Espace de Sobolev H1(I)
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Espace de Sobolev H1(I)
Espace de Sobolev H 1 (I) Arnaud Girand 19 juin 2012 Référence : – [Bre05], p. 121–123 et 129 Prérequis : – théorème d’Ascoli. Soit I = (a, b) un intervalle ouvert borné de R. On considère l’espace de Sobolev H 1 (I) défini comme suit : 1 2 H (I) := u ∈ L (I) ∃g ∈ L2 (I), ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), Z I ′ uϕ = − Z gϕ I La fonction g ∈ L2 (I) est alors unique : on la note u′ . On munit H 1 (I) de la topologie associée au produit scalaire suivant : h., .i : H 1 (I) × H 1 (I) → R Z Z (u, v) 7→ uv + u′ v ′ I I La norme induite par h., .i est notée k.kH 1 et vérifie : ∀u ∈ H 1 (I), kuk2H 1 = kuk2L2 + ku′ k2L2 Proposition 1 On a les résultats suivants : (i) H 1 (I) est un espace de Hilbert ; (ii) H 1 (I) s’injecte de façon compacte dans C 0 (I). (iii) H 1 (I) s’injecte de façon continue dans L2 (I) ; Démonstration : (i) Il est clair que (H 1 (I), h., .i est préhilbertien. Soit (un )n une suite de Cauchy dans H 1 (I). Alors, si on fixe ε > 0 il existe N ≥ 0 tel que : kun+p − un k2H 1 ≤ ε ∀n ≥ N, ∀p ≥ 0, I.e : ∀n ≥ N, ∀p ≥ 0, kun+p − un k2L2 + ku′n+p − u′n k2L2 ≤ ε En particulier, (un )n (resp. (u′n )n ) est de Cauchy dans l’espace complet L2 (I) donc y admet une limite u ∈ L2 (I) (resp. v ∈ L2 (I)). Or : Z Z Z Z ∞ ′ ′ ′ ′ ∀ϕ ∈ Cc (I), un ϕ − u ϕ = un ϕ − uϕ I I I ZI ≤ |un − u||ϕ′ | I ≤ kun − ukL2 kϕ′ kL2 par Cauchy–Schwarz −−−−→ 0 n→∞ 1 R R Donc ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), I u′n ϕ −−−−→ I u′ ϕ (i.e u′n ⇀ u′ au sens des distributions). Cependant n→∞ on montre de même que : Z Z ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), u′n ϕ − vϕ ≤ ku′n − vkL2 kϕ′ kL2 −−−−→ 0 n→∞ I I De fait par unicité de la limite : Z Cc∞ (I), ∀ϕ ∈ I (u′ − v)ϕ = 0 Ce qui implique, par théorème de représentation de Riesz, que u′ = v p.p donc dans L2 . In fine : kun − uk2H 1 = kun − uk2L2 + ku′n − u′ k2L2 −−−−→ 0 n→∞ D’où le résultat. (ii) – Commençons par démontrer que tout u ∈ H 1 (I) admet un représentant continu. Soit y0 ∈ I. On définit ũ ∈ C(I) comme suit : Z x u′ (t)dt ũ : x 7→ y0 ũ est bien continue car u′ ∈ L2 (I) ⊂ L1loc (I) (car I est borné). De plus : Z Z x Z u′ (t)dtϕ′ (x)dx ũϕ′ = ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), I I = Z a y0 y0 Z x u′ (t)dtϕ′ (x)dx + y0 =− Z y0 =− y0 =− Z =− Z a x Z ′ ′ u (t)dtϕ (x)dx + y0 u′ (t)dt Z t ϕ′ (x)dx + a a a b y0 y0 Z Z ′ u (t)(ϕ(t) − 0)dt + Z Z Z u(t)dtϕ′ (x)dx y0 bZ x y0 Z b y0 b y0 x u′ (t)dtϕ′ (x)dx y0 u′ (t)dt Z b ϕ′ (x)dx par Fubini t u′ (t)(0 − ϕ(t))dt u′ ϕ I De fait ũ′ = u′ et donc d’après le lemme 1, il existe C ∈ R tel que u = ũ + C presque partout donc dans H 1 (I). ū := ũ + C est bien un représentant continu de u. – Notons B la boule unité fermée de H 1 (I). Alors, pour u ∈ B on a : Z x 2 ′ ∀x 6= y ∈ I, |u(x) − u(y)| = |ū(x) − ū(y)| = u (t)dt y p ≤ |x − y|ku′ kL2 par Cauchy–Schwarz p ≤ |x − y|ku′ kH 1 p ≤ |x − y| 2 Donc B est équicontinue dans C 0 (I). De plus (variation par rapport au Brézis) : 1 Z b u(x)dy ∀x ∈ I, |u(x)| = b − a a Z 1 Z b x ′ = u (t)dt − u(y) dt b − a a y Z bZ x Z 1 1 |u| ≤ |u′ (t)|dtdy + b−a a y b−a I Z bZ b Z 1 1 ′ |u| |u (t)|dtdy + ≤ b−a a a b−a I Z b Z 1 = |u′ (t)|dt + |u| b−a I a √ 1 ≤ b − aku′ kL2 + √ kukL2 par Cauchy–Schwarz b−a √ 1 ≤ b−a+ √ kukH 1 b−a Donc B est bornée pour k.k∞ . De fait, par théorème d’Ascoli, B est relativement compacte dans C 0 (I), d’où le résultat. (iii) La topologie L2 étant plus faible que la topologie de la convergence uniforme, (iii) est une conséquence immédiate de (ii). Détails supplémentaires : 2 ∞ – RUtilisation du théorème de représentation de Riesz. R Si f ∈ L est telle que pour tout ϕ ∈ Cc , f ϕ = 0 alors par densité la forme linéaire ϕ 7→ f ϕ est nulle. Le théorème de représentation de Riesz implique alors que f = 0 dans L2 (donc presque partout). R R R uϕ′ = − I gϕ = − I gϕ – Unicité de u′ . Si deuxRfonctions g, h ∈ L2 vérifient que ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), I alors ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), I (g − h)ϕ = 0 et donc g = h presque partout. – Soit u ∈ L1loc (I). Alors pour y0 ∈ I, xI¯ et h tel que x + h ∈ I¯ on a : Z Z x Z x+h Z x+h x+h u = u− u ≤ |u| −−−→ 0 car ∀ε ∈ [0, h], u ∈ L1loc (I) y0 h→0 y0 x x Rx Donc x 7→ y0 u ∈ C 0 (I). – On a fait usage du lemme suivant (cf. [Bre05], p.122–123) : Lemme 1 Soit f ∈ L1loc (I). On suppose que : ∀ϕ ∈ Cc∞ (I), Z f ϕ′ = 0 I Alors il existe C ∈ vR tel que f = C presque partout. En particulier deux éléments de H 1 (I) de même dérivée diffèrent d’une constante. ∞ Démonstration : Soit ψ ∈ Cc∞ (I)R d’intégrale 1 et soit Alors la fonction R w ∈ Cc (I). R R ∞ h := w − ψ I w est dans Cc (I) et I h = I w − 1 × I w = 0 donc 1 h admet une primitive ϕ ∈ Cc∞ (I) et donc : Z Z Z ′ 0 = fϕ = f w − ψ w I 1. Il est clair que h admet une primitive dans compact. I C ∞ (I). La nullité de 3 I R I h nous prouve que celle–ci est à support I.e : Z w−ψ w Z Z I ZI w(x)f (y)ψ(y)dydx par Fubini = fw − ZI IZ I = w f − fψ ∀w ∈ Cc∞ (I), 0 = Z f I Et donc, f = C := R I I f ψ presque partout. Références [Bre05] Haim Brezis. Analyse fonctionelle. Dunod, 2005. 4