Régression linéaire - Lamsade - Université Paris

Analyse de données
Régression linéaire
Jamal Atif
[email protected]
Université Paris-Dauphine, Licence MIDO
2014-2015
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Jamal Atif
Analyse de Données
Copyright
Ce cours est adapté librement des ressources suivantes :
▶
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Livre : Régression avec
, Pierre-André Cornillon et Eric
Matzner- Lober, Springer 2010.
Jamal Atif
Analyse de Données
Exemple introductif
Un analyste en webmarketing s’intéresse à la relation de causalité entre les
frais de publicité et les ventes d’un produit donné. En particulier il cherche à
savoir s’il est possible d’expliquer le nombre de ventes par les frais de
publicité. Il collecte l’échantillon des données suivant :
Pub. (e)
1
2
3
4
5
Ventes (unité)
1
1
2
2
4
Il s’agit alors :
▶ de trouver un modèle permettant d’expliquer Ventes en fonction de Pub,
▶ de prédire les valeurs de Ventes par de nouvelles valeurs de Pub.
⇒ Régression
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Jamal Atif
Analyse de Données
Nuage de points
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▶
Pub (x) est une variable indépendante, dite variable
explicative ou encore de régression
▶
Ventes (y) est dépendante dite réponse.
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Analyse de Données
Première démarche
Examiner le nuage de points
Trouver une relation entre la variable x et la variable y, telle
que :
yi ≈ f (xi ), i = 1, · · · , n
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Jamal Atif
Analyse de Données
Modèle
yi ≈ f (xi )
; Se fixer une famille de fonction F (ex : fonctions linéaires) et
une fonction de coût L telle que :
n
∑
L(y − f (x)) est minimale pour une fonction f ∈ F donnée,
i=1
où n représente le nombre de données disponibles (taille de
l’échantillon) et L une fonction de coût ou de perte (Loss).
⇕
f̂ = argmin
f ∈F
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Exemples de L :
▶ L(x) =| x |,
▶ L(x) = x2 ,
▶ etc.
n
∑
L(y − f (x)), i = 1, · · · , n
i=1
Jamal Atif
Analyse de Données
Modèle de régression linéaire simple
▶
F est une famille de fonctions linéaires (affines) de R dans
R.
▶
On suppose disposer d’un échantillon de n points (xi , yi ).
yi = β1 + β2 xi + εi , ∀i = 1, · · · , n
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▶
εi modélisent le bruit et sont supposés aléatoires (les points
n’étant jamais parfaitement alignées sur une droite).
▶
β1 et β2 sont les paramètres inconnues du modèles.
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Analyse de Données
Modèle de régression linéaire simple
Hypothèses :
yi = β1 + β2 xi + εi , ∀i = 1, · · · , n
1. le bruit est une variable aléatoire d’espérance nulle et de
variance inconnue fixe (homoscédacité) : E(εi ) = 0 et
Var(εi ) = σ 2 ,
2. εi et εj sont décorrélés pour tout i ̸= j : cov(εi , εj ) = 0
3. εi une v.a distribuée selon une loi normale de moyenne
nulle et de variance σ 2 : εi ∼ N (0, σ 2 ).
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Jamal Atif
Analyse de Données
Modèle de régression linéaire simple
Hypothèses :
Homoscédacité vs Hétéroscédacité
Ex : yi = 2xi + 1 + εi
Nuage de points (xi , yi ).
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Jamal Atif
Analyse de Données
Modèle de régression linéaire simple
Hypothèses :
Homoscédacité vs Hétéroscédacité
εi ∼ N (0, xi )
Nuage de points (xi , εi ).
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Jamal Atif
Analyse de Données
Modèle de régression linéaire simple
Hypothèses :
Homoscédacité vs Hétéroscédacité
Ex : yi = 2xi + 1 + εi
Distribution des erreurs.
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Analyse de Données
Modèle de régression linéaire simple
Hypothèses :
Dépendance vs indépendance du bruit
Ex : yi = 2xi + 1 + εi
A gauche (xi , yi ), au milieu (xi , εi ) et à droite la distribution de ε.
εi+1 ∼ N (εi , 100)
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Jamal Atif
Analyse de Données
Estimateur des Moindres carrés Ordinaires
f̂ = argmin
f ∈F
n
∑
L(yi − f (xi )), i = 1, · · · , n
i=1
On fixe L(x) = x2 et f (x) = β1 + β2 x
n
∑
(β̂1 , β̂2 ) = argmin
(yi − β1 − β2 xi )2
β1 ,β2
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i=1
Analyse de Données
Estimateur des Moindres carrés Ordinaires
Cela revient à minimiser le carré du bruit εi pour chaque i :
εi = yi − β1 + β2 xi = yi − ỹi
yi : le point observé, et ỹi le point de la droite théorique.
(β̂1 , β̂2 ) = argmin
β1 ,β2
= argmin
β1 ,β2
= argmin
β1 ,β2
n
∑
i=1
n
∑
(yi − β1 − β2 xi )2 ,
(yi − ỹi )2 ,
i=1
n
∑
ε2i ,
i=1
= argmin ||ε||2
β1 ,β2
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Analyse de Données
Illustration
Au tableau !
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Jamal Atif
Analyse de Données
Calcul des estimateurs de β1 et β2
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∑n
− β1 − β2 xi )2
▶
On notera S(β1 , β2 ) =
▶
S(β1 , β2 ) est quadratique donc convexe et différentiable ⇒
admet un minimum unique en (βˆ1 , βˆ2 ).
▶
On calcule les points pour lesquelles les dérivées partielles
de S en β1 et β2 s’annulent. On obtient les équations
normales suivantes :

n
∑

∂S


=
−2
(yi − βˆ1 − βˆ2 xi ) = 0


 ∂ βˆ1
i=1
(1)
n

∑

∂S


xi (yi − βˆ1 − βˆ2 xi ) = 0
= −2

 ∂ βˆ2
i=1
i=1 (yi
Jamal Atif
Analyse de Données
Calcul des estimateurs de β1 et β2
∑
∂S
= −2
(yi − βˆ1 − βˆ2 xi ) = 0
∂ βˆ1
n
i=1
⇒βˆ1 n + βˆ2
n
∑
xi =
i=1
n
∑
yi
i=1
⇒βˆ1 = y − βˆ2 x.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Calcul des estimateurs de β1 et β2
∑
∂S
= −2
xi (yi − βˆ1 − βˆ2 xi ) = 0
∂ βˆ2
n
i=1
⇒βˆ1
n
∑
xi + βˆ2
n
∑
x2i =
n
∑
xi yi
i=1
i=1
i=1
∑
∑
∑
∑
x
y
−
x
(x − x)(yi − y)
y
xi (yi − y)
i
i
i
ˆ
⇒β2 = ∑ 2 ∑
=∑
=∑ i
xi (xi − x)
(xi − x)(xi − x)
xi − xi x
Exercice de TD !
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Jamal Atif
Analyse de Données
Quelques remarques
▶
La relation βˆ1 = y − βˆ2 x montre que la droite des moindres
carrés passe par le centre de gravité des nuages (x, y).
Les expressions obtenues pour βˆ1 et βˆ2 montrent que ces
▶
deux estimateurs sont linéaires par rapport au vecteur y.
L’estimateur βˆ2 peut s’écrire (exercice de TD) :
▶
∑
(x − x)εi
ˆ
β2 = β2 + ∑ i
(xi − x)2
→ La variation de βˆ1 et βˆ2 vient seulement de ε
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Jamal Atif
Analyse de Données
Quelques propriétés de βˆ1 et βˆ2
Sous les hypothèses 1 et 2 (centrage, décorrélation et
homoscédacité) β1 et β2 sont des estimateurs sans biais de β1 et
β2 .
Nous savons que :
∑
(xi − x)εi
βˆ2 = β2 + ∑
(xi − x)2
Dans cette expression, seuls les bruits εi sont aléatoires d’espérance nulle.
Nous avons donc :
E(βˆ2 ) = β2
Pour β̂1 , on part de l’expression :
β̂1 = y − β̂2 x,
d’où l’on tire :
E(βˆ1 ) = E(y) − xE(βˆ2 ) = β1 + xβ2 − xβ2 = β1
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Jamal Atif
Analyse de Données
Quelques propriétés de βˆ1 et βˆ2
Les variances des estimateurs sont :
∑
(
)
σ 2 x2i
1
x2
2
ˆ
var(β1 ) = ∑
=σ
+∑
n (xi − x)2
n
(xi − x)2
σ2
var(βˆ2 ) = ∑
(xi − x)2
Et la covariance vaut :
σ2x
cov(βˆ1 , βˆ2 ) = − ∑
(xi − x)2
Preuve au tableau.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Résultat fondamental
Théorème de Gauss-Markov :
Parmi les estimateurs sans biais linéaires de y, les estimateurs
β̂i sont de variances minimales.
Nous omettrons la preuve.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Calcul des résidus et de la variance résiduelle
ε̂i = yi − ŷi = yi − βˆ1 − βˆ2 xi = (yi − y) − βˆ2 (xi − x)
Par construction, nous avons :
∑
∑
∑
(xi − x) = 0.
ε̂i =
(yi − y) − βˆ2
i
i
i
2
Estimateur non biaisé
∑ de σ
La statistique σ̂ 2 =
σ2.
ε̂2i /(n − 2) est un estimateur sans biais de
Détails au tableau.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Prévision
Rappel : un des buts de la régression est la prévision/prédiction.
Soit xn+1 une nouvelle valeur pour laquelle nous voulons
prédire yn+1 . Le modèle s’écrit :
yn+1 = β1 + β2 xn+1 + εn+1 ,
avec E(εn+1 ) = 0, var(εn+1 = σ 2 ) et cov(εn+1 , εn ) = 0 pour tout
i = 1, · · · , n.
La valeur yn+1 peut être prédite comme suit :
ŷn+1 = βˆ1 + βˆ2 xn+1
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Jamal Atif
Analyse de Données
Erreur de prévision
ŷn+1 = βˆ1 + βˆ2 xn+1
L’erreur de prévision ε̂n+1 = (yn+1 − ŷn+1 ) satisfait les
propriétés suivantes :
{
E(ε̂n+1 )
=0 (
)
var(ε̂n+1 ) = σ 2 1 +
1
n
+
(xn+1 −x)2
∑
n
2
i=1 (xi −x)
(2)
Interprétation
La variance augmente lorsque xn+1 s’éloigne du centre de gravité. Autrement
dit, faire la prévision lorsque xn+1 est «loin» de x est périlleux, puisque la
variance de l’erreur de prévision peut être très grande.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Interprétation géométrique
Le problème de régression peut prendre la forme matricielle :
y = Ab + ε, avec




1 x1
ε1
[
]
β1




A =  ... ...  , b =
, ε =  ... 
β2
1 xn
εn
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Jamal Atif
Analyse de Données
Décomposition de la variance
ε̂ = y − ŷ
Par le théorème de Pythagore, nous avons :
||y − y1||2 = ||ŷ − y1||2 + ||ε̂||2
n
∑
i=1
(yi − y)2 =
n
∑
(ŷi − y)2 +
i=1
n
∑
(3)
ε̂2i ,
(4)
i=1
SCT = SCE + SCR
(5)
▶ SCT : Somme des Carrés des écarts Totale ; elle possède (n − 1) degrés de
liberté
▶ SCE : Somme des Carrés des écarts Expliquée ; elle possède (1) degrés de
liberté
▶ SCR : Somme des Carrés des écarts Résiduelle ; elle possède (n − 2) degrés
de liberté
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Jamal Atif
Analyse de Données
Rappels sur les degré de liberté
Somme des carrés à la moyenne, SC
SC =
n
∑
(xi − x)2
i=1
Nombre de degrés de liberté (ddl)
▶
ddl = nombre total des valeurs − nombre des valeurs
estimées.
▶
Pour la somme précédente (SC), on a estimé la moyenne,
donc ddl = n − 1.
Variance estimée
SC
1 ∑
(xi − x)2
=
ddl
n−1
n
var(x) =
i=1
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Jamal Atif
Analyse de Données
Décomposition de la variance
SCT = SCE + SCR
Les degrés de liberté (ddl) s’additionnent, tout comme les
sommes carrés d’écarts :
(n − 1) = 1 + (n − 2)
Les variances s’obtient en divisant chaque somme de carrés
d’écarts par le nombre de ddl correspondants :
Vt =
SCT
SCE
, Ve = SCE, Vr =
n−1
n−2
Ce sont respectivement les variances totale, expliquée, et
résiduelle. (Ces variances ne s’additionnent pas !)
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Jamal Atif
Analyse de Données
Quelques quantités
Le coefficient de détermination R2
R2 =
||ŷ − y1||2
||ε̂||2
SCR
SCE
=
=1−
=1−
= ρ2xy
2
SCT
||y − y1||
||y − y1||2
SCT
▶ Si R2 = 1, le modèle explique tout, l’angle θ vaut zéro et y est dans
M(X), c’est-à-dire que yi = β1 + β2 xi pour tout i : les points de
l’échantillon sont parfaitement alignés sur la droite des moindres
carrés ;
▶ Si R2 = 0, cela veut dire que (ŷi − y)2 = 0, donc ŷi = y pour tout i. Le
modèle de régression linéaire est inadapté puisqu’on ne modélise rien
de mieux que la moyenne ;
▶ Si R2 est proche de zéro, cela veut dire que Y est quasiment dans
l’orthogonal de M(X), le modèle de régression linéaire est inadapté, la
variable x n’explique pas bien la variable réponse y (du moins pas de
façon affine).
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Jamal Atif
Analyse de Données
Quelques quantités
Le coefficient de corrélation R : c’est la racine du coefficient de
détermination, affecté du signe de la pente βˆ2 . Il
est toujours compris entre −1 et 1.
L’écart-type résiduel σ̂ : c’est√la racine carrée de la variance
résiduelle (σ̂ = Vr ). C’est une estimation de
l’erreur faite sur la mesure de la variable
dépendante y. Une valeur de 0 indiquerait un
ajustement parfait.
Le rapport de variance F : c’est le rapport de la variance
e
expliquée à la variance résiduelle (F = V
Vr ).
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Jamal Atif
Analyse de Données
Régions de confiances et tests d’hypothèses
Mieux que les expressions des estimateurs et celles de leurs
variances, on aimerait connaître leurs lois : ceci permettrait par
exemple d’obtenir des régions de confiance et d’effectuer des
tests d’hypothèses. Dans cette optique, il faut bien entendu
faire une hypothèse plus forte sur notre modèle, à savoir
préciser la loi des erreurs.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Cas d’erreurs gaussiennes
Hypothèses supplémentaires sur le modèle :
1. εi ∼ N (0, σ 2 )
2. εi sont mutuellement indépendants
Il s’en suit :
∀i ∈ {1, · · · , n} yi ∼ N (β1 + β2 xi , σ 2 )
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Jamal Atif
Analyse de Données
Estimateurs du maximum de vraisemblance
La vraisemblance vaut
L(y; β1 , β2 , σ 2 ) =
n
∏
N (β1 + β2 xi , σ 2 )
i=1
(
)n
[
n
1 ∑
= √
exp − 2
(yi − β1 − β2 xi )2
2σ
2πσ 2
i=1
(
[
]
)n
1
1
= √
exp − 2 S(β1 , β2 )
2σ
2πσ 2
1
⇒ Trouver (βˆ1 , βˆ2 , σ̂ 2 ) qui maximisent la vraisemblance.
⇒ Pour simplifier le calcul on prend la log-vraisemblance :
log(L).
n
1
log L(y; β1 , β2 , σ 2 ) = − log(2πσ 2 ) − 2 S(β1 , β2 )
2
2σ
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Jamal Atif
Analyse de Données
]
Estimateurs du maximum de vraisemblance
βˆ1 mv , βˆ2 mv
n
1
log L(y; β1 , β2 , σ 2 ) = − log(2πσ 2 ) − 2 S(β1 , β2 )
2
2σ
▶
Maximiser par rapport à (β1 , β2 ) revient à minimiser
−S(β1 , β2 ).
⇒ Les estimateurs du maximum de vraisemblance de β1 et β2
sont égaux aux estimateurs des moindres carrés.
βˆ1 mv = βˆ1 ,
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Jamal Atif
βˆ2 mv = βˆ2
Analyse de Données
Estimateurs du maximum de vraisemblance
2
σ̂mv
Il reste à maximiser log L(y; βˆ1 , βˆ2 , σ 2 ) par rapport à σ 2 .
∂L(y; βˆ1 , βˆ2 , σ 2 )
n
1
= − 2 + 4 S(βˆ1 , βˆ2 )
2
∂σ
2σ
2σ
n
n
1 ∑
=− 2 + 4
(yi − βˆ1 − βˆ2 xi )2
2σ
2σ
i=1
n
∂L(y; βˆ1 , βˆ2 , σ 2 )
1∑ 2
2
ε̂i
=
0
⇒
σ̂
=
mv
2
∂ σ̂mv
n
i=1
▶ L’estimateur du maximum de vraisemblance de σ 2 est différent de
l’estimateur MCO σ̂ 2 .
▶ L’estimateur du maximum de vraisemblance de σ 2 est donc biaisé. En
2
)=
effet E(σ̂mv
1
n
∑
E(ε̂2i ) =
n−2 2
σ
n
⇒ Ce biais est d’autant plus négligeable que le nombre d’observations est
grand.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Lois des estimateurs et régions de confiance
Rappels sur les lois usuelles
Loi du χ2
Soit X1 , · · · , Xn des variables aléatoires
i.i.d. suivant une loi normale centrée
∑
réduite. La loi de la variable X = ni=1 Xi2 est appelée loi du χ2 à n degrés de
liberté (ddl), noté X ∼ χ2n .
Loi de Student
Soit Z une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite et X une
variable suivant une loi du χ2 à n degrés de liberté, avec Z et X
indépendantes. La loi de la variable T = √Z est appelée loi de Student à n
degrés de liberté et on note T ∼ Tn .
X/n
Loi de Fisher
Soit U1 une variable aléatoire suivant une loi du χ2 à n1 degrés de liberté et
U2 une variable aléatoire suivant une loi du χ2 à n2 degrés de liberté, avec U1
U1 /n1
et U2 indépendantes. La loi de la variable F = U
est appelée loi de Fisher
2 /n2
n1
à (n1 , n2 ) degrés de liberté et on note F ∼ Fn2 .
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Jamal Atif
Analyse de Données
Lois des estimateurs et régions de confiance
Quelques notations préalables :
−σ 2 x
(xi − x)2
∑ 2
(
)
xi
2
2
∑
σ1 = σ
n (xi − x)2
σ2
σ22 = ∑
(xi − x)2
c= ∑
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1 ∑ 2
ε̂i
n−2
∑ 2
(
)
xi
2
∑
σ̂1 = σ̂
n (xi − x)2
σ̂ 2
σ̂2 = ∑
(xi − x)2
σ̂ 2 =
▶
σ12 , σ22 et c sont les variances et covariance des estimateurs
des moindres carrés ordinaires.
▶
σ̂12 et σ̂22 correspondent quant à elles aux estimateurs des
variances d e βˆ1 et βˆ2 .
Jamal Atif
Analyse de Données
Lois des estimateurs avec variance connue
Les lois des estimateurs des MCO avec variance σ 2 connue
sont :
[
]
[
]
βˆ1
β1
2
▶ β̂ =
∼ N (β, σ V) où β =
et
β2
βˆ2
[ ∑ 2
]
[ 2
]
/n
−x
x
σ
c
1
1
1
i
= σ2
V = ∑(x −x)2
i
−x
1
c
σ22
(n−2) 2
σ̂ ∼ χ2n−2 , loi du χ2 à
σ2
▶ β̂ et σ̂ 2 sont indépendants.
▶
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Jamal Atif
(n − 2) ddl.
Analyse de Données
Lois des estimateurs avec variance estimée
Les lois des estimateurs des MCO avec variance σ 2 estimée
sont :
ˆ
▶ β1 −β1
σ1
∼ Tn−2 où Tn−2 est une loi de Student à (n − 2)
degrés de liberté.
ˆ
▶ β2 −β2
σ2
▶ 1 2 (β̂
2σ̂
∼ Tn−2 .
2 , loi de Fisher de
− β)′ V −1 ((β̂ − β) ∼ Fn−2
paramètres (2, n − 2).
Ces dernières propriétés nous permettent de donner des
intervalles de confiance (IC) ou des régions de confiance (RC)
des estimateurs.
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Jamal Atif
Analyse de Données
Intervalles et régions de confiance
▶
▶
▶
▶
IC(βˆ1 ) ± tn−2 (1 − α/2)σ̂1 où tn−2 (1 − α/2) est le quantile de
niveau (1 − α/2) d’une loi de Student Tn−2 .
IC(βˆ2 ) ± tn−2 (1 − α/2)σ̂2
RC(β) : Une région de confiance simultanée pour β1 et β2
au niveau (1 − α) est
)
∑
1 ( ˆ
2
2 ˆ
2
ˆ1 − β1 )(βˆ2 − β2 ) +
n(
β
−
β
)
+
2nx(
β
x
(
β
−
β
)
2
2
1
1
i
2σ̂ 2
2
≤ fn−2
(1 − α),
2 (1 − α) est le quantile de niveau (1 − α) d’une loi
où fn−2
2
Fn−2 .
Un intervalle de confiance de σ 2 est donné par :
[
]
(n − 2)σ̂ 2
(n − 2)σ̂ 2
,
cn−2 (1 − α/2) cn−2 (α/2)
où cn−2 (1 − α/2) est le quantile de niveau 1 − α/2 d’une loi
χ2n−2 .
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Jamal Atif
Analyse de Données
Loi et intervalle de confiance pour la prédiction
On a :
yn+1 − ŷn+1
(
(
))
1
(xn+1 − x)2
2
∼ N 0, σ 1 + + ∑n
2
n
i=1 (xi − x)
Avec les notations et hypothèses précédentes, on obtient :
√
σ̂
yn+1 − ŷn+1
1+
1
n
+
(xn+1 −x)2
∑
n
2
i=1 (xi −x)
∼ Tn−2
d’où l’on déduit l’intervalle de confiance suivant pour yn+1 :
√
[
]
1
(xn+1 − x)2
ŷn+1 ± tn−2 (1 − α/2)σ̂ 1 + + ∑n
2
n
i=1 (xi − x)
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Jamal Atif
Analyse de Données
Tests d’hypothèse
Test Bilatéral
H0 : β1 = 0, Ha : β2 ̸= 0
Sous H0 , nous avons la v.a :
t=
βˆ2
∼ tn−2
σ̂2
Considérons un niveau de test α (usuellement 0,05 ou 0,01), On
calcule t∗ :
43 / 45
▶
si |t∗ | ≤ tn−2 (1 − α/2), alors H0 est acceptée,
▶
si |t∗ | > tn−2 (1 − α/2), alors H0 est rejetée.
Jamal Atif
Analyse de Données
Tests d’hypothèse
Test unilatéral
Exemple : vérifier si β2 est positive.
H0 : β2 ≥ 0, Ha : β2 < 0
Sous H0 , nous avons :
t=
βˆ2
βˆ2 − β2 β2
=
+
∼ tn−2 + terme positif
σ̂2
σ̂2
σ̂2
Considérons un niveau de test α (usuellement 0,05 ou 0,01), On
calcule t∗ :
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▶
si |t∗ | ≥ tn−2 (α), alors H0 est acceptée,
▶
si |t∗ | < tn−2 (α), alors H0 est rejetée.
Jamal Atif
Analyse de Données
Tests d’hypothèse
Test de passage par l’oginie β1
Test si β1 = 0 :
H0 : β1 = 0, H1 : β1 ̸= 0
Sous H0 , nous avons la v.a :
t=
βˆ1
∼ tn−2
σ̂1
Considérons un niveau de test α (usuellement 0,05 ou 0,01), On
calcule t∗ :
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▶
si |t∗ | ≤ tn−2 (1 − α/2), alors H0 est acceptée,
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si |t∗ | > tn−2 (1 − α/2), alors H0 est rejetée.
Jamal Atif
Analyse de Données