Lois limites fonctionnelles pour le processus empirique et applications

Lois limites fonctionnelles pour le processus empirique et
applications
Résumé
Nous nous intéressons dans cette thèse à l’estimation non paramétrique de la densité à
partir d’un échantillon aléatoire. Nous établissons des propriétés limites d’estimateurs de
densité en les déduisant de lois limites fonctionnelles pour des processus empiriques locaux. L’exposé de thèse, comprenant deux parties, est construit de la manière suivante.
La première partie porte sur des lois limites fonctionnelles locales. Elles sont établies pour
trois ensembles de suites de fonctions aléatoires, construites à partir : du processus empirique uniforme, du processus empirique de quantiles uniforme et du processus empirique
de Kaplan-Meier. Ces lois sont uniformes relativement à la taille des incréments de ces
processus empiriques locaux et décrivent le comportement asymptotique de la distance
de Hausdorff entre chacun de ces trois ensembles et un ensemble de type Strassen. La
deuxième partie porte sur l’estimation non paramétrique de la densité. Nous présentons
plusieurs applications des lois limites fonctionnelles locales établies précédemment. Ces
résultats comportent, d’une part, la description de lois limites pour des estimateurs non
paramétriques de la densité, comprenant les estimateurs à noyau et les estimateurs de la
densité par la méthode des plus proches voisins, et d’autre part, des lois limites pour les
estimateurs à noyau de la densité des temps de survie et du taux de hasard dans un modèle
de censure à droite. Ces lois limites ont la particularité d’être établies, dans le cadre de
la convergence en probabilité, uniformément relativement aux paramètres de lissage des
estimateurs considérés.
Mots-clefs Lois limites fonctionnelles du type Strassen, processus empiriques, estimateurs
fonctionnels non paramétriques, modèle de censure à droite, convergence en probabilité.
Abstract
In this thesis, we are concerned with nonparametric estimation of the density given a
random sample. We will establish asymptotic properties of density estimators by deducing
them from functional limit laws for local empirical processes in a general context. The
thesis is divided in two main parts, we describe as follows. The first part is devoted to local
functional limit laws which are established for three sets of sequences of random functions,
built from : the uniform empirical process, the uniform quantiles process and from the
Kaplan-Meier empirical process. The functional laws are uniform relative to the increments
size of the local empirical processes and describe the asymptotic behavior of the Hausdorff
set-distance between each one of the three sets and a Strassen type set. The purpose
of the second part is nonparametric density estimation. We present several statistical
applications of the previous functional limit laws, which consist on limit laws describing
the asymptotic behavior of nonparametric density estimators, such as kernel estimators,
the nearest-neighbor estimator, and kernel estimators of lifetime density and failure rate
in a right censorship model. These applications are new sharp uniform-in-bandwidth limit
laws for the last estimators in the framework of convergence in probability.
Keywords Strassen-type functional limit laws, empirical processes, nonparametric functional estimators, right censorship model, convergence in probability.
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