Programme de colle en Mathématiques

PSI
2014-2015
Programme de colle en Mathématiques
Semaine 7 - du 10 novembre au 14 novembre
Dénombrement
– Ensembles finis
– p-listes et p-arrangements d’un ensemble à n éléments
– p-combinaisons d’un ensemble à n éléments
– Modèles d’urne : tirages successifs sans remise, successifs avec remise, tirages simultanés.
Probabilités sur un univers fini
– Le langage des probabilités : univers, évènement, évènement élémentaire, évènement contraire, évènements
« A et B » et « A ou B », évènement impossible, évènements incompatibles, système complet d’évènements.
– Espace probabilisé fini : définition d’une probabilité, détermination d’une probabilité par les images des singletons, probabilité uniforme, probabilité d’une réunion, de l’évènement contraire, croissance.
La formule du crible est hors-programme, elle a été cependant démontrée en exercices.
– Probabilité conditionnelle : définition, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales,
formules de Bayes.
– Évènements indépendants : couple d’évènements indépendants, famille finie d’évènements mutuellement indépendants.
Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini
– Variables aléatoires : définition, loi PX de la v.a. X, image d’une v.a. par une fonction et loi associée.
– Espérance et variance d’une variable aléatoire réelle : définition de l’espérance, linéarité de l’espérance,
E(aX + b), variable centrée, positivité et croissance de l’espérance, inégalité de Markov, théorème de transfert,
moments, variance, formule de Kœnig-Huygens, propriétés de la variance, V(aX + b), écart-type, v.a. centrée
réduite associée, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
– Couples de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales, loi conditionnelle de Y sachant
X = x, extension aux n-uplets de v.a.
– Indépendance de variables aléatoires : définition d’un couple de v.a. indépendantes, v.a. indépendantes (on
peut aussi dire « mutuellement indépendantes »), v.a. indépendantes deux à deux, si X et Y sont indépendantes
f (X) et g(Y ) le sont aussi, lemme des coalitions.
– Lois finis usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale : « Situation type », définition, espérance
et variance
Si X1 , . . . , Xn sont mutuellement indépendantes de même loi B(p) alors X1 + . . . + Xn ֒→ B(n, p).
La loi hypergéométrique est hors programme.
– Covariance : définition, formule de Kœnig-Huygens sur la covariance, l’application (X, Y ) 7→ Cov(X, Y ) est
bilinéaire, symétrique, positive.
Variance d’une somme de 2 v.a., variance d’une somme de n v.a.,
Si X, Y sont indépendantes, alors E(XY ) = E(X)E(Y ), Cov(X, Y ) = 0 et V(X + Y ) = V(X) + V(Y ).
Variables non corrélées, lien avec l’indépendance.
Variance d’une somme de n v.a. deux à deux indépendantes.
Retour sur le calcul de la variance d’une v.a. X suivant une loi binomiale.
Questions de cours
– Énoncé et démonstration des deux formules de Bayes.
– Énoncés et démonstrations de l’inégalité de Markov et de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
– Donner, sans démonstration, pour les trois lois finies usuelles (uniforme, Bernoulli et binomiale) : la « situation
type », la définition, l’espérance et la variance.
– Démonstration directe de l’espérance et de la variance d’une v.a. X suivant une loi binomiale B(n, p).
– Démonstration de l’espérance et de la variance d’une v.a. X suivant une loi binomiale B(n, p) à l’aide d’une somme
de n v.a. de Bernoulli B(p) indépendantes.
Semaine 8 : idem