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Compléments : Suites de Cauchy. Théorème de Bolzano-Weierstrass
8. Suites et de critère de Cauchy
Le très grand intérêt du critère de Cauchy provient du fait qu’il caractérise dans R les suites
convergentes, sans que la limite apparaisse. D’où son utilisation dans l’étude des séries par
exemple.
Le concept de suite de Cauchy correspond à la propriété que la distance entre deux termes de la
suite devient arbitrairement petite (et non de plus en plus petite) quand ces termes sont de rang
assez grand.
8.1. Suites de Cauchy
Définition. Soit (un) une suite réelle; on dit que (un) est une suite de Cauchy ou vérifie le critère
de Cauchy si :
quel que soit ε>0, il existe un entier N tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent
u p − un < ε .
Soit encore
∀ ε > 0,∃N ∈ N,∀ (p,n) ∈ N 2 (p ≥ N et n ≥ N ⇒ u p − un < ε ) .
On doit insister, dans cette définition, sur le fait que la condition up − un < ε doit être réalisée,
pour tout couple (n,p) où n et p sont supérieurs à N ; en particulier la condition
lim (un+1 − un ) = 0 n’entraîne pas que la suite (un) est une suite de Cauchy, comme on le verra
n→ +∞
dans l’exemple b plus loin.
Une suite qui n’est pas de Cauchy est caractérisée par :
∃ ε > 0,∀N ∈ N,∃( p, n) ∈ N 2 ( p ≥ N,n ≥ N et u p − un ≥ ε ) .
Exemples
a. La suite géométrique (kn), pour 0 < k < 1, est une suite de Cauchy
On a, pour p > n > 0,
ln ε 
k p − k n = k n k p−n − 1 < k n . Donc, en prenant N = 
+ 1 on a :
 ln k 
p > n≥ N ⇒ k − k <ε .
p
n
b. La suite ( ln n )n ≥1 n’est pas une suite de Cauchy
Pour p > n > 0, on a : 0 < ln p − ln n = ln
p
, donc si p =2n on a ln p -ln n =ln2.
n
35
Donc, pour ε = ln2 et pour tout entier N entier positif, il existe des entiers p = 2n et n supérieurs à
N tels que ln p –ln n = ln2.
En revanche ln(n + 1) − ln n = ln
1
n +1

= ln 1 +  → 0 quand n → +∞ , ce qui prouve bien que la
n
n
condition lim (un+1 − un ) = 0 n’entraîne pas que la suite est de Cauchy.
n→ +∞
On conçoit facilement qu’une suite convergente est de Cauchy, c’est une conséquence de
l’inégalité triangulaire : si up −
et un −
sont petits il en est de même pour up − un . En
revanche, si l’on considère la suite U définie au §1.1, il s’agit d’une suite de rationnels qui
converge dans R, donc est de Cauchy, or sa limite
2 n’appartient pas à Q : la convergence
d’une suite de Cauchy est liée à une propriété de R.
8.2. Critère de Cauchy
Théorème. (Critère de Cauchy). Une suite réelle est convergente si, et seulement si, c’est une
suite de Cauchy.
Preuve
Condition nécessaire : Toute suite convergente est de Cauchy
Soit (un ) une suite convergente dont on note la limite. On écrit l’inégalité :
up − un ≤ up −
+
− un .
Pour tout ε > 0, il existe un entier N, tel que les inégalités p ≥N et n ≥N entraînent :
up −
<
ε
2
et un −
<
ε
2
, d’où up − un < ε .
Condition suffisante : Dans R toute suite de Cauchy est convergente
Cette démonstration est basée sur la propriété de la borne supérieure, on utilise en particulier la
propriété immédiate suivante : si A et B sont des parties bornées, non vides de R et si A ⊂ B
alors
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B ,
et on “coince” (un ) entre deux suites adjacentes.
Première étape : une suite de Cauchy est bornée
On notera l’analogie avec la démonstration correspondante pour les suites convergentes.
36
On prend ε = 1, il existe N(1) tel que les inégalités p ≥ N (1)et n ≥ N (1) entraînent up − un < 1 ,
en particulier uN (1) − un < 1 .
{
}
On pose M = max u0 , u1 .....u N(1)-1 , uN(1) + 1 , on a alors:
∀n ∈ N, un ≤ M .
Seconde étape : construction de deux suites
On pose Un = {u p , p ≥ n}, la suite (Un ) est une suite décroissante d’ensembles non vides :
∀n ∈ N, Un +1 ⊂ U n .
Pour tout entier n, Un est borné et non vide; on pose an = inf Un, bn = sup Un.
On a ainsi défini deux suites (an ) et (bn ) qui vérifient,
∀n ∈ N, an ≤ un ≤ bn .
Troisième étape : les suites (an ) et (bn ) sont adjacentes
L’inclusion : ∀n ∈ N, Un +1 ⊂ Un , entraîne, compte tenu de la propriété rappelée précédemment,
∀n ∈ N an ≤ an +1 ≤ bn +1 ≤ bn .
La suite (an ) est donc croissante, la suite (bn ) décroissante et on a :
∀n ∈ N an ≤ bn .
Il reste donc à montrer que lim (bn − an ) = 0 .
n → +∞
On écrit bn − an = bn − un + un − an afin d’appliquer la condition de Cauchy. Elle s’écrit
∀ ε > 0, ∃N ∈ N, ∀( p, n) ∈ N2 ( p ≥ N et n ≥ N ⇒ u p − un < ε ) ,
soit pour p ≥ n ≥ N
un − ε ≤ u p ≤ un + ε ,
d’où l’on déduit
sup up ≤ un + ε et inf u p ≥ un − ε .
p≥n
p≥ n
On a donc :∀n ≥ N, 0 ≤ bn − un ≤ ε et 0 ≤ un − an ≤ ε , d’où
0 ≤ bn − an ≤ 2ε .
37
Les suites (an ) et (bn ) sont des suites adjacentes, elles ont donc une limite commune, la double
inégalité :∀n ∈ N,an ≤ un ≤ bn entraîne alors la convergence de la suite (un ).
Remarque
On traduit ce théorème en disant que R est un corps complet ce qui signifie que toute suite de
Cauchy d’éléments de R est convergente dans R; R est le complété de Q c’est à dire le plus petit
corps complet contenant Q. Signalons aussi que, tandis qu’une méthode de construction de R
vise à donner à tout ensemble majoré une borne supérieure, une autre a pour but de rendre toute
suite de Cauchy convergente. C’est une méthode très générale dite de complétion .
8.3. Exemples
Le critère de Cauchy est utilisé pour montrer qu’une suite (un ) est convergente (resp divergente)
dans les cas où l’on peut obtenir facilement une majoration (resp minoration) de up − un pour n
et p assez grands. C’est le cas en particulier pour certaines séries.
a. Étude de la série harmonique
n
On pose, pour tout n ≥ 1, Sn = ∑
1
1
et on montre que la suite (Sn ) n’est pas de Cauchy c’est à
k
dire que :
∃ ε > 0,∀N ∈ N, ∃( p,n) ∈ N 2 ( p ≥ N,n ≥ N et Sp − Sn ≥ ε ) .
p 1
1
1
(k = n + 1,...., 2n),
Pour p ≥ n, S p − Sn = ∑ . Si p = 2n, compte tenu des inégalités ≥
n +1 k
k 2n
1
on obtient S2n − Sn ≥ .
2
1
Donc pour ε = et pour tout N entier positif il existe des entiers n et 2n supérieurs à N tels que
2
1
S2 n − Sn ≥ .
2
1
La suite (Sn ), dite série ∑ , ou série harmonique en raison de son rôle en acoustique, n’est pas
n ≥1 k
de Cauchy, elle est donc est divergente.
38
On remarque, ici encore, que la différence entre deux termes consécutifs Sn +1 − Sn =
1
tend,
n +1
elle, vers 0, alors que la suite n’est pas de Cauchy.
b. Soit (un ) la suite définie par : un+1 = un +
1
et u0 = 1
2 un
n
On remarque que l’on est là devant une relation qui lie un+1, un et n.
On peut alors exprimer up − un pour p > n, suivant une méthode assez fréquemment utilisée, sous
la forme suivante :
p−1
1
.
k =n 2 uk
p−1
up − un = ∑ (uk +1 − uk ) = ∑
k= n
k
Or, tous les un étant, de façon évidente positifs, on a uk +1 − uk ≥ 0 ; la suite (un ) est donc
croissante et, pour tout entier n ≥ 1, un ≥ 1.
1

1− p-n 
1
1
2 .
D’où, pour p ≥ n : 0 ≤ u p − un ≤ ∑ k = n 
k = n2
2  1− 1 

2 
p−1
Les inégalités, pour p ≥ n, 0 ≤ u p − un ≤ 2− (n −1) , entraînent que (un ) est une suite de Cauchy, elle
est donc convergente.
9. Théorème de Bolzano-Weierstrass
Une suite convergente est bornée, la réciproque est fausse mais le théorème de BolzanoWeirstrass exprime qu’une suite bornée admet une suite extraite convergente.
Le théorème de Bolzano- Weierstrass est un “grand” théorème non seulement parce que son rôle
est fondamental dans l’étude globale des fonctions mais parce que, pour une suite (un ) réelle, la
propriété : (un ) est bornée étant équivalente à la propriété : (un ) prend ses valeurs dans un
intervalle fermé borné de R, le théorème de Bolzano- Weierstrass caractérise une propriété des
intervalles fermés bornés de R la compacité.
Théorème. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
Preuve
Il s’agit d’une démonstration par dichotomie. Soit (un ) une suite réelle bornée et soient a et b
deux réels tels que l’on ait, pour tout entier n : a ≤ un ≤ b : tous les termes de la suite
appartiennent à l’intervalle fermé et borné [a ,b].
39
On pose c =
a+b
et on considère les deux intervalles fermés bornés [a ,c] et [c , b]. Des deux
2
ensembles {n ∈ N,un ∈ [a,c ]} et {n ∈ N,un ∈ [c, b]} l’un au moins est infini. On désigne par I1
celui des deux intervalles qui contient une infinité de termes de la suite et par ϕ(1) le plus petit
entier tel que uϕ(1) appartienne à I1 (dans le cas où les deux intervalles contiennent une infinité de
termes on en choisit arbitrairement un). La longueur de I1 est égale à
b- a
et l’ensemble
2
{n ∈ N,un ∈ I1} est infini. On pose v1= uϕ(1).
On recommence alors sur I1 ce qui a été fait sur I; en considérant le milieu de I1 on fait
apparaître deux intervalles dont l’un, au moins, contient une infinité de termes de la suite . On
désigne par I2 cet intervalle et par ϕ(2) le plus petit entier strictement supérieur à ϕ(1) tel que
uϕ(2) appartienne à I2 . La longueur de I2 est égale à
On définit par récurrence une suite d’intervalles
b- a
; on pose v2= uϕ(2).
22
(In ) et une suite (vn ) = (uϕ ( n ) )de réels extraite
de la suite (un ) telles que :
- I0 = [a, b] et v0 = u0
- pour tout entier n, on définit d’une part In +1 à partir de In par les conditions :
- In +1 ⊂ In et la longueur de In +1 est la moitié de celle de In
- In +1 contient une infinité de termes de la suite (un )
( )
et d’autre part (vn ) = uϕ ( n ) par les conditions :
- la fonction ϕ est strictement croissante
- uϕ (n +1) ∈ In +1 .
( )
La suite (vn ) = uϕ ( n ) est extraite de la suite (un ). De plus la longueur de In est égale à
b- a
. On
2n
montre que la suite (vn) est de Cauchy.
Soit ε un réel strictement positif et soit N un entier tel que
b- a
< ε . Pour tout entier n ≥ N on a
2N
vn ∈ In ⊂ IN , d’où, pour tout couple d’entiers (p, n) vérifiant p ≥ N et n ≥ N,
vp − vn ≤
b−a
< ε.
2N
40
On a donc construit une suite extraite de la suite (un ) qui est une suite de Cauchy et donc
convergente.
Remarque
Au lieu de faire appel au théorème de Cauchy, on peut aussi, une fois construites la suite
d’intervalles ( In ) et la suite (vn), noter an et bn les bornes de l’intervalle In et considérer les suites
(an) et (bn) :
- la suite (an) est croissante, la suite (bn) est décroissante,
- pour tout entier n, on a an ≤ bn ,
- pour tout entier n, on a bn − an =
b−a
.
2n
Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes, elles sont donc convergentes et ont même limite.
Pour terminer la démonstration, il suffit de remarquer que, pour tout entier n, on a
an ≤ vn ≤ bn
ce qui entraîne que la suite (vn) est convergente et a même limite que les suites (an) et (bn).
Il est à noter que dans les deux cas (théorème de Cauchy ou suites adjacentes) l’hypothèse que la
suite (un ) est une suite bornée de nombres réels est essentielle. On utilise les bornes a et b pour
mettre en place la récurrence et le fait qu’on est dans R assure :
- soit la convergence de la suite de Cauchy (vn)
- soit la convergence des deux suites (an) et (bn) .
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