P(X = −1) - unBlog.fr

Exercices pour le 23 avril
Exercice 1
Soit X dont la loi est donnée par P(X =0)=1/6, P(X =1)=P(X = −1)=1/4 et P(X =2)=P(X = −2) = 1/6.
Soit Y = X2.
1. Donner la loi du couple (X , Y ). En déduire la loi de Y.
Y
X
-2
-1
0
1
2
Loi de Y
0
0
0
1/6
0
0
1/6
1
0
1/4
0
1/4
0
1/2
4
1/6
0
0
0
1/6
1/3
1/6
1/4
1/6
1/4
1/6
Loi de X
2. X et Y sont-elles indépendantes?
P( X=0∩Y=1)=0 , P(X=0)=
1
1
, P( Y=1)=
6
2
P( X=0∩Y=1)≠P(X=0)×P(Y=1) X et Y ne sont pas indépendantes.
Donc
Exercice 2
On considère l’expérience suivante : on lance une pièce parfaitement équilibrée et on note X1 le résultat
(X1 =0 si on obtient pile et X1 =1 si on obtient face). Si X1 = 0 on lance une pièce truquée dont la
probabilité d’obtenir face est double de celle d’obtenir pile, sinon on relance la pièce honnête. On note X2 le
résultat du second lancer (X2 =0 si on obtient pile et X2 =1 si on obtient face).
On note X = X2 et Y = X1 + X2.
1. Donner la loi conjointe de (X,Y).
X
0
1
Loi de Y
Y
0
1/6
0
1/6
1
2/6
1/4
7/12
2
0
1/4
1/4
Loi de X 1/2
1/2
2. En déduire les lois marginales de X et Y . Sontelles indépendantes ?
P( X=0∩Y=2)=0 et P( X=0)×P(Y=2)≠0 X et Y ne sont pas indépendantes.
3. Calculer la loi de Y conditionnée à X ( C'est à dire P(X=k) (Y=i) )
P(X=0) (Y=0)=P(X1=0)=
P(X=1) (Y=0)=0
1
2
P(X =0) ( Y=1)=P(X1=1)=
P( X=1)( Y=1)=P(X1=0)=
1
2
1
2
P(X=0)(Y=2)=0
P( X=1)( Y=2)=P( X1=1)=
1
2
4. Calculer la loi de la va XY
XY(Ω) = {0;1;2}
P(XY=0) = P(X=0) + P(Y=0) –
P( X=0∩Y=0) =
1 1 1 1
+ − =
2 6 6 2
1
4
P(XY=1) =
P( X=1∩Y=1)=
P(XY= 2) =
P( X=1∩Y=2)=
1
4
5. Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y)
E(X) =
1
1
1
×0+ ×1=
2
2
2
E(Y) =
1
7
1
13
×0+ ×1+ ×2=
6
12
4
12
1
E( X2 )= ×02 +0×12 =0
2
1
7
1
19
2
2
2
2
E (Y )= ×0 + ×1 + ×2 =
6
12
4
12
Exercice 3
Une urne contient a boules blanches et b boules noires (a + b ≥ 3). On tire successivement 3 boules sans
remise. Soient X , Y , et Z les v.a.r. respectivement égales à 1 si la première, la deuxième et la troisième
boule tirée est blanche, et à 0 sinon.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (Y,Z).
( Y=0∩Z=0)=( X=0∩Y=0∩Z=0)∪(X=1∩Y=0∩Z=0)
P( Y=0∩Z=0)=
b( b−1)
b
b−1
b−2
a
b
b−1
×
×
+
×
×
=
a+b a +b−1 a+b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a+b)(a+b−1)
P( Y=1∩Z=0)=
b
a
b−1
a
a−1
b
ab
×
×
+
×
×
=
a+b a+b−1 a+b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a+b)(a+b−1)
P( Y=0∩Z=1)=
b
b−1
a
a
b
a−1
ab
×
×
+
×
×
=
a+b a+b−1 a+b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a+b)(a+b−1)
P( Y=1∩Z=1)=
a (a −1)
a
a−1
a−2
b
a
a−1
×
×
+
×
×
=
a +b a+b−1 a +b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a +b)(a +b−1)
2. En déduire les lois de Y et de Z.
P( Y=0∩Z=1)+P( Y=0∩Z=0)=
P(Y=0) =
P(Y = 1) =
b
a+b
P( Y=1∩Z=1)+P( Y=1∩Z=0)=
a
a+b
P(Z=0) =
P( Y=0∩Z=0)+P(Y=1∩Z=0)=
b
a+b
P(Z=1) =
P( Y=0∩Z=1)+P (Y=1∩Z=1)=
a
a+b
Exercice 4
Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement et sans remise 2 jetons de ce sac. On
note X le numéro du premier jeton tiré et Y le numéro du deuxième jeton tiré. Déterminer la loi du couple
(X , Y ).
1
∀ (i , j)∈[[1 , n]]×[[1, n ]] ,P( X=i∩Y= j)=P(X =i )( Y= j)×P(X=i)= ×P(X =i )(Y= j)
n
P( X=i∩Y= j)=0
Si i = j,
Sinon,
P(X=i )(Y= j)=
1
1
et P( X=i∩Y= j)=
n−1
n (n−1)
Exercice 5
On lance deux dés parfaitement équilibrés. Soit T la somme des points obtenus. Soit X le reste de la division
de T par 2 et Y le reste de la division de T par 5.
1. Donner la loi conjointe de (X,Y)
X
0
1
Loi de Y
0
3/36
4/36
7/36
1
5/36
2/36
7/36
2
2/36
6/36
8/36
3
5/36
2/36
7/36
4
3/36
4/36
7/36
Y
Loi de X 18/36 18/36
2. Les va X et Y sont-elles indépendantes ?
3
18
7
P (X=0)=
P(Y=0)=
36
36
36
P(X=0∩Y=0)≠P( X=0)×P(Y=0)
P( X=0∩Y=0)=
Donc X et Y ne sont pas indépendantes.