Premiére S3: Correction DM 1 Ex 1 `, . ".` x `.".` ou x ` . ".`

Premiére S3:
Correction DM 1
( exercices 1,2 et 4; les autres
seront corrigés en classe)
Ex 1
1: Pour tout x dans R, l’équation:jx 5j = 0:5
équivaut à:
x 5 = 0:5 ou x 5 = 0:5;puis à : x = 5:5 ou x = 4:5 ;
Donc
S = f5:5; 4:5g
Remarque: on peut aussi interpréter cette équation en écrivant que d(x; 5) = 0:5
et , en construisant une droite graduée, retrouver le même ensemble de solutions!!
2: Pour tout x dans R, l’inéquation: jx + 4j 10 2 équivaut à: 10 2
x+4
10 2 ; puis à : 4:01 x
3:99 donc: S = [ 4:01; 3:99] ;on pouvait de même
traduire l’inéquation par: d(x; 4) 0:01 et avec un dessin conclure!!
3:Pour tout x dans R, l’inéquation:
16x2
24x + 9
(4x
3)(7x
5)
0
équivaut à:
(4x
3)( 3x + 2)
0
et en établissant un tableau de signes, on trouve: S =
Ex 2
1; 23 [
3
4 ; +1
(S1)
Calculons le déterminant du système: ab’-a’b=1*14-7*2=0 donc les les deux premiers membres sont proportionnels;
de plus 7*4=28 donc les deux équations sont équivalentes et le système se réduit
à la seule équation : x+2y=4
qui admet une in…nité de couples solutions: S= (x;
1
( x + 4)) ; x 2 R
2
Interprétation graphique: les droites d’équations x+2y=4 et 7x+14y=28, tracées
! !
dans un repère (O, i ; j ); sont confondues et les solutions sont les couples de coordonnées de tous les points de cette droite!
(S2)
Le déterminant est 3*(-1)-2*2=-76= 0 donc le système admet un couple unique de
solution. Pour le calculer, procédons par combinaisons linéaires:
Pour tout x et y dans R ,
(S2) équivaut successivement à:
6x + 4y = 2
( en multipliant la première par 2 et la deuxième par -3)
6x + 3y = 12
6x + 4y = 2
( en remplacant la deuxième équation par la somme des deux
7y = 14
autres)
x=1
( en calculant y dans la deuxième et en substituant dans la première)
y= 2
Donc S=f(1; 2)g ( on a bien un couple unique de solution!!)
Interprétation graphique: les droites d’équations3x+2y=-1 et 2x-y=4, tracées dans
! !
un repère (O, i ; j ); sont sécantes et la solution est le couple de coordonnées du point
d’intersection.
(S3)
1
Le déterminant est : 3*14-(-21/2*(-4)=42-42=0 ; le système S2 est équivalent alors
à:
21x
21x
28y = 35
28y = 8
( en multipliant la première par 7 et la deuxième par -2)
Ce système ne peut avoir de solution!! donc S=fg =
; ( ensemble vide)
21
Interprétation graphique: les droites d’équations 3x 4y = 5 et
x+14y = 4,
2
! !
tracées dans un repère (O, i ; j ); sont parallèles et distinctes et n’ont pas de point
d’intersection!!
Ex 4
1: On a: f (x) =
4
et pour tout x dans R,
x2 + 1
x2 + 1 > 0 donc f est dé…nie
sur tout R.
2: Pour tout x dansR ,on a:
f (x) + 4
donc
4
+4
+1
4 + 4(x2 + 1)
=
x2 + 1
2
4x
=
x2 + 1
0
:
f (x)
4
=
x2
Donc -4 est un minorant de f sur R; de plus on a f(0)=-4, donc -4 est le minimum
de f sur atteint, au moins, pour x=0;
En résolvant l’équation f(x)=-4, on montre , en plus, que -4 n’est atteint que pour
x=0!!
3: Il est clair que pour tout x dans R, on a f(x)<0 donc f est majorée par 0
Conclusion: f est minorée par -4, majorée par 0 donc bornée sur R
4: f étant dé…nie sur tout R, la condition de symétrie de l’ensemble de dé…nition
est véri…ée( si x2 R alors -x2 R); de plus, pour tout x dans R on a:
f ( x) =
4
4
= 2
= f (x)
( x)2 + 1
x +1
donc f est paire et sa courbe représentative, tracée dans un repère orthogonal
! !
(O; i ; j ); admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
**Pour tous nombres réels u et v tels que 0 u < v on a:
f (v)
f (u) =
v2
=
4
=
4
2
4
+1
4
+1
u2 v 2
(v 2 + 1)(u2 + 1)
(u + v)(u v)
(v 2 + 1)(u2 + 1)
u2
y
A
B
o
x
F
E
C
or -4<0; (u+v)>0; u-v<0; (v2 +1)(u2 +1)>0 donc f(v)-f(u)>0 et f est strictement
croissante sur R+ = [0; +1[ ; on peut alors démontrer qu’elle est strictement décroissante sur ] 1; 0] :( y ré‡échir!!)
** bis: Pour tous nombres réels u et v tels que
0
u < v
on a
successivement: (théorèmes de rangement)
u2 < v 2
u2 + 1 < v 2 + 1
1
1
0 <
< 2
v2 + 1
u +1
4
4
0 >
> 2
v2 + 1
u +1
0 > f (v) > f (u)
0
1
et même conclusion!!
5:
6: Pour tout x dans R , l’équation:
f (x) =
3
1
équivaut successivement à:
4
=
1
x2 + 1
4 =
x2 1
x2 3 = 0
p
p
(x + 3)(x
3) = 0
p
p
x =
3 ou x = 3
p p
3; 3 ;
donc S =
ces nombres sont les abscisses des points d’intersection ( A et B)de C avec la
droite d’équation: y= -1
7: Pour tout x dans R, on a:
(x
1) [(x
1)2
2] = (x
= x3
= x3
1)(x2 2x + 1 2)
2x2 x x2 + 2x + 1
3x2 + x + 1 (cqfd)
et l’équation:
équivaut
successivement à:
(x
f (x) = x
4
x2 + 1
4
4
3
2
x
3x + x + 1
(x 1) [(x 1)2 2]
p
p
1)(x 1 + 2)(x 1
2)
x=1
ou
= x
3
=
=
=
=
(x 3)(x2 + 1)
x3 + x 3x2 3
0
0
=
0
x=1
S = 1; 1
3,
p
2
p
p
ou p x = 1 + 2
2; 1 + 2
donc
Ces trois nombres réels sont les abscisses des trois points d’intersection( C, E et
F) de la droite D avec la courbe C.
De plus, pour tout x dans R, l’inéquation:f (x) x 3 (attention erreur d’énoncé!!!)
équivaut à (voir question précédente):
p
p
(x 1)(x 1 + 2)(x 1
2) 0; pour la résoudre construisons
un tableau de signe
:
p
x
x 1 p
x 1+
p 2
x 1- 2
f (x) (x 3)
1
1
2
0
1
0
+
0
+
p
p
2 ;1 [ 1 + 2; +1
Donc
S= 1
Ceci correspond aux intervalles sur lesquels C est en dessous de D.
4
0
1+
+
+
0
0
p
2
+
+
+
+