Devoir Surveillé de Mécanique du point matériel.

UV P2
Devoir Surveillé de Mécanique
du point matériel.
13/01/16
durée : 2h
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Gravimètre à ressort.
Un gravimètre à ressort est constitué d'une tige OB de masse négligeable pouvant tourner
autour d'un axe horizontal ⃗⃗⃗
𝑒𝑧 et supportant en B une masse ponctuelle m. Sous l'action du
ressort joignant les points A et B, de raideur k et de longueur à vide lo, la tige est horizontale à
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ l'élongation angulaire de la tige
l'équilibre. On pose OA = a, OB = b, AB = l et θ = (𝑒⃗⃗⃗𝑥 , 𝑂𝐵)
OB.
On écarte la tige de sa position d’équilibre.
1. Calculer à un instant quelconque le moment cinétique en O de B.
2. Exprimer les forces s’exerçant sur le point B listées ci-dessous dans la base de votre
choix (cartésienne ou cylindrique ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 , ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 , ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑧 non représentée) et déterminer
l’expression de leurs moments par rapport au point O à l’aide de k, l, l0, a, b, m, g et
𝜃:
a. d’action du ressort sur le point matériel B, vous pourrez exploiter l’expression
⃗ = 𝑘(𝑙 − 𝑙0 )
générale de la force de rappel du ressort 𝑇
b. d’action de la tige OB sur le point B,
c. de pesanteur s’appliquant au point B.
3. Rappeler le théorème du moment cinétique.
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴
𝑙
4. Appliquer ce théorème afin d’obtenir l’équation différentielle en  du mouvement à
l’aide de k, l, l0, a, b, m, g et 
5. Sachant que l’équilibre est atteint avec  = 0, montrer, à partir de la question
précédente, que la relation associant le poids mg du mobile à là longueur du ressort à
l’équilibre leq est :
 l 
mg  ak 1  0 
 l 
 eq 
6. C’est ce résultat qui permet à ce dispositif d’évaluer une variation relative du champ
de gravitation. En examinant les variables qui peuvent être ajustées
expérimentalement pour maintenir le dispositif à l’équilibre (horizontal) lors d’une
variation du champ gravitationnel, déterminer le protocole expérimental à suivre.
7.
En remplaçant cette expression de mg dans l’équation différentielle du mouvement
obtenue à la question 4, exprimer celle-ci à l’aide des paramètres suivants k, l, l0, a, b,
m et leq.
Avec l’hypothèse d’oscillations de faibles amplitudes, on admet que cos   1 , sin     et
1 1 ab
 3 . Cela permet d’aboutir à la forme linéarisée de l’équation
on peut montrer que 
l leq
lequ
différentielle :     0 .
8. Déterminer l’expression de  en fonction de k, l0, a, m et leq.
9. En déduire la période T d’oscillation de l’angle de la tige autour de sa position
 2 t 
d’équilibre tel que  t   A sin
 , en fonction de k, l0, a, m et leq.
 T 
10. Quel(s) théorème(s) énergétique(s) peut-on utiliser afin de retrouver l’équation
différentielle de la question 4. Justifier.
11. Retrouver l’équation différentielle à l’aide de l’un de ces théorèmes. Suivant le
théorème choisi, vous pourrez être amenés à utiliser l’expression suivante de la
longueur du ressort, issue de l’application du théorème d'Al-Kashi :
𝑙 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛(𝜃)
Fiche réponse
Nom :
Prénom :
Groupe :
1.
2.
 O B   mb2ez

a. M 0 R 
abk
l  l0 cos ex
l

M P   mgb cos e
b. M 0 T  0
c.
3.
0


x

d  O B 
 M0 R  M0 T  M0 P
dt
4.
 l  l0 

mb  ak
 mg  cos 
l


5.
 l 
mg  ak 1  0 
 l 
 eq 
6. Le changement de la valeur de g implique d’ajuster k, a, m ou l0 pour maintenir le
dispositif à l’horizontal à l’équilibre. Par exemple, on peut ajouter des masses étalon
au dispositif pour rétablir l’équilibre, on aura alors 𝑚1 𝑔1 = 𝑚2 𝑔2 .
7.
 1 1
kal
  0 cos   
l

mb
 eq l 
8.
 
ka2l0
 0
mleq3


9.
T  2
mleq3
ka2l0
10. Il faut utiliser le théorème de la puissance mécanique ou cinétique afin de retrouver
l’équation différentielle de la question 4.