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Mercredi de la physique, 7 Février 2007
Tourbillons
Tornades
Cyclones
Structures tourbillonnaires (ou vortex) dans l’atmosphère
Taille
1 mm
10 mètres
50 mètres
1 Km
1000 Km
Vitesse air 10 Km/h
>500 Km/h
200 Km/h
Durée de vie 10 sec
5 min
1 semaine
Traceurs passifs
Traceurs actifs
Contact mail : [email protected]
Exemples de mesures physiques difficiles:
1- Taille moyenne des « auditeurs » de cette conférence
2- Taille moyenne des particules dans un nuage
Dans ces cas, il faut toujours regarder la densité de probabilité
(car ce sont des exemples de mesures mal définies)
-Que veut t’on mesurer et que mesure t’on vraiment ?
-Les évènements rares sont t’ils importants ou erronés ?
Valeur moyenne
Nombre de cas / Nombre total
Histogramme
Évènements
rares
Évènements
rares
Densité de probabilité
1 bébé
2 souris
femmes
hommes
1 géant
Spectre dimensionnel des aérosols et des hydrométéores
Résultats d’un modèle dans un Cumulonimbus
Cette figure peut être interprétée comme une densité de probabilité
10000
particules
d'aérosol
gouttes
de nuage
100
dN/dlnr (cm-3)
1
Transition
Aérosol Eau
0.01
gouttes
de pluie
cristaux
nuageux
0.0001
cristaux
précipitants
(grêlons)
1E-006
Transition
Eau Glace
1E-008
1E-010
1E-012
0.001
0.01
0.1
1
10
Diamètre (µm)
100
1000
10000
Mesures mal définies, malgré de nombreuses techniques de mesures
Événement normal, rare ou extrême ? Plusieurs sens (difficile à mesurer, important dans les bilans)
Tourbillons
Tornades
Cyclones
Structures tourbillonnaires (ou vortex) dans l’atmosphère
Taille
1 mm
10 mètres
50 mètres
1 Km
1000 Km
Vitesse air 10 Km/h
>500 Km/h
200 Km/h
Durée de vie 10 sec
5 min
1 semaine
Traceurs passifs
Traceurs actifs
Contact mail : [email protected]
Tornade dans un verre d ’eau, simulateur de tornade de L’OPGC
-Mise en rotation vertical de l’air
-Traceur: ici des gouttelettes d’eau (comme dans les tornades)
Tourbillon sur une surface chaude (convection sèche, sans nuage)
L’énergie disponible n’est pas suffisante pour créer de vrais tornades
Convection humide: Cumulonimbus, systèmes orageux
Très grande énergie disponible à méso-échelle (100 Km) =>tornades
Cumulonimbus
Tuba
Tourbillon au sol
Tornades multiples presque alignées
Vrai ou faux ?
Vrai dans ce cas, mais sur le WEB il faut recouper l’information, la vérifier !
Pourquoi des vents si violents ?
Conservation du moment cinétique
(exemple du patineur)
Auto organisation
Collaboration entre petits tourbillons pour fabriquer un gros tourbillon
1-Mésocyclone
Formation d’une tornade
2-Apparition du tuba
3-connection au sol du tuba
4-Apparition du buisson
Disparition d’une tornade par cisaillement du vent horizontal
Tuba lisse
Tuba turbulent
Intensité « raisonnable » (de F1 à F3)
De bénin (F0) à dévastateur (F5)
La tornade est un phénomène heureusement très rare mais très simple !
(le vortex est un cas d’école de la physique des fluides, du typhon à l’évier)
Les tornades naissent dans les conditions les moins simples !
(les cumulonimbus sont les nuages les plus turbulents de l’atmosphère)
Comment, à partir d’une situation aussi désorganisée qu’un orage,
peut naître rarement une situation aussi organisée qu’une tornade ?
C’est un des problèmes non résolus de la physique !
(les simulations informatiques sont pour l’instant et pour longtemps insuffisantes,
il faut également des idées théoriques nouvelles sur la turbulence )
Faute de théories, les chercheurs utilisent des « mot-clé »
(auto-organisation, cascade inverse, viscosité négative, structures cohérentes)
résumant leur intuitions sur les pistes à suivre pour comprendre
Faute de résultats, ils discute ensemble en fabriquant un «pré-langage»
(cela peut finir par marcher, et fabriquer de nouvelles théories utiles)
La plupart des séries de mesures effectuées en laboratoire (par exemple la mesure de la
résistivité électrique d’une sonde de température) sont fluctuantes mais de façon « normale ».
La densité de probabilité de ces mesures décroît asymptotiquement comme une loi de Gauss
(la loi des grands nombres, ou loi « normale », ou « courbe en cloche »).
Cette propriété rend les événements rares si improbables qu’ils n’arrivent jamais dans les
conditions de laboratoire, permettant ainsi une estimation sure de la valeur moyenne, de la
variance et de toute les propriétés statistiques de ces mesures.
Moyenne
Nombre de cas / Nombre total
Histogramme
Densité de probabilité
Écart_type, variance
Valeur de la mesure
Beaucoup de séries de mesures géophysiques sont au contraire
caractérisées par l’occurrence de rares événements très éloignés de la
valeur moyenne mais important dans le calcul de cette valeur
moyenne. La densité de probabilité de ces mesures décroît toujours
plus lentement que la loi de Gauss, et un grand nombre de modèles
analytiques de la queue de ces distributions sont utilisés ( loi
exponentiel, loi log-normale, loi Levy-stable, etc..).
certaines séries de mesures géophysiques sont caractérisées
par l’occurrence d’événement extrême(s) qui domine le calcul de cette
valeur moyenne. Dans ce cas, plus de probabilité, seulement des étude de cas (étude de
l’enchevêtrement des causes)
Modèle simpliste de la pluie au sol
1
Extreme
RARE
NORMAL
1+2 > somme des autres
2
*10
*10
Exemples de mesures physiques dominées par les événements
Normaux
Rares
Extrêmes
tendance
CO2
cycles
Température
turbulence
Pluie au sol
La mesure du CO2 ressemble à une mesure en laboratoire, malgré
les cycles annuels, journaliers et hebdomadaires(purement anthropiques!)
La mesure de la température est plus « turbulente »,
car le laboratoire est trop grand, il est difficile de voir une tendance
Le CO2 augmente, mais que ce passe t’il pour la température et les pluies ?
Apprendre à lire (ou a fabriquer) une figure:
1- que mesure l’abscisse (x) et l’ordonnée (y) ?
2- pourquoi choisir cette fenêtre de tracé (min et max) ?
3- pourquoi une échelle linéaire ou logarithmique ?
4- combien de points sont tracés, comment sont t’il moyennés ?
5- …
(N)- lire attentivement la légende de la figure
(N+1)- lire attentivement l’article
La figure seule suggère souvent le résultat que l’on veut présenter,
même si c’est un résumé d’observations parfaitement objectives.
Une figure doit être remise dans son contexte
1- agrandir l’échelle de temps, que c’est t’il passé avant ?
5 ans
45000 ans
50 ans
300 ans
150000 ans
450000 ans
Tendance linéaire
+ cycle annuel
5 ans
Tendance non linéaire
50 ans
300 ans
Å---- Explosion anthropique ?
Catastrophe ? ->
45000 ans
<- Explosion
biologique ?
Å-----Rattrapage
150000 ans
450000 ans
Une figure doit être remise dans son contexte
2- diminuer l’échelle de temps, que se passe t’il précisément ?
Cycle annuel du CO2
Maxima en hiver
effets biologiques et
anthropiques
Cycle journalier
Idem
Cycle hebdomadaire ?
Uniquement anthropique !
(parenthèses d’épistémologie)
1-Faire de la physique c’est fabriquer des modèles ou « lois physiques »)
et vérifier par des mesures que ces lois sont exactes.
(la causalité de Platon, l’idéalisme)
2- Inventer une technique de mesure créant un « territoire »
de nouveaux modèles (exemple du thermomètre créant la thermodynamique.)
(la causalité d’Aristote, le matérialisme)
3- Apprendre à fabriquer et à lire les figures des articles
scientifiques, rôle du langage et des conflits de « paradigmes ».
(Conte, Durkheim, Bergson, Kuhn, Lakatos, Popper, Deleuze)
Incertitudes des mesures physiques
Trois causes à soigneusement séparer:
1- L’appareil de mesure est imprécis
2- Le protocole de mesure est mal défini
3- Le système physique observé est « instable »
1- Causes multiples (bruit thermodynamique, dérives lentes, bruits en 1/F)
Dans ce cas, les recherches techniques réduisent depuis toujours l’incertitude
2- Causes informelles (non quantifiables) d’ordre linguistique (que mesure t’on ?)
Dans ce cas, seul la discussion autour du protocole de mesure est efficace
3- Causes multiples (turbulence, chaos déterministe, MQ) => recherches théoriques
1- Exemples: mesure d’une résistance électrique, bruit gaussien, événement rare impossible à observer en laboratoire (sauf si ?)
mesure sur un système à deux corps (Terre, Lune)
mesure de la taille des humains, événements « normaux » (il n’existe pas d’êtres humains plus grand que 4 mètres)
2- Exemples: mesure de la vitesse de la lumière dans « l’éther » (expérience de Michelson), changement de paradigme (Khun)
mesure du « pouvoir glaciogène » ou de la « concentration d’IN » dans l’atmosphère, changement de vocabulaire
mesure de la stabilité du système solaire (Poincaré, Laskar, Crétacé/Tertiaire), événement « extrême »
mesure de la « fiabilité » des prévisions météorologiques et climatiques
3- Exemples: miroir de Cauchy, mesure sans valeur moyenne
mesure sur un systèmes à trois corps (Soleil, Terre, Lune)
mesures de l’intensité des pluies et de la longueur des sécheresses, événements « rares »
Idée de mesure parfaite
Mesure de laboratoire
Mesures de plus en plus «turbulentes»
Bruit blanc (thermique, Gaussien)
Bruit en 1/F (« flicker noise »)
Système « instable », tendance
Turbulence homogène
Système non stationnaire
Turbulence intermittente
Système non ergodique
Chaos déterministe « dur »
Mesure sur un système turbulent
Innovation théorique
Mesures de moins en moins définies
Mesure non exactement reproductible
(biologie, géophysique)
Mesure sur de grandes populations mal définies
(mesures des flux globaux d’eau, de CO2…)
(mesures de couverture de végétation, de biomasse,…)
Mesure sur une variable « physico-économique »
(mesure de taux de pollution ou de « qualité de l’air »)
(mesure de « stock disponible », (poisson, pétrole,…))
Mesure sur une variable « physico-sociologique »
(mesure d’audience, mesure de « qualité » d’un travail)
Mesure mal définie
Innovation expérimentale
« Idée » de mesure (non encore quantifiable, mais « discutable »)
Partie du monde observable mais non mesurable
Exemple de processus physique où les événements rares sont dominants
Miroir de Cauchy
Un miroir tournant de façon aléatoire uniforme (facile à réaliser)
Une source de lumière à l’origine
Densité de probabilité de la distance à l’origine du reflet ?
(pas facile à mesurer, comportement paradoxal de la moyenne)
On va présenter une expérience dans plusieurs types de représentations
Exemple de processus physique ou les événements rares sont dominants
Le miroir de Cauchy ( loi de Cauchy)
Extrême
Rares
Normaux
Exemple de variable non Gaussienne respectant la loi des grands
nombres (généralisée)
Dans ce cas (pathologique) faire 1 mesure ou faire N>>1 mesures
n’améliore pas l’estimation de la moyenne !
(mais N>>1 permet d’estimer la densité de probabilité, et donc de
détecter une loi proche de la loi de Cauchy)
Détection des événements rares : importance de la représentation
Échelles de l’ordonnée linéaire
Max=0.96
ou
logarithmique ?
Exp(-x*x/a)
Loi de Cauchy
F(x)?
Gaussienne
Ev. rares
Densité de probabilité d’une variable de Cauchy (expérience du miroir) et d’une variable gaussienne de même variance.
Un million de points sont mesurés, la variable gaussienne est un FBM de même spectre de Fourier (=> même variance)
Dans une représentation linéaire de la densité de probabilité, les événements rares de la loi de Cauchy sont indétectables
Dans la représentation logarithmique, les événements rares de la loi de Cauchy deviennent observables
L’absence d’évènements rares (4 ou 5 fois plus grand que l’écart type) pour la VA Gaussienne est également observable
Détection des événements rares : importance de la représentation
Échelles de l’abscisse linéaire ou
logarithmique ?
Mauvaise estimation
de la Densité de prob.
Y=X
-2
Ù log(Y)= -2*Log(x)+b
Densités de probabilité d’une variable aléatoire de Cauchy (expérience du miroir) et d’un modèle gaussien
Un million de points sont mesurés (positions du miroir indépendantes)
Estimation de la densité de probabilité de cette variable (trait continu) et de la moyenne de ces échantillons
(*) = moyenne sur 10 échantillons, (+) = moyenne sur 100 échantillons => estimation de plus en plus « pauvre » de l’histogramme
Pour le miroir de Cauchy, l’outil mathématique « valeur moyenne et suite des moments » n’est pas efficace.
Seul l’outil « histogramme » (estimation de la PDF ou de son intégrale) est utilisable.
Pour ce type de mesures (fréquentes en géophysique) il est important d’augmenter la taille de l’échantillon
et de limiter au « juste nécessaire » l’usage de la valeur moyenne de plusieurs mesures
Détection des événements rares : importance de la représentation
Densité de probabilité
ou
Fonction de répartition ?
=x-2
Prob( X=x +/- dx) = DP
=x-1
Prox (X>x) = 1-FR
Fonction de répartition = intégrale de la densité de probabilité Ù « lissage » de l’information
Lois Levy-stables => comportement hyperbolique de la distribution des événements rares
Exposant caractéristique A Ù pour X>>1 , Prob(X>x)=B*x-A , DP=C*x-A-1
Paradoxes des lois Levy-stables (par exemple la loi de Cauchy)
Variance
[Moyenne]*1000
Valeur maximale
« catastrophique »
Quatre réalisations
1 point
10000 points
100 millions de points
Plus nombreuses sont les observations, plus grandes sont les catastrophes
(ce n’est pas le cas dans un monde « gaussien »)
Pour une loi de Cauchy, la taille de la catastrophe croit linéairement avec le nombre de points mesurés
Exemple de processus physique plus « sauvage » que le miroir de Cauchy
Jeu de Pile ou Face (fonction Brownienne), distance entre les passages à zéro
Lj
Li
-1.5
Lk
1,2,3.. événements
(Statistique faible)
Modèle simpliste
du relief terrestre
Densité de probabilité Levy-stable d’exposant 0.5 ( 1 pour Cauchy, 2 pour Gauss)
La probabilité des événements «rares» (très longues excursions vers le haut ou le bas) devient « fréquente »
(i.e. presque toute suite de mesures est dominée par un seul événement beaucoup plus important)
que la somme de tous les autres) C.F. Feller,1966, T2 , P. Levy « processus stochastiques », 1910
Difficulté de cette mesure :
nécessite une moyenne d’ensemble (1024 cas) sur de longues mesures (1 million de points) + conditions d’arrêt
Loi de Cauchy = modèle générique pour les événements rares ? (NON)
1- Chaque tirage est indépendant, pas de corrélation entre mesures, « bruit blanc »
2- « Modèle physique » trop simpliste, incapable de modéliser un phénomène auto-organisé ou turbulent
3- Mais exemple important de la généralisation de la loi des grands nombres
Pour l’enseignement: exemple à présenter et discuter, au même titre que le système à trois corps ou l’ensemble de Cantor)
Modèle « physique » ?
Mesures de pluie au sol
Transition
événements rares => événement extrême
Rares = on peut estimer une densité de probabilité
Extrême = on ne peut estimer que les valeurs maximales de quelques cas
Les prévisions deviennent impossibles, mais les analyses de cas permettent de:
1- mieux quantifier les « indices de risques » dans une situation donnée
2- mieux comprendre les mécanismes physiques impliqués dans ces cas extrêmes
Transition entre la causalité et la contingence (suite de coïncidences)
Chaîne causale 1
Chaîne causale 2
Chaîne causale N
« Enchevêtrement de causes »
Événement extrême, catastrophe
Exemple 1 : Catastrophe aérienne
Petit ennui mécanique + petite erreur d’estimation du contrôle aérien + petite erreur d’estimation du pilote
+ petites erreurs de communication entre équipage et contrôle au sol => énorme erreur
Exemple 2 : Tempêtes de 1999
Jet stream en altitude + instabilité dans les basses couches sur l’Atlantique => deux tempêtes
Exemple 3 : Physique des pluies extrêmes
Instabilité (10 km) + alimentation (100 km) + re-circulation (1 km) => pluie extrême
Pluies au sol , deux sortes d’événements rares (de physiques très différentes)
1- Intensités des fortes pluies (« microphysique » (1mm-10km), croissance des précipitations )
2- Durées des longues sécheresses (météorologie à grande échelle (100km, globe), climatologie)
Un jour
Un mois
Un an
Douze ans
Mesures de routine (pluviomètre à basculement par quanta de 10 mm/heure => effets de digitalisation)
Modèles physiques pour les événements rares ?
1- « Surrogate data », simulation mimétique respectant le plus grand nombres de propriétés statistiques
(travail en cours mais encore imparfait, respect de DP mesure, DP spatiale, Fourier, DP des incréments)
(AUCUN pouvoir explicatif, mais test pour les modèles prédictifs et quantification des risques)
2- Modèles stochastiques (probabilistes), pouvoirs explicatifs seulement théoriques mais multiples
3- Modèles physiques (modèles de prévisions météorologiques et/ou climatiques).
(Hélas, très peu de pouvoir prédictif (ni même mimétique !) pour l’instant )
Explication qualitative d’une pluie locale extrême et/ou grêle au sol
Forte vitesse de croissance et/ou température chaude
Faible vitesse de croissance et/ou température froide
Conditions requises à plusieurs échelles spatiales et temporelles:
1- Instabilité thermodynamique de l’atmosphère locale (10 km)
Conditions pour la formation de gros nuages convectif (Cumulonimbus, front froid convectif, mousson, cyclone)
2- Condition de vent à méso-échelle (10 km, 1000 km)
Permettant une alimentation continue en vapeur d’eau, plusieurs cellules convectives peuvent se succéder
3- Re-circulation des précipitations à petite échelle ( 100 mètres-10 km)
Permettant la multiplication des durées de croissance et la création de régions sur-adiabatiques
Exemple de mesures rares : Intensité des pluies
-2
PR(i>I)=A*I
Levy=2
16 heures
4 1 heure
16
4
1 minute
Fonctions de répartition du flux de
pluie (mm/heure) mesuré à différentes
échelles.
De gauche à droite: 16heures, 4 heures, 1
heure, 16 minutes, 4 minutes, 1 minute.
Toutes ces fonction de répartition sont à
décroissance lente, la probabilité des
événements rare est beaucoup plus
fréquente que dans le cas gaussien.
-Pour les moyennes de 16 et 4 heures la
décroissance n’est pas gaussienne mais
décroît plus vite qu’une loi puissance.
-Pour les moyennes entre une heure et une
minute la décroissance est proche d’une
loi puissance de pente –2 (tiretés).
La mesure de ce type de fonctions de
répartition (proche d’une loi Levy-stable)
est difficile, et reste limitée par les effets
de quantification (le pluviomètre ne
mesure que des basculements de 10
mm/h) ainsi que par les effets de sous
échantillonnage. Durant 12 ans, seulement
une centaine d’évènements
dépassent un flux de 50 mm/H en une
minute, cela explique la chute rapide de
l’ensemble de ces fonctions de répartition
pour les précipitation les plus fortes.
Exemple de mesures rares : Durées des sécheresses
PR(i>I)=A*I
-1/3
Levy=1/3
Sécheresse
Pluie (Levy=2 ?)
<- 20 minutes
1 jour ->
I= durées entre deux pluies = durées des sécheresses
Fonctions de répartition de la durée des évènements
pluvieux (étoiles) et secs (ligne continue)
La sélection des cas pluvieux utilise le sensibilité
maximal du pluviomètre à auget (un basculement)
La durée d’un épisode pluvieux est mesurée entre deux
valeurs nulles (pas de basculement) durant
un pas de temps de la base de donnée (une minute dans
notre cas).
1-La durée des épisodes pluvieux décroît vite entre une
et une vingtaine de minutes, échelle de temps
compatible avec la durée de vie d’une cellule
convective.
2-La distribution de la durée des épisodes secs décroît
lentement, et possède une gamme d’invariance
d’échelle entre une vingtaine de minutes et une journée,
pour laquelle la décroissance est proche de celle d’une
loi Levy-stable d’exposant 1/3 (en tiretés).
La mesure de Loi levy-stable est courante en
géophysique, par exemple pour la mesure du débit des
grands fleuves, mais reste difficile du fait de
l’importance des événements rares dans ce
type de distribution. Dans notre cas la limite de validité
de la décroissance en loi puissance (de
l’ordre de la journée) est probablement dû à un sous
échantillonnage statistique.
Un modèle théorique de la pluie au sol implique (au moins) trois contraintes:
1- Posséder une DP Levy-stable avec un exposant proche de 1/3 (justification physique, grande échelle ?) pour la durées des sécheresses
2- Posséder une DP Levy-stable avec un exposant proche de 2 (justification physique, échelle convective ?) pour la durées des pluies
3- posséder une DP Levy-stable avec un exposant proche de 2 (justification physique, petite échelle ?) pour l’intensité des pluies
4- posséder un spectre d’énergie de Fourier proche d’un bruit en 1/F (justification physique ?, à toutes échelles)
Modélisation des évènements rares et objets fractals
Dans un objet fractal il y a toujours une quantité mesurée qui est
« rare » (i.e. les évènements rares domine cette mesure)
<=> il existe une mesure possédant une DP quasi Levy-stable
<=> Le système possède une propriété d’invariance d’échelle
Exemple : Ensemble de Cantor (fractal géométrique, «monofractal »)
Exemples géophysique associés:
Durées des sécheresses , distribution spatiale des gouttes dans un nuage convectif
Exemple : Cascade multiplicative (fractal de mesure, « multifractal »)
Exemples géophysique associés:
Mesure du taux de pluie, débits des rivières, turbulence
Conclusions
« importance de la représentation des mesures », mais aussi:
Retour à l’épistémologie, « que peut une figure ? » (Spinoza)
1- Importance de l’utilisation du plus grand nombre de types
de représentations (type d’échelles et types d’algorithmes)
2- Types de représentation => apriori théoriques (modèle sous-jacent)
« en général une représentation suggère une interprétation »
Interprétation=Modèle utilisé pour expliquer les mesures : Efficace si conscient, dangereux si inconscient)
3- Le texte autour de ces représentations explicite (ou non) ces apriori
« en science, le conflit linguistique est source de progrès »
Il faut discuter longtemps sur le sens des mots utilisés (sémantique) et sur leurs articulations (syntaxe)
4- Inter- , Pluri- , Multi- , Trans- disciplinarité ? Quel mot choisir ?
Quel « modèle » d’interaction entre les chercheurs est sous-jacent ?
Conclusions 2
Intérêt de l’archivage de longues séries de mesures
(avec le plus petit pas de temps raisonnable possible)
Intérêt du suivie scientifique de ces mesures (détection de « défauts »)
Cela est inutile dans un monde « gaussien »,
mais très utile dans un monde turbulent
Pour la base de données du Puy de Dôme (et sites associés):
15 minutes puis 5 minutes (en projet, une minute pour certaines mesures)