +∞

f ( t )  ∫ g ( y ) e −i 2πtu e −i 2πyu dy dt


 y = −∞

 +∞

f ( t ) e−i 2 πtu  ∫ g( y) e −i 2πyu dy dt


 y = −∞

+∞
=
∫ f (t )e −i2πtu F [ g ](u)dt
t = −∞
+∞
= F [ g ]( u)
∫ f (t )e −i 2πtu dt
t = −∞
= F[f](u) F[g](u)
Mathématiques pour les Sciences Physiques
184
5°- Exemples
• F[rectX*rectX] = F[rectX] F[rectX] = (Xsinc(πxu))2 = F[ΛX]
ΛX=rectX*rectX
donc
• f(x)*δ(x) = f(x) on dégage ici une propriété fondamentale de δ :
c’est « l’élément neutre » du produit de convolution.
•
+∞
 x
x

f ( x) * comb   = ∑ f ( x ) * δ − n
 a  n= −∞
a

=
+∞
∑
n =−∞
+∞
 x − na 
f ( x ) * δ
 = a ∑ f ( x) * δ( x − na )
 a 
n= −∞
+∞
+∞
n= −∞
n= −∞
=a
∑ f ( x − na ) * δ( x ) = a ∑ f ( x − na )
Cette opération permet de représenter mathématiquement un
échantillonnage de la fonction f, abondamment utilisé en traitement
numérique des signaux
V Les systèmes linéaires
1°- Définition
Soit un dispositif permettant de traiter une information f e(x) pour
fournir en sortie une réponse gs(X).
Le système est linéaire lorsque la réponse gs(X) dépend linéairement de
l’entrée f e(x):
gs(X) = L[f e(x)]
L est un opérateur linéaire :
L [ a1 f 1(x) + a2 f 2(x) ] = a1 L [f 1(x)] + a2 L [f 2(x)].
Transformée de Fourier
185
Dans ces conditions, la sortie sera la superposition linéaire des différentes
composantes de l’entrée.
En optique, l’information f e est un objet lumineux. f e représente
l’amplitude du champ électrique en chaque point (x,y) de l’objet; f e est ainsi
une fonction de deux variables (coordonnées des points de l’objet). gs est
l’amplitude du champ électrique en chaque point (X,Y) d’un plan
d’observation (écran, cellule CCD, etc.)
- si les différents points de l’objet émettent des vibrations cohérentes entre
elles, gs dépend linéairement de f e(x,y)
- si les différents points de l’objet émettent des vibrations incohérentes, gs
dépend non plus de f e(x,y) mais de
néanmoins linéaire.
2
f e ( x , y ) . Le système reste
Dans les deux cas, la grandeur physique captée en sortie est
2
proportionnelle à g s (X,Y) (intensité lumineuse)
En électronique, le problème est à la fois plus simple car
unidimensionnel (1 variable temporelle), mais aussi plus complexe car la
variable de sortie est la même que la variable d’entrée.
Nous décrivons ici des grandeurs d’entrée et de sortie
unidimensionnelles avec des variables différentes f e(x) et gs(X) ...
Les systèmes non linéaires:
Dans un système linéaire, la forme de la réponse sortie est connue
dès que l’entrée est connue.
Dans un système non linéaire (diodes, hystérésis, etc.), le système peut
avoir un comportement chaotique imprévisible.
Considérons par exemple un système non linéaire tel que gs(X)=
signe(f e(x)). Le système va présenter un comportement chaotique si f e(x)
varie aléatoirement autour de zéro, même dans un petit domaine.
Mathématiques pour les Sciences Physiques
186
2°- Réponse impulsionnelle d’un système linéaire
Soit un système linéaire décrit par un opérateur L :
gs(X) = L[f e(x)]
On utilise la fonction δ de Dirac pour décomposer f e(x) en une somme de
différentes composantes :
+∞
f e ( x) =
∫ f e (ξ)δ( x − ξ)dξ
−∞
+∞
Donc gs(X)= L[
∫
f e (ξ)δ ( x − ξ) dξ ]=
−∞
h(ξ,X)=
L
+∞
∫ f e (ξ) L [δ ( x − ξ)]dξ
−∞
[δ( x − ξ)] est la réponse impulsionnelle du système.
h(ξ,x) est la réponse du système à une source ponctuelle placée en x=ξ,.
Si la variable d’entrée est temporelle, la source ponctuelle est une impulsion
infiniment brève.
+∞
Dès lors, gs s’exprime selon:
gs(X)=
∫ f e (ξ)h (ξ, x)dξ
,
relation qui
−∞
montre que la réponse à une excitation quelconque est la superposition
linéaire des différentes contributions de l’excitation.
On remarque aussi que la réponse impulsionnelle d’un système
linéaire le caractérise complètement.
3°- Systèmes linéaires invariants, fonction de
transfert
Un système linéaire est dit invariant lorsqu’une translation en
entrée se traduit par un translation en sortie, sans affecter la forme de la
sortie.
Transformée de Fourier
187
Un tel système a sa réponse impulsionnelle qui ne dépend que de
X-ξ: h = h(X-ξ)
Par exemple, une impulsion envoyée sur un système électronique à
un instant t 0 produira une réponse à un instant ultérieur t 1 avec t 1-t 0
indépendant de t 0.
Pour un système optique, une translation de l’objet se traduit par
une translation de la figure observée.
Pour de nombreux systèmes réels, cette propriétés sera vérifiée, au
moins localement.
La sortie du système linéaire invariant est dans ces conditions
donnée par :
+∞
gs(X)=
∫ f e (ξ)h( X − ξ)dξ
−∞
g s ( X ) = ( f e * h)( X )
soit
+ La réponse d’un système linéaire invariant est la convoluée de
l’entrée avec la réponse impulsionnelle.
Si on s’intéresse à la composition spectrale des signaux, on applique
la transformée de Fourier et on obtient :
GS = FE × H
où GS= F[gs]
FE= F[f e]
et
H= F[h]
H= F[h] s’appelle la fonction de transfert du système linéaire invariant.
+ Le spectre de la sortie s’obtient en multipliant le spectre de l’entrée
avec la fonction de transfert H du système linéaire invariant.
Mathématiques pour les Sciences Physiques
188
Exemple :
Considérons en électronique un filtre passe bas du premier
ordre fondamental. Sa fonction de transfert est :
H (ω) =
1
1 + i ωτ
t
1 −
la réponse impulsionnelle est v s(t) = F [H] = e τ
τ
-1
4°- Interprétation physique du produit de convolution
Reprenons le cas d’un système linéaire invariant. La réponse en
sortie est la convoluée de l’entrée avec la réponse impulsionnelle :
+∞
gs(X)=
∫ f e (ξ)h( X − ξ)dξ
−∞
Supposons que l’entrée soit constituée d’un point source situé en x=x 0.
Alors f e(x) = δ(x-x 0) et donc :
+∞
∫ δ(ξ − x 0 )h ( X − ξ)dξ = h(X-x 0)
gs(X)=
−∞
gs(X)
fe(x)
système linéaire
invariant
x0
x
X0
X
+ h caractérise donc aussi l’étalement d’une impulsion ponctuelle à travers
le système .
Transformée de Fourier
189
Soit maintenant une entrée quelconque décrite par f e(x). f e(x 0)dx 0
peut être considérée comme une partie ponctuelle de l’entrée dont la
réponse par le système est donnée par f e(x 0) dx 0 h(X-x 0).
Chaque point de l’entrée peut être traité de la même manière et la
sortie est la superposition de toutes les composantes. Cette superposition
s’écrit :
+∞
gs(X)=
∫ fe (x0 )h(X − x0 )dx0
x0 = −∞
ce qui consiste précisément à faire la convolution de f e avec h.
Notons au passage que l’étalement des différentes composantes de l’entrée
va altérer le signal: il va y avoir une perte d’information entre l’entrée et la
sortie. L’exemple ci-dessous montre une entrée constituée de deux pics
rapprochés alors que la sortie ne montre qu’un seul pic.
gs (X)
fe(x)
système linéaire
invariant
x1 x2
X1 X 2
X