Consulter un extrait au format PDF

pageint.qxd
25/10/99 10:22
Page 1
INTERROS
de Prépas & Deug
SUP
CSI
P
I
S
MP
Électrocinétique
Cyriaque Cholet
Collection dirigée par :
Éric MAURETTE
Nassim MOKRANE
pageint.qxd
25/10/99 10:22
Page 5
pages
Chapitre 1. Conduction de l'électricité . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Étude microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Charge électrique et densité de courant . . . . . . . . . . . . . 1
Charge élémentaire. Densité de charge. Courant électrique. Densité de courant. Densité de courant et vitesse des porteurs
1.1.3. Mobilité des porteurs de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Temps de libre parcours moyen. Mobilité des porteurs
1.1.4. Forme locale de la loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Loi d’Ohm. Expression de la conductivité
1.2. Loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Tension et résistance élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Tension entre deux points. Résistance élémentaire et loi d’Ohm. Résistance
élémentaire. Conductance. Calcul des résistances
1.2.3. Milieux non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4. Effet Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Effet Joule pour un conducteur ohmique. Énergie dissipée par effet Joule
1.3. Conductimétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. La conductimétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Le Faraday. Concentration. Conductivité molaire
1.4. Outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Différentielles et développement limité . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
26
28
Différentielle de f(x,y)
1.4.4. Intégrales et sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Sommes continues. Valeur moyenne
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chapitre 2. Dipôles et associations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1. Dipôles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Caractéristiques et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Résistances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
61
63
Dipôles dépendants de paramètres physiques. Associations de résistances.
Théorème de Kennely. Théorème de Millman
2.1.4. Générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Rappel sur les lois de Kirchoff et de Pouillet
V
pageint.qxd
25/10/99 10:23
Page 6
pages
2.1.5. Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Les diodes à jonction. Diodes Zener
2.1.6. Condensateurs et bobines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Condensateurs. Associations de condensateurs. Bobines
2.2. Montages classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.1. Diviseur de tension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Variantes
2.2.2. Théorème de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2.3. Théorème de Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.2.4. Pont de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
108
136
141
164
172
Chapitre 3. Régimes transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.1. Résolution générale des équations différentielles . . . . . . . 209
3.1.1. Algorithme général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Équations du premier ordre. Équations du deuxième ordre
3.1.2. Équations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . 211
3.1.3. Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . 215
Équations de la forme d2y/dt2 + αy = f(t). Équations de la forme
a d2y/dt2 + b dy/dt + cy = 0.
3.1.4. Résolution de
. . . . . . . . . . . . . . . . 219
Équation caractéristique
3.2. Applications au circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.2.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Équations différentielles et solutions sans second membre. Comportement
des dipôles
3.2.2. Circuits non-oscillants (RC, RL). . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Circuits RC série. Circuits RC parallèle
3.2.3. Circuits oscillants (LC et RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Circuits LC. Circuits RLC série
3.2.4. Les conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Circuit RC série. Circuit RC parallèle
3.2.5. Réponse à un échelon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI
242
250
276
287
330
340
pageint.qxd
25/10/99 10:23
Page 7
pages
Chapitre 4. Régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
4.1. Impédances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
4.1.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
4.1.2. Impédances élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Notation complexe. Impédances élémentaires. Association de dipôles.
Rappels mathématiques sur les nombres complexes
4.1.3. Diviseur de tension et théorème de Thévenin . . . . . . .
4.1.4. Ponts électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Transfert d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Puissance moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
397
401
401
402
Puissance instantanée. Puissance moyenne
4.2.3. Grandeurs efficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
Plusieurs notations pour la puissance moyenne
4.2.4. Adaptation d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Fonction de transfert. Diagramme de Bode . . . . . . . . . . .
4.3.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Retour sur le régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
406
406
408
414
Recherche des conditions initiales. Équations différentielles
4.3.4. Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
4.3.5. Filtres et bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Filtres. Fréquence de coupure. Bande passante.
4.4. Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Résonance en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Résonance en courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4. Grandeurs caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
429
429
430
434
435
Surtension. Acuité de résonance
Exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des exercices courts . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des exercices longs . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigés des problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
438
450
490
500
540
545
Chapitre 1
Conduction de l’électricité
1.1
1.1.1
Étude microscopique
Formulaire
1. Densité de charge : η =
δq
.
dV
2. Courant électrique : i =
δq
.
dt
−
→
3. Densité de courant : ~, avec δi = ~dS et ~ = η~v.
4. Surfaces élémentaires : anneau circulaire δS = 2πrdr et bande autour d’une
sphère δS = 2πr 2 sin θdθ.
~ et
5. Mobilité ionique : µ, telle que la vitesse ~v des porteurs de charge soit ~v = µE
qτ
µ = , où τ désigne le temps de libre parcours moyen.
m
~ , où σ est la conductivité du conducteur.
6. Loi locale d’Ohm : ~ = σ E
nq 2 τ
, n désignant la densité de porteurs, de charge indivi7. Conductivité : σ =
m
duelle q et de masse m.
8. Résistivité : ρ =
1.1.2
1
.
σ
Charge électrique et densité de courant
Charge élémentaire
Une charge élémentaire q est notée δq tandis qu’une variation de charge s’écrit dq.
1
2
Chapitre 1
E XERCICE Les deux notations sont souvent confondues, mais il importe d’en distinguer la signification physique.
Considérons que δq représente la charge élémenδq
A
B
taire qui circule en un point A d’un fil électrique
pendant la durée dt, tandis que dq est la variation de la charge q contenue dans le système B, tel F IG . 1.1: Conservation de la
qu’un condensateur (figure 1.1). Démontrer que la charge
conservation de la charge implique l’identité de δq
et dq.
R ÉPONSE La conservation de la charge entre A et B permet d’affirmer que toute
la charge passée par A vient s’accumuler en B pendant le temps dt, si bien que
si q(t) désigne la charge en B à la date t, alors q(t + dt) = q(t) + δq. Ainsi,
q(t + dt) − q(t) = δq ⇒ dq = δq.
Densité de charge
Dans un volume dV , il peut se trouver une charge δq. La densité volumique de charges
est alors définie par le rapport :
η=
δq
dV
Toutes les densités sont définies de la même façon en physique. Dès que
l’on rencontre ce terme, il suffit de penser à une fraction au numérateur de laquelle
se trouve la grandeur physique dont ont cherche la densité, et au dénominateur, la
nature de la densité. On trouvera notamment :
– La densité volumique de charge :
charge
volume
– La densité linéique de charge :
charge
longueur
pour des charges réparties sur un fil.
– La densité surfacique de charge :
charge
surface
pour des charges réparties sur une surface.
Conduction de l’électricité
3
Courant électrique
C’est le rapport entre la charge élémentaire δq qui circule en un point et le temps dt
pendant lequel est mesuré ce passage :
i=
δq
dt
Densité de courant
C’est le vecteur ~ qui exprime la proportionnalité
entre le courant élémentaire δi et la surface infinitésimale traversée par ce courant (figure 1.2) :
Surface S
~
δS
−
→
δi = ~dS
~
Le courant total qui traverse la surface S s’obtient
en effectuant la somme de tous les courants infinitésimaux, c’est-à-dire :
Z
i=
ZZ
δi =
F IG . 1.2: Densité de courant
−
→
~ dS
La principale difficulté dans les calculs faisant intervenir cette relation, tient à l’expression des surfaces élémentaires, parmi lesquelles on rencontre
fréquemment :
– l’anneau circulaire (figure 1.3) :
δS = 2πrdr
– la boucle autour d’une sphère (figure 1.4) :
δS = 2πr 2 sin θdθ
– la surface d’un triangle (figure 1.5) :
δS =
Lh L × l sin θ
=
2
2
4
Chapitre 1
r
dθ
r
θ
dr
F IG . 1.3: Anneau circulaire
A
F IG . 1.4: Boucle autour d’une sphère
l
C
L
B
θ h
F IG . 1.5: Surface d’un triangle
L’expression de ces surfaces élémentaires s’obtient aisément en découpant
par l’esprit ces surfaces et en les étendant sur le plan de la feuille (cela demande
parfois un peu d’entraı̂nement mais s’obtient tout aussi bien en découpant des
feuilles de papier ou en épluchant des oranges).
E XEMPLE Afin de trouver rapidement la surface de l’anneau circulaire
(figure 1.3), découpons-le et étendonsle sur le plan de la feuille (figure 1.6).
La bande ainsi obtenue possède une
surface qui se calcule par la relation
dr
,,,,,,,,
,,,,,,,,
2πρ
F IG . 1.6: Bande issue de l’anneau
surface = longueur × hauteur
qui conduit ici (avec r = ρ) à :
δS = 2πrdr
E XERCICE Par un raisonnement analogue, retrouver l’expression de la surface
élémentaire d’une bande autour d’une sphère :
δS = 2πr 2 sin θdθ
Conduction de l’électricité
5
R ÉPONSE Avant d’être étirée, la bande obtenue est circulaire, de rayon ρ = r sin θ,
et d’épaisseur rdθ. De fait, la longueur de la bande obtenue est l = 2πρ = 2πr sin θ et
sa hauteur est h = rdθ.
r
dθ
ρ
θ
F IG . 1.7: Bande autour d’une sphère
La surface s’obtient donc par le produit de ces grandeurs, ce qui donne finalement :
δS = 2πr 2 sin θdθ
Densité de courant et vitesse des porteurs
~ = η~v
Cette relation montre que la densité de courant est d’autant plus forte que la densité
volumique de charges mobiles η est élevée ou que leur vitesse v est grande (pour s’en
convaincre, il suffit simplement de faire l’analogie avec un courant de voitures que
l’on pourrait observer du haut d’un pont. Celui-ci paraı̂tra d’autant plus grand que les
véhicules sont proches les uns des autres (densité) ou que leur vitesse sera élevée).
Dans le cas de solutions aqueuses, les porteurs de charge peuvent ne pas
être identiques ; par exemple, une solution d’acide sulfurique contient des ions H+
et des ions SO2−
4 , qui sont distincts non seulement par leur masse, mais également
par la charge qu’ils portent individuellement. Dans ce cas où les porteurs peuvent
être numérotés par des indices (i), et où le porteur numéro (i) induit une concen→
vi , la relation se généralise :
tration de charges ηi et possède une vitesse −
X
→
ηi −
vi
~ =
i
6
Chapitre 1
E XERCICE Un milieu conducteur possède une densité volumique de charges
mobiles η qui se déplacent avec une vitesse commune ~v , faisant un angle θ avec
−
→
une surface élémentaire δS (figure 1.8).
Calculer la charge δq qui traverse cette
surface pendant une durée dt, puis en
déduire la relation ~ = η~v .
L
v dt
A
θ
v
dS
v dt
B
θ
h
F IG . 1.8: Densité de courant
I NDICATION DE R ÉPONSE La difficulté de ce type d’exercice repose sur l’intuition
physique qui doit précéder les calculs. Le genre de raisonnement établi ici, au demeurant très classique, ne peut pas s’inventer ; il faut l’apprendre comme un résultat de
cours, bien qu’il apparaisse comme une méthode de résolution d’exercice. Voici alors
la démarche qui permet de commencer les calculs.
Pour qu’une charge, animée d’une vitesse v, puisse traverser la surface δS, il est
nécessaire qu’elle se trouve dans le volume grisé de la figure 1.8. Considérons en effet
une charge (notée A sur la figure) extérieure à ce volume. Pendant le temps dt elle parcourt une distance vdt, mais cela ne lui permet pas d’atteindre la surface. En revanche,
la charge B dispose du temps nécessaire pour atteindre et traverser cette surface.
Ainsi posé, le problème devient très simple, puisqu’il s’agit de déterminer la charge
contenue dans le volume de base δS et de longueur L, puisque toute cette charge subira le même sort que B.
R ÉPONSE Le volume précédemment cité s’écrit δV = hδS, c’est-à-dire , en remarquant que h = L cos θ = vdt cos θ :
−
→
δV = vδS cos θdt = ~vδSdt
La densité volumique de charge valant η, cela signifie que si δq désigne la charge
δq
−
→
⇒ δq = ηδV = η~v δSdt. Ceci donne la
contenue dans le volume δV , alors η =
δV
charge traversant la surface élémentaire pendant le temps dt, c’est-à-dire la réponse à
la question posée.
Quant à la densité de courant, elle ne peut être exprimée que lorsqu’on possède une
relation entre δq, dt, et ~. Celle-ci provient évidemment de la définition de cette densité
en fonction du courant δi :

δq 
−
→

η~v δS dt
−
→
−
→
−
→ δq
dt
=
⇒ ~ δS = η ~v δS
⇒ ~ δS =

dt
dt
−
→ 
δi = ~ δS
δi =
Il s’ensuit alors que :
~ = η~v
Conduction de l’électricité
33
•1
Lycée Charlemagne, Paris
Calcul de la résistance d’une bobine
5 min.
Une bobine comporte n = 100 spires de rayon moyen 7 cm, faites d’un fil de cuivre
de 0,5 mm de rayon. La conductivité du cuivre est σ = 6.107 S.m−1 . Calculer la
résistance totale de la bobine.
•2
Lycée Lakanal, Sceaux
Puissance maximum
10 min.
Aux bornes d’un générateur de force électromotrice e et de résistance interne r,
déterminer la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée dans R, sous forme d’effet
Joule, est maximale.
i
R
r
e
F IG . 1.28: Puissance maximale dans une résistance
•3
Lycée Antoine de Saint-Exupéry, Mantes-la-Jolie
Résistance d’un conducteur de section variable
10 min.
Un conducteur de résistivité ρ possède une section carrée dont la hauteur h(x) dépend
linéairement de l’abscisse x (figure 1.29). Notamment, en x = 0, h prend la valeur a
et à l’autre extrémité, h(L) = b.
Un courant i peut circuler selon l’axe de ce conducteur.
1. Déterminer, en fonction de a, b, x et L, la fonction h(x).
2. En déduire la résistance électrique R que ce conducteur oppose au courant i.
On exprimera R en fonction de ρ, L, a et b.
a
i
b
h
x
L
F IG . 1.29: Résistance d’un conducteur
34
Chapitre 1
•4
Lycée Henri IV, Paris
Courant dans une coquille sphérique
15 min.
La figure 1.30 montre une coquille hémisphérique creuse, de rayon R et centrée en un
point O. Un flux de particules, de densité de courant uniforme ~ est envoyé sur cette
coquille, parallèlement à son axe.
1. Exprimer le courant i traversant cette coquille, en fonction de j = k~k et R.
2. Que se passerait-il si l’on remplaçait la coquille précédente par un disque de
rayon R, centré sur O ?
O
j
R
F IG . 1.30: Coquille hémisphérique
•5
Lycée Thiers, Marseille
Conductivité et diffusion d’un électrolyte
1 h.
C ONDUCTION D ’ UN ÉLECTROLYTE HOMOG ÈNE
On considère une solution homogène de sel Mν + Xν − soluble, de concentration C0
(en mole.m−3 ) constante, dans laquelle coexistent principalement les deux types de
porteurs de charge régulièrement répartis (les ions de l’eau H+ et OH− sont négligés) :
+
– Les cations Mz de charge positive z + e.
−
– Les anions Xz de charge négative −z − e.
Ce sel est totalement dissocié en ions libres :
−
Mν + Xν − −→ ν + Mz + ν −Xz .
+
ν + et ν − sont alors les coefficients stœchiométriques de la réaction de dissociation
précédente.
~ = E−
Ces ions sont en mouvement sous l’action d’un champ électrique défini par E
e→
z,
−
→
−
→
−
→
pour
un
cation
(et
f
=
−η
v
pour
un
et une force de freinage f+ = −η+ v+ −
e→
e
z
−
− − z
anion). v+ et v− sont les vitesses algébriques des ions, η+ et η− sont les coefficients
de freinage. L’action de la pesanteur est négligée.
1. Montrer que z + ν + = z − ν −, produit que l’on notera dans la suite νz
2. Écrire l’équation différentielle relative à la vitesse v+ d’un cation.
Conduction de l’électricité
41
•1
Lycée Charlemagne, Paris
Soit r le rayon de chaque spire, dont le périmètre vaut l = 2πr. Cela signifie que chaque
spire possède une longueur l de fil de cuivre. En outre, puisque la bobine comporte
n = 100 spires, alors elle possède aussi une longueur de fil L = n × l. De plus, le
fil utilisé possède un rayon a = 0, 5 mm, c’est-à-dire une section S = πa2 . Ainsi, la
1
résistance R de la bobine s’écrit à l’aide de la résistivité ρ ou de la conductivité σ = :
ρ
R=ρ
L
S
=
=
=
L
σ.S
n.2πr
σπa2
2r
σa2
Application Numérique :
R=
2 × 7.10−2 × 100
2
6.107 × (0, 5.10−3)
•2
= 0, 93 Ω
Lycée Lakanal, Sceaux
La tension délivrée par le générateur sert à alimenter les deux résistances r et R, en
délivrant un courant i. De fait,
e
e = (R + r)i ⇒ i =
R+r
En outre, la puissance P dissipée par effet Joule dans la résistance R s’écrit : P = Ri2 ,
dans la mesure où i désigne le courant circulant dans R. Enfin, l’expression du courant
i ayant été obtenue précédemment, il vient :
P =
Re2
.
(R + r)2
La puissance P apparaı̂t ainsi comme un fonction des paramètres r et R, et l’on demande la valeur de R qui donnera à P sa valeur maximale. Il suffit donc de considérer
la fonction P comme ne dépendant que du paramètre variable R, et d’effectuer sa
dérivée pour trouver une valeur extrémale :
P =
dP
Re2
⇒
(R + r)2
dR
=
=
=
(R + r)2 − 2R(R + r)
(R + r)4
2
e
[(R + r) − 2R]
(R + r)3
e2 (r − R)
(R + r)3
e2
42
Chapitre 1
L’extremum de P (R) sera obtenu lorsque la dérivée précédente s’annulera, c’est-à-dire
pour R = r. On peut aussi se demander si cet extremum correspond à un maximum ou
un minimum pour P (R), et la réponse peut être trouvée de la façon suivante :
lim P (R) = lim P (R) = 0
R→0
R→∞
Or, puisque P (R) est une fonction positive ou nulle et que ses deux valeurs extrêmes
valent 0, alors elle admet fatalement un maximum entre ces deux valeurs extrêmes.
Cela suffit à montrer que la valeur extrémale de P est obtenue lorsque R = r .
•3
Lycée Antoine de Saint-Exupéry, Mantes-la-Jolie
1. Puisque la fonction h(x) est linéaire en fonction de x, alors elle admet une expression analytique de la forme :
h(x) = αx + β
où α et β sont des constantes qu’il reste à déterminer. Pour cela, utilisons les
valeurs connues de h(x = 0) et h(x = L) :

 β =a
b−a
h(0) = a = β
x+a
⇒
b − a ⇒ h(x) =
h(L) = b = αL + a
 α=
L
L
2. Considérons une tranche du conducteur de longueur dx et de hauteur h(x) (figure
1.34).
h(x)
dx
F IG . 1.34: Tranche de conducteur
Cette tranche possède une section carrée de hauteur h, de sorte que la surface
rencontrée par le courant lors de sa traversée soit S = h2 . Or la résistance
élémentaire de cette tranche s’écrit
δR = ρ
c’est-à-dire :
δR = ρ
dx
S
dx
h2 (x)