Traitement du Signal Rect, Delta et le Produit Scalaire

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
troisième Bimestre 1999/00
Séance 2 :
3 mars 2000
Rect, Delta et le Produit Scalaire
Quelques Signaux Théoriques..................................................2
1) Le Saut unité ou échelon d'HEAVISIDE ................................2
2) Signal rectangulaire............................................................2
3) La fonction Delta ................................................................4
4) Suite Périodique d’impulsions de delta...................................6
Produit Scalaire de deux signaux.............................................7
Signaux Orthogonales................................................................8
Quelques Identités :
j = -1
1
2π T = 2π f = ω
Signaux Théorique et Produit Scalaires
Séance 2
Quelques Signaux Théoriques
Les signal théorique sont les outils d'analyse.
1) Le Saut unité ou échelon d'HEAVISIDE
(t)
∋
1
t
0
Cette fonction peut se définir à partir de la fonction signe :
Discrèt :



0
n < 0
1
n≥0
∋
(n) =
Continu :
(t) =



0
t < 0
1
t > 0
∋
2) Signal rectangulaire
Cas Discrèt :
Causal : wN(n) =



non-causal : rectN(n) =
1
0≤n<N
0
sinon





1
N
–2 ≤ n ≤
0
sinon
N
1 -1
2-2
Signaux Théorique et Produit Scalaires
Cas Continu : rect(t)
Séance 2
rect(t)
1
–1
2
t
1
2
Ce signal est défini par la fonction rectangulaire normalisée (intégrale unité)
ou fonction porte de la manière suivante :



rect(t)
1
0
1
1
–2 < t < 2
sinon
on note que :
∋
=
1
(t + 2) –
∋
rect(t)
1
(t – 2)
On peut placer la rect à la temps t0 par rect(t-t0).
t
On peut alonger une rect par le changement de variable t0 = T .
la fonction rectangulaire généralisée : arect(t) = A rect((t - t0) / T)
une impulsion rectangulaire de durée T, d'amplitude A et centrée sur t = t0.
AT
A
t
to – T
2
to + T
2
Cette fonction est souvent utilisée comme facteur multiplicatif d'une fonction
quelconque pour représenter une portion limitée dans le temps (durée T) de cette
fonction.
2-3
Signaux Théorique et Produit Scalaires
Séance 2
3) La signal Delta :
Delta Discrèt :
δ(n)



1
n = 0
0
n≠0
Delta Analogique :
Le signal delta est formellement définie par le produit scalaire suivant :
∞
<x(t),δ(t)> = ∫ x(t) δ(t) dt = x(0)
–∞
C'est un opérateur d'échantillonnage que restitue la valeur x(0) d’une fonction x(t).
Sa dimension est l’inverse de celle de la variable d'intégration.
D’une manière plus générale, pour toute fonction x(t) continue on a:
∞
x(t 0) =
∫ x(t) δ(t – t 0) d t
–∞
La distribution delta peut être considérée comme la limite d'un impulsion de durée
1
∆t et de hauteur ∆t lorsque ∆t → 0.
x(t)
1
∆t
1
t
δ(t) = Lim { ∆t rect(∆t)}
∆t→0
-∆t
2
∆t
2
t
0
t
Intérêt du signal delta :
Le signal delta est utilisé pour localiser la valeur d'une fonction x(t) en t= t0.
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Signaux Théorique et Produit Scalaires
Propriétés du delta :
1)
δ(t - t0) = 0
t2
2)
∫
t1
Séance 2
∀ t ≠ t0
δ(t - t 0) dt = 1
t1 < t 0 < t 2
Nota : que la valeur de δ(t - t0) à t0 est indéterminé .
3)
x(t) δ(t) = x(0) δ(t)
4)
x(t) δ(t - t0) = x(t0) δ(t - t0)
à condition que x(t) soit une fonction continue en t=0 et t=t0.
Représentation graphique
conventionnelle de δ(t - t0) :
C δ(t - t o )
C
une flèche verticale en t=t0
de longueur proportionnelle au poids C
to
t
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Signaux Théorique et Produit Scalaires
Séance 2
4) Suite Périodique d’impulsions de delta
Une suite d’impulsions de delta se répétant sur l'axe du temps avec une période T
sera notée par concision δΤ (t)
δΤ (t) =
∞
∑
δ(t – kT)
k=–∞
Cette suite est parfois appelée “fonction d'échantillonnage” ou “peigne de Dirac”.
δT( t )
–2 T
–T
0
T
2T
3T
4T
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Signaux Théorique et Produit Scalaires
Séance 2
Produit Scalaire de deux signaux
Signaux Discrèts :
1) soit x(n) et y(n) deux signaux réel pour n ∈ [0, N-1]
Le produit scalaire de x(n) et y(n) est :
<x(n), y(n)> =
N-1
∑ x(n) y(n)
n=0
2) soit x(n) et y(n) deux signaux complexes pour n ∈ [0, N-1]
c.-a.-d. x(n) = xr(n) + j xi(n) , y(n) = yr(n) + j yi(n)
<x(n), y(n)> =
=
N-1
N-1
∑ x(n) y*(n) = ∑ (x r(n) + j x i(n)) (y r(n) – j y i(n))
n=0
n=0
N-1
∑ (x r(n)y r(n) + x i(n)y i(n)) + j (xi(n) yr(n) – xr(n) yi(n))
n=0
Pour deux signaux continus :
1) Le produit scalaire de deux signaux réel x(t) et y(t) defini pour t1 ≤ t ≤ t 2
t2
<x(t), y(t)> = ∫ x(t) y(t) dt
t1
2) Le produit scalaire de deux signaux complexe x(t) et y(t) appartenant à L2(t 1, t2)
est
t2
t2
*
<x(t), y(t)> = ∫ x(t) y (t) dt = ∫ ( x r(t) + j x i(t)) (y r(t) – j y i(t)) dt
t1
t1
2-7
Signaux Théorique et Produit Scalaires
Séance 2
t2
=
∫
t1
[ x r(t) y r( t ) + x i(t) y i(t) ] + j [x i(t)y r(t) – xr(t)y i(t)] dt
La norme d’un signal est || x(t) ||2 = <x(t), x(t)>
Le produit scalaire possède la symétrie hermitienne
<x(t), y(t)> = <y(t), x(t)>*
Signaux Orthogonales
Cas Discrèt :
Deux signaux, x(n), y(n) sont orthogonales sur l’intervalle [n1, n2] si leur produit
scalaire est nul :
<x(n), y(n)> =
n2
∑ x(n) y*(n) =
0
n=n1
Cas Continu :
Deux signaux, x(t), y(t) sont orthogonales sur l’intervalle [t1, t2] si leur produit
scalaire est nul :
t2
<x(t), y(t)> = ∫ x(t) y*(t) dt = 0
t1
Nota : La spécification de l’intervalle est importante!!
2-8
Signaux Théorique et Produit Scalaires
Exemples des Signaux orthogonales :
Séance 2
1) Les signaux xn(t) = δ(t - n∆T) pour n = 0,..., N sur t ∈ [0, N∆T].
2) Les signaux suivant sont orthogonales sur [0, T].
x1(t)
x2(t)
1
1
t
T
–1
t
T
–1
x3(t)
x4(t)
1
1
T
T
4
3T
4
t
T
–1
t
–1
3) Les exponentiels complexes :
e±jωt
= Cos(ω t) ± j Sin(ω t)
Les exponentielles forment une base orthogonale sur [–∞, ∞] :
< ejω 0t, ejω 1t> =
∞
=
∫
–∞
∞
∫
–∞

jω
t
-jω
t
0
1
e
e
dt = 

∞
ω0 = ω1
0
sinon
cos(ω οt)cos(ω 1t)+sin(ω οt) sin(ω 1t) + j(sin(ω οt)cos(ω 1t)–cos(ω οt)sin(ω 1t)) dt
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