Théorie des équations différentielles ordinaires

Transcription

Théorie des équations différentielles ordinaires
A. Munnier
Institut Élie Cartan
2006-2007
2
Bibliographie
Ce cours a en grande partie été élaboré à partir des livres suivants :
– Coddington E-.A et Levinson L. Theory of Ordinary Differential Equations.
McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955. xii+429
pp.
– Zuily Cl. et Queffélec H. Eléments d’analyse pour l’agrégation. Masson, ParisMilan-Barcelone, 1995. 478 pp.
et dans une moindre mesure :
– Coddington E-. A. et Carlson R. Linear Ordinary Differential Equations. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997.
xii+341 pp. ISBN 0-89871-388-9.
– Reinhard H. Equations différentielles, fondements et applications. Dunod, Paris, 1982. xiv+446 pp.
Les portraits de phase ont été réalisés avec le logiciel MATLAB.
Table des matières
1 Existence et unicité de solutions
1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Existence locale de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Unicité locale des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Prolongement des solutions locales, solutions maximales . . .
1.5 Cas particulier des edo linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Dépendance des solutions en fonction des conditions initiales
1.6.1 Continuité en fonction des conditions initiales . . . . .
1.6.2 Différentiabilité en fonction des conditions initiales . .
1.7 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
7
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15
15
16
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général
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27
27
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32
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3 Annales des partiels
3.1 Partiel 2005-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Partiel 2006-2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
46
4 Stabilité des équations différentielles autonomes
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Stabilité des edo linéaires à cœfficients constants . . . . . . . . . . .
4.2.1 La matrice M a deux valeurs propres réelles distinctes . . . .
4.2.2 La matrice M a une seule valeur propre réelle . . . . . . . . .
4.2.3 La matrice M a deux valeurs propres, non réelles, conjuguées
4.3 Stabilité des edo autonomes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Annales des examens
5.1 Examen 2005-2006 (premère session) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Examen 2005-2006 (deuxième session) . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
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2 Équations différentielles linéaires
2.1 Rappels d’algèbre linéaire, exponentielle de matrices . .
2.2 Edo linéaire homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Edo linéaire avec second membre . . . . . . . . . . . . .
2.4 Edo linéaire à cœfficients constants . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Calculer une exponentielle de matrice dans le cas
2.5 Comportement asymptotique des solutions de (LCC) . .
2.6 Edo linéaire d’ordre n à cœfficients constants . . . . . .
2.7 L’équation de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Existence et unicité de
solutions
1.1
Définitions et notations
On note E = RN , N ≥ 1 et x = (x1 , . . . , xN ) un élément de E. Sa norme
kxkE sera l’une quelconque des normes usuelles sur RN (on rappelle que toutes les
normes sont équivalentes sur E). Soit D un ouvert de R × E et f : D → E une
fonction continue. Pour tout (t, x) ∈ D, on notera f (t, x) = (f1 (t, x), . . . , fN (t, x))
où chaque fonction fi est continue de D dans R. La notation (a, b) recouvre tous
les intervalles de R de la forme [a, b], ]a, b], [a, b[ ou [a, b]. De même, on utilisera par
exemple la notation (a, b] pour ne pas préciser la nature de l’intervalle en a.
Dans ce cours, on s’intéresse aux équations différentielles ordinaires (notées en
abrégé edo) du premier ordre, sous forme normale (ou résolue) :
x0 (t) = f (t, x(t)).
(E)
Commençons par préciser la notion de solution pour ce type d’équation :
Définition 1.1 Une solution de (E) est un couple (ϕ, J) où J est un intervalle de
R et ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕN ) est une fonction dérivable sur J à valeurs dans E telle que
(t, ϕ(t)) ∈ D pour tout t ∈ J et
ϕ0i (t) = fi (t, ϕ(t)),
∀ t ∈ J,
∀ i = 1, . . . , N.
On remarque tout de suite que, f et ϕ étant deux fonctions continues, par composition ϕ0 = (ϕ01 , . . . , ϕ0N ) est également continue sur J et ϕ est de classe C 1 sur J.
On notera ϕ ∈ C 1 (J).
µ
¶
x1
Exemple 1.1 Pour N = 2, x =
∈ R2 et
x2
µ
f (t, x) = M (t)x =
a(t) b(t)
c(t) d(t)
¶µ
x1
x2
¶
,
où a(t), b(t), c(t) et d(t) sont des fonctions réelles continues, l’équation x0 (t) =
f (t, x(t)) est appelée équation linéaire du premier ordre.
Exemple 1.2 Pour N = 1, f (t, x) = a(t)x+b(t)xα où a(t) et b(t) sont des fonctions
continues et α ∈ R \ {0, 1}, l’edo (E) est une équation de Bernoulli.
6
Chap. 1: Existence et unicité de solutions
Exemple 1.3 L’équation x0 (t) = a(t)x2 (t) + b(t)x(t) + c(t) pour laquelle N = 1,
f (t, x) = a(t)x2 + b(t)x + c(t) où a(t), b(t) et c(t) sont trois fonctions continues, est
une équation de Riccati.
Le problème (E) peut avoir de nombreuses solutions sur un intervalle donné. Par
exemple, pour N = 1, D = R × R et f (t, x) ≡ 1 l’edo :
x0 (t) = 1,
(1.1)
admet ϕ(t) = t + c comme solution sur R pour tout c ∈ R. On introduit la notion
de problème de Cauchy :
Définition 1.2 Soit (t0 , x0 ) ∈ D. Résoudre le problème de Cauchy :
x0 (t) = f (t, x),
x(t0 ) = x0 ,
(PC)
consiste à déterminer un couple (ϕ, J) où J est un intervalle de R contenant t0 et
ϕ une fonction dérivable (en fait C 1 ) de J dans E telle que (t, ϕ(t)) ∈ D pour tout
t ∈ J, ϕ0 (t) = f (t, ϕ(t)) pour tout t ∈ J et ϕ(t0 ) = x0 .
En intégrant l’edo du problème de Cauchy (PC) entre t0 et t et en tenant compte
de la condition x(t0 ) = x0 , on obtient que :
Z t
ϕ(t) = x0 +
f (s, ϕ(s)) ds,
(PCI)
t0
où il faut comprendre :
µZ t
¶
Z t
Z t
f (s, ϕ(s)) ds =
f1 (s, ϕ(s)) ds, . . . ,
fN (s, ϕ(s)) ds .
t0
t0
t0
Réciproquement, toute fonction ϕ vérifiant (PCI) est bien une solution C 1 de (PC).
Nous utiliserons souvent l’équivalence entre les deux formulations (PC) et (PCI)
dans la suite du cours.
En reprenant l’exemple précédent, on voit que si l’on ajoute à l’équation (1.1) la
condition x(0) = 0, on doit fixer la constante c et l’unique solution définie sur R est
ϕ(t) = t. Nous verrons plus tard cependant que ce n’est pas toujours aussi simple
et que sans hypothèses supplémentaires, notamment sur la fonction f , l’unicité de
la solution n’est pas assurée en général pour le problème de Cauchy.
Les formulations (E) et (PC), bien que ne faisant intervenir que la dérivée première
de x(t), recouvrent en fait une large classe de problèmes. En effet, il est souvent
possible de mettre sous la forme (E) des edo dans lesquelles apparaissent des dérivées
à un ordre quelconque. Considérons pour simplifier que les fonctions x(t) sont à
valeurs dans R (i.e. N = 1). Soit D un ouvert de R × Rp avec p ≥ 1 et f : D → R
une fonction continue. En notant x(k) (t) la dérivée k−ème de x(t), toute équation
différentielle ordinaire du p−ème ordre associée à f qui s’écrit :
x(p) (t) = f (t, x(t), x0 (t), . . . , x(p−1) (t)),
(En )
peut se mettre sous la forme (E). Notons en effet x1 (t) = x(t) et xi+1 (t) = x(i) (t)
pour i = 1, . . . , p − 1 et introduisons




x1 (t)
x2 (t)
 x2 (t) 


..




.
X(t) =  .  ∈ Rp et F (t, X) = 
.
 .. 


xp (t)
xp (t)
f (t, x1 (t), . . . , xp (t))
1.2 Existence locale de solutions
L’edo (En ) devient alors :
7
X 0 (t) = F (t, X(t)).
Le problème de Cauchy correspondant à l’équation ci-dessus s’obtient en ajoutant
une condition du type X(t0 ) = X0 où t0 ∈ R et X0 ∈ Rp . Ceci correspond à la
donnée de x(t0 ), x0 (t0 ), . . . , xp−1 (t0 ).
Nous allons introduire maintenant la notion de solution approchée. Ces solutions
ne seront en général pas aussi régulières que les solutions exactes dont nous venons
de parler.
Définition 1.3 On dira qu’une fonction ϕ à valeurs dans E est C 1 par morceaux
sur un intervalle J de R si :
1. ϕ est continue sur J.
◦
2. Il existe un ensemble fini S = {t1 , . . . , tp } de points de J tels que ϕ soit C 1
sur J \ S et limt→t+ ϕ0 (t) et limt→t− ϕ0 (t) existent mais ne coı̈ncident pas
i
i
forcément.
Nous avons alors :
Définition 1.4 Soit ε > 0 et J un intervalle de R. On dira que ϕ ∈ C(J) est une
solution ε−approchée de (E) si :
1. (t, ϕ(t)) ∈ D,
∀ t ∈ J,
1
2. ϕ est C par morceaux sur J (on note S les points où ϕ0 n’est pas définie).
3. kϕ0 (t) − f (t, ϕ(t))kE ≤ ε,
1.2
∀ t ∈ J \ S.
Existence locale de solutions
Historiquement, il a d’abord été démontré que le problème de Cauchy (PC)
admettait localement une solution unique. Ce résultat, que nous démontrerons plus
loin, nécessite une hypothèse plus forte que la simple continuité sur la fonction f .
En introduisant une suite de solutions approchées, le mathématicien italien Peano
en s’appuyant sur un résultat d’Ascoli a démontré :
Théorème 1.1 Soit (t0 , x0 ) ∈ D et soit a > 0 et b > 0 tels que le cylindre C =
{|t − t0 | ≤ a, kx − x0 kE ≤ b} soit inclus dans D. On note
¶
µ
b
,
M = sup kf (t, x)kE et α = min a,
M
(t,x)∈C
alors pour tout ε > 0 il existe une solution ε−approchée ϕ au problème de Cauchy
(PC) sur l’intervalle [t0 − α, t0 + α].
Démonstration : Soit ε > 0. On commence par construire la solution approchée
sur l’intervalle [t0 , t0 + α]. On procéderait exactement de la même façon sur [t0 −
α, t0 ]. Comme f ∈ C(D) et que C ⊂ D est un compact, la fonction f est uniformément continue sur C. Cela signifie que, pour le ε que nous avons choisi, il
existe δε > 0 tel que
kf (t, x) − f (e
t, x
e)kE ≤ ε,
si (t, x) et (e
t, x
e) ∈ C et |t − e
t| ≤ δε , kx − x
ekE ≤ δε . Divisons maintenant l’intervalle
[t0 , t0 + α] en n parties [ti−1 , ti ] i = 1, . . . , n telles que
t0 < t1 < . . . < tn = t0 + α,
8
avec
µ
¶
δε
|ti − ti−1 | ≤ min δε ,
.
M
Sur le segment [t0 , t1 ], on définit la fonction ϕ par :
ϕ(t) = x0 + (t − t0 )f (t0 , x0 ),
puis, de proche en proche, sur [ti−1 , ti ], i = 2, . . . , n par :
ϕ(t) = ϕ(ti−1 ) + (t − ti−1 )f (ti−1 , ϕ(ti−1 )).
Il est clair que la fonction ainsi construite est C 1 par morceaux sur [t0 , t0 + α]
x0 + αM
ϕ(ti )
tn−1
(t0 , x0 )
t1
ti
tn = t0 + α
x0 − αM
Fig. 1.1 – Graphe de la fonction ϕ
(elle est linéaire sur chaque segment [ti−1 , ti ] donc C 1 et ces applications linéaires
se“recollent” aux points ti ). D’autre part, sur chaque segment [ti−1 , ti ] on a la
propriété :
kϕ(t) − ϕ(e
t)kE ≤ M |t − e
t|, ∀ t, e
t ∈, [ti−1 , ti ].
Cette propriété est donc encore vérifiée sur tout le segment [t0 , t0 +α]. En particulier,
avec e
t = t0 , on obtient que :
kϕ(t) − x0 kE = kϕ(t) − ϕ(t0 )kE ≤ M |t − t0 | ≤ α M = b,
d’où (t, ϕ(t)) ∈ C ⊂ D, pour tout t ∈ [t0 , t0 + α]. Enfin, soit t ∈ [t0 , t0 + α], t 6= ti
pour tout i = 0, . . . , n. Il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que ti−1 < t < ti . Par construction
|t − ti−1 | ≤ δε et
kϕ(t) − ϕ(ti−1 )kE ≤ M |t − ti−1 | ≤ M
δε
= δε .
M
L’uniforme continuité de f entraı̂ne que :
kϕ0 (t) − f (t, ϕ(t))kE = kf (ti−1 , ϕ(ti−1 )) − f (t, ϕ(t))kE ≤ ε,
ce qui prouve que ϕ est bien une solution ε−approchée de (PC).
¥
Pour tout ε > 0, on peut donc construire des solutions ε−approchées, notées ϕε .
Une idée naturelle consiste alors à considérer une suite (εk )k de réels positifs tendant vers 0, de construire la suite des fonctions approchées (ϕεk )k et de chercher la
limite de cette suite de fonctions qui semble un bon candidat pour être la solution
1.2 Existence locale de solutions
9
exacte du problème de Cauchy. Remarquez que dans le Théorème 1.1, l’intervalle
d’existence des solutions approchées ne dépend pas de ε, ce qui va être un point
crucial dans la suite. Cependant, la suite des solutions ε−approchées ne converge
pas toujours. Par contre, nous allons montrer qu’il existe toujours une sous-suite
convergente. Introduisons d’abord la
Définition 1.5 Un ensemble de fonctions F définies sur un intervalle réel I et à
valeurs dans E, est dit uniformément équicontinu si pour tout ε > 0, il existe δε > 0
tel que :
kf (t) − f (e
t)kE ≤ ε ∀f ∈ F et ∀ t, e
t ∈ I, |t − e
t| ≤ δε .
Nous aurons besoin également du :
Lemme 1.1 (Ascoli) Soit I un intervalle borné de R et C(I) l’espace vectoriel des
fonctions continues sur I à valeurs dans E, muni de la norme kf k∞ = supt∈I kf (t)kE .
Alors tout sous ensemble F de C(I), borné et uniformément équicontinu est relativement compact.
Démonstration : Si F est un ensemble fini, c’est évident. On peut donc supposer
que F contient une suite de fonctions deux à deux distinctes (fn )n . Soit ε > 0 fixé.
L’uniforme équicontinuité de F nous assure de l’existence de δε > 0 tel que
kf (t) − f (e
t)kE ≤
ε
,
3
si |t − e
t| ≤ δε .
L’intervalle I étant borné, on peut le recouvrir par un nombre fini d’intervalles
ouverts I1 , . . . , Ip de longueur inférieure à δε . Dans chacun de ces intervalles, on
choisit un réel t1 , . . . , tp . La suite (fn (t1 ))n est bornée dans E. Elle admet donc
une sous suite convergente (fn1 (t1 ))n1 . De la même façon, la suite (fn1 (t2 ))n1 admet également une sous suite convergente notée (fn2 (t2 ))n2 . En poursuivant ce
procédé d’extraction, on aboutit à la construction de p suites, toutes convergentes
(fnp (ti ))np , i = 1, . . . , p. Notons fen = fnp . Pour le ε choisi plus haut, il existe donc
un rang Nε tel que
ε
kfem (ti ) − fen (ti )kE ≤ ,
3
∀ i = 1, . . . , p, ∀ n, m ≥ Nε .
Montrons que (fen )n est uniformément convergente sur I. Pour tout t ∈ I, il existe
ti tel que |t − ti | ≤ δε . Pour n, m ≥ Nε , on a alors :
kfem (t) − fen (t)kE ≤ kfem (t) − fem (ti )kE + kfem (ti ) − fen (ti )kE
ε ε ε
+ kfen (ti ) − fen (t)kE ≤ + + = ε,
3 3 3
ce qui prouve que (fen )n est de Cauchy uniforme.
¥
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le
Théorème 1.2 (Ascoli-Peano) Soit (t0 , x0 ) ∈ D et soient a > 0 et b > 0 tels que
le cylindre C = {|t − t0 | ≤ a, kx − x0 kE ≤ b} soit inclus dans D. On note
¶
µ
b
,
M = sup kf (t, x)kE et α = min a,
M
(t,x)∈C
alors il existe (au moins) une solution ϕ au problème de Cauchy (PC) sur l’intervalle [t0 − α, t0 + α].
10
Démonstration : Soit (εn )n une suite décroissante de réels positifs tendant vers
0. Pour chaque εn , d’après le Théorème 1.1, il existe une solution εn −approchée
au problème (PC), notée ϕn et définie sur [t0 − α, t0 + α]. Toujours d’après la
démonstration du Théorème 1.1, chacune de ces solutions vérifie :
kϕn (t) − ϕn (e
t)kE ≤ M |t − e
t|,
∀ t, e
t ∈ [t0 − α, t0 + α].
Cette inégalité entraı̂ne d’une part que la suite (ϕn )n est un ensemble uniformément
équicontinu de C([t0 − α, t0 + α]). D’autre part, en choisissant e
t = t0 , on montre
que kϕn (t)kE ≤ kx0 kE + b pour tout t ∈ [t0 − α, t0 + α]. C’est à dire que la suite
(ϕn )n est uniformément bornée. Les hypothèses du Lemme d’Ascoli 1.1 sont donc
vérifiées et il existe une suite extraite (ϕnk )n convergeant vers une fonction continue
sur [t0 −α, t0 +α] et notée ϕ. Posons ∆n (t) = ϕ0n (t)−f (t, ϕn (t)) aux points t où ϕ0n (t)
existe et ∆n (t) = 0 sinon. Par définition des solutions ε−approchées, k∆n (t)kE ≤ εn
pour tout n et pour tout t ∈ [t0 − α, t0 + α]. En réecrivant maintenant les solutions
sous forme intégrale, on obtient que :
Z t
ϕn (t) = x0 +
f (s, ϕn (s)) + ∆n (s) ds.
t0
Comme ϕnk converge uniformément vers ϕ et que f est uniformément continue
sur le compact C, f (t, ϕnk (t)) converge uniformément vers f (t, ϕ(t)). Si on ajoute
la convergence uniforme de ∆nk vers 0, on peut passer à la limite dans l’égalité
ci-dessus pour obtenir :
Z t
ϕ(t) = x0 +
f (s, ϕ(s)) ds,
t0
ce qui prouve que ϕ est de classe C 1 sur [t0 − α, t0 + α] et est solution du problème
de Cauchy (PC).
¥
On utilisera en général le Théorème sous la forme simplifiée suivante :
Corollaire 1.1 Soit f ∈ C(D). Alors pour tout (t0 , x0 ) ∈ D, il existe un voisinage
de t0 dans R sur lequel le problème de Cauchy (PC) admet une solution.
Avant de nous intéresser au problème de l’unicité des solutions, voici un exemple
simple qui montre qu’un problème de Cauchy peut avoir une infinité de solutions
même sur un voisinage arbitrairement petit autour de la condition de Cauchy.
Exemple 1.4 Le problème de Cauchy
p
x0 (t) = |x(t)|, x(0) = 0,
p
où f (x, t) = |x| est définie et continue sur D = R × R et (0, x(0)) ∈ D, admet sur
[0, 1] et pour tout 0 ≤ c ≤ 1 la solution ϕc définie par :
ϕc (t) =
1.3
1
(t − c)2 , c ≤ t ≤ 1,
4
ϕc (t) = 0, 0 ≤ t < c.
Unicité locale des solutions
On commence par un Lemme technique mais qui sera très utile dans la suite :
Lemme 1.2 (Gronwall) Soit ψ une fonction continue définie sur un intervalle
[a, b] ⊂ R et à valeurs dans R+ . On suppose qu’il existe t0 ∈ [a, b] et trois constantes
A ≥ 0, B > 0 et C ≥ 0 telles que :
¯Z t
¯
¯
¯
¯
ψ(t) ≤ A + B ¯
ψ(s) ds¯¯ + C|t − t0 |, ∀ t ∈ [a, b].
t0
1.3 Unicité locale des solutions
11
Alors, pour tout t ∈ [a, b] on a l’estimation :
ψ(t) ≤ AeB|t−t0 | +
´
C ³ B|t−t0 |
e
−1 .
B
Démonstration : Si t = t0 , la conclusion est évidente. Intéressons nous dans un
premier temps aux valeurs de t telles que t0 < t ≤ b et posons :
Z r
Ψ(r) =
ψ(s) ds, ∀ r ∈ [t0 , b].
t0
La continuité de ψ entraı̂ne que Ψ ∈ C 1 ([t0 , b]) et
µ
Z
¡
¢0
Ψ(r)e−Br = (Ψ0 (r) − BΨ(r)) e−Br = ψ(r) − B
r
¶
ψ(s) ds e−Br .
t0
On en déduit, d’après l’inégalité vérifiée par ψ, que :
¡
¢0
Ψ(r)e−Br ≤ e−Br (A + C(r − t0 )),
∀ r ∈ [t0 , b],
puis, en intégrant cette relation entre t0 et t, on obtient :
Z t
¢
A ¡ −Bt0
−Bt
−Bt
Ψ(t)e
≤
e
−e
+C
e−Br (r − t0 ) dr.
B
t0
Une intégration par parties nous permet de calculer le dernier terme :
Z t
1
1
e−Br (r − t0 ) dr = eB(t−t0 ) − − (t − t0 ),
B
B
t0
ce qui nous permet d’estimer la fonction Ψ comme suit :
¯Z t
¯
¶
´ C µ1
¯
¯
1
A ³ B(t−t0 )
B(t−t0 )
¯
¯
e
−1 +
e
− − (t − t0 ) .
ψ(s) ds¯ = Ψ(t) ≤
¯
B
B B
B
t0
En combinant cette relation avec l’inégalité donnée dans les hypothèses, on obtient
la conclusion du Lemme dans le cas t0 < t ≤ b. Pour le cas a ≤ t < t0 , on procède
de la même façon mais en posant
Z t0
Ψ(r) =
ψ(s) ds.
r
¥
La bonne propriété qui va assurer l’unicité pour le problème de Cauchy (PC) est le
caractère lipschitzien de la fonction f . Précisons cette notion :
Définition 1.6 On dira que f est lipschitzienne en x (uniformément par rapport
à t), et on notera f ∈ Lip (D), si il existe k > 0 tel que :
kf (t, x1 ) − f (t, x2 )kE ≤ kkx1 − x2 kE ,
∀ (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ D.
Remarquer que cette notion n’entraı̂ne pas que f est continue sur D comme le
prouve l’exemple suivant : D = R2 , f (t, x) = 1 si t > 0 et f (t, x) = 0 si t ≤ 0. En
revanche, si f est lipschitzienne au sens classique, c’est à dire s’il existe k > 0 tel
que
kf (t1 , x1 ) − f (t2 , x2 )kE ≤ k(|t1 − t2 | + kx1 − x2 kE ),
∀ (t1 , x1 ), (t2 , x2 ) ∈ D,
alors f est en particulier lipschitzienne en x uniformément en t. L’exercice suivant
fournit un exemple simple de fonction lipschitzienne.
12
Exercice 1.1 Montrer que si f ∈ C 1 (D) ou si Dx f est continue en (t, x), alors f
est lipschitzienne en x uniformément par rapport à t sur tout compact convexe K
inclus dans D.
Une application importante du Lemme de Gronwall concerne les solutions ε−approchées :
Application 1 (du Lemme de Gronwall) Soit f ∈ Lip (D) ∩ C(D) avec pour
constante de Lipschitz k > 0. Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions respectivement ε1 et
ε2 −approchées de (E) sur un même intervalle (a, b) et telles que, pour un certain
a < t0 < b on ait :
kϕ1 (t0 ) − ϕ2 (t0 )kE ≤ δ.
Alors, pour tout t ∈ (a, b) :
kϕ1 (t) − ϕ2 (t)kE ≤ δek|t−t0 | +
´
ε1 + ε2 ³ k|t−t0 |
e
−1 .
k
(G)
Démonstration : En reprenant la démonstration du Théorème 1.2, on a l’écriture
des solutions ε−approchées sous forme intégrale :
Z t
ϕi (t) = ϕi (t0 ) +
f (ϕi (s), s) + ∆i (s)ds, i = 1, 2,
t0
avec k∆i (s)kE ≤ εi , i = 1, 2. On pose ψ(t) = kϕ1 (t) − ϕ2 (t)kE et on a :
Z
t
ψ(t) ≤ kϕ1 (t0 ) − ϕ2 (t0 )kE +
kf (ϕ1 (s), s) − f (ϕ2 (s), s)kE ds
t0
+ (ε1 + ε2 )|t − t0 |.
Or, f étant Lipschitzienne en x uniformément en t :
kf (ϕ1 (s), s) − f (ϕ2 (s), s)kE ≤ kkϕ1 (s) − ϕ2 (s)kE = kψ(s).
On applique alors l’inégalité du Lemme de Gronwall pour obtenir (G).
¥
Exercice 1.2 Soient ϕ et ψ deux fonctions continues de [a, b] dans R+ et t0 ∈ [a, b].
On suppose qu’il existe des constantes positives A, B telles que
¯Z t
¯
¯
¯
ϕ(t) ≤ A + B ¯¯
ψ(s)ϕ(s) ds¯¯ , ∀ t ∈ [a, b].
t0
Montrer qu’alors :
¯¶
µ ¯Z t
¯
¯
¯
ϕ(t) ≤ A exp B ¯
ψ(s) ds¯¯ .
t0
Théorème 1.3 (Cauchy-Lipschitz) Soit f ∈ C(D) ∩ Lip (D) et avec les mêmes
notations que pour le Théorème 1.2, il existe une unique solution au problème de
Cauchy (PC) sur l’intervalle [t0 − α, t0 + α].
Démonstration : Le Théorème 1.2 nous assure de l’existence d’au moins une
solution ϕ1 sur l’intervalle considéré. On note ϕ2 une éventuelle autre solution et
on introduit la fonction continue
ψ(t) = kϕ1 (t) − ϕ2 (t)kE ,
1.3 Unicité locale des solutions
13
définie sur [t0 − α, t0 + α]. Les fonctions ϕ1 et ϕ2 étant des solutions du problème
de Cauchy, elles s’écrivent, sous la forme intégrale (PCI) :
Z
t
ϕi (t) = x0 +
f (s, ϕi (s)) ds,
∀t ∈ [t0 − α, t0 + α],
i = 1, 2.
t0
On obtient en particulier que :
°Z t
°
Z t
°
°
°
°
ψ(t) = °
f (s, ϕ1 (s)) − f (s, ϕ2 (s)) ds° ≤
kf (s, ϕ1 (s)) − f (s, ϕ2 (s))kE ds,
t0
E
t0
puis, f étant lipschitzienne en x uniformément en t sur D, il existe k > 0 telle que
kf (s, ϕ1 (s)) − f (s, ϕ2 (s))kE ≤ kkϕ1 (s) − ϕ2 (s)kE pour tout s ∈ [t0 − α, t0 + α], ce
qui nous donne :
Z t
ψ(t) ≤
k|ψ(s)| ds.
t0
On conclut ensuite en appliquant le Lemme 1.2 de Gronwall avec A = 0, B = k et
C = 0.
¥
Introduisons une nouvelle définition :
Définition 1.7 On dira que f est localement lipschitzienne sur D si pour tout
(t, x) ∈ D il existe une boule B = {(t0 , x0 ) ∈ D, kx − x0 kE < ε, |t − t0 | < ε} ⊂ D
et une constante k > 0 telles que f soit lipschitzienne sur B. On note alors f ∈
Lip loc (D).
Dans cette définition la constante de lipschitz n’est valable que localement.
Exercice 1.3 Montrer que si f ∈ C 1 (D) alors f ∈ C(D) ∩ Lip loc (D).
Du Théorème précédent, on déduit que l’unicité de la solution est en fait globale,
ce qui peut se traduire par : lorsque la fonction f ∈ Lip loc (D) alors les graphes de
deux solutions distinctes de (E) ne peuvent se croiser.
Théorème 1.4 (Unicité globale) Soit f ∈ C(D) ∩ Lip loc (D) et soient (ϕ1 , J1 )
et (ϕ2 , J2 ) deux solutions de (E) telles que J1 ∩ J2 6= ∅. Si il existe un point t0 de
J1 ∩ J2 tel que ϕ1 (t0 ) = ϕ2 (t0 ) alors ϕ1 ≡ ϕ2 sur J1 ∩ J2 .
Démonstration : Les ensembles J1 et J2 sont des intervalles. Il en est donc de
même de J = J1 ∩ J2 qui est en particulier connexe et non vide puisqu’il contient
t0 . On note I = {t ∈ J tels que ϕ1 (t) = ϕ2 (t)}. Montrons que I est ouvert et fermé
dans J ce qui entraı̂nera que I = J. Les fonctions ϕ1 et ϕ2 étant continues, on en
déduit que I est fermé. Soit t1 ∈ I, notons x1 = ϕ1 (t1 ) = ϕ2 (t1 ). Alors (t1 , x1 ) ∈ D
et selon le Théorème 1.3, le problème de Cauchy :
x0 (t) = f (t, x(t)),
x(t1 ) = x1 ,
admet une unique solution sur [t1 − α, t1 + α]. On en déduit que ϕ1 ≡ ϕ2 sur cet
intervalle et que ]t1 − α, t1 + α[⊂ I et donc que I est ouvert.
¥
On considèrera à partir de maintenant que l’on a toujours f ∈ Lip loc (D) ∩ C(D) ou
plus simplement f ∈ Lip (D) ∩ C(D), c’est à dire qu’il existe toujours une solution
unique pour le problème de Cauchy (PC).
14
1.4
Prolongement des solutions locales, solutions
maximales
Commençons par poser quelques définitions :
Définition 1.8 Soit (ϕ1 , J1 ) et (ϕ2 , J2 ) deux solutions de (E). On dit que (ϕ2 , J2 )
prolonge (ϕ1 , J1 ) si J1 ⊂ J2 et ϕ1 ≡ ϕ2 sur J1 .
Une solution (ϕ, J) de (E) est dite maximale si elle n’admet aucun prolongement.
Théorème 1.5 (Existence d’une solution maximale) Soit f ∈ C(D)∩Lip loc (D).
Alors par tout point (t0 , x0 ) ∈ D il passe une unique solution maximale au problème
de Cauchy (PC).
Démonstration : Considérons l’ensemble S de tous les couples (ϕ, J) de solutions
au problème de Cauchy (PC). Si (ϕ1 , J1 ) et (ϕ2 , J2 ) sont deux tels couples alors
J1 ∩J2 n’est pas vide car il contient t0 et ϕ1 ≡ ϕ2 sur J1 ∩J2 d’après le Théorème 1.4.
Soit I la réunion de tous les intervalles J. Sur I on peut donc définir la fonction
ψ par ψ ≡ ϕ sur J pour tout (ϕ, J) ∈ S. Cette fonction est la solution maximale
cherchée.
¥
La question à laquelle nous allons répondre maintenant est : pourquoi une solution maximale, définie sur un intervalle borné, ne peut-elle être prolongée sur un
intervalle plus grand ?
Théorème 1.6 On suppose que Ω est un ouvert de RN et que D =]a, b[×Ω. Soient
f ∈ C(D) ∩ Lip loc (D) et (t0 , x0 ) ∈ D. Si (ϕ, (T− , T+ )) est une solution maximale
du problème de Cauchy (PC), alors on a l’alternative suivante :
– ou bien T+ = b,
ou bien T+ < b et pour tout compact K de Ω il existe t < T+ tel que ϕ(t)∈
/ K.
– Énoncé analogue pour T− .
Démonstration : Supposons que T+ < b et qu’il existe un compact K tel que
ϕ(t) ∈ K pour tout t ∈ (t0 , T+ ). Alors, comme f ∈ C(D), il existe M > 0 tel
que kf (t, x)kE ≤ M pour tout (t, x) ∈ [t0 , T+ ] × K. Soit (tn )n une suite croissante
tendant vers T+ et telle que t0 < tn < T+ pour tout n. En écrivant la solution ϕ
sous forme intégrale, on obtient que :
Z
tm
kϕ(tm ) − ϕ(tn )kE ≤
kf (s, ϕ(s))kE ds ≤ M |tm − tn |,
∀ m > n.
tn
La suite (tn )n étant de Cauchy, il en est de même pour (ϕ(tn ))n qui est donc
convergente. Notons x1 = limn→∞ ϕ(tn ). Alors x1 ∈ K ⊂ Ω et on a donc (T+ , x1 ) ∈
D. La solution du problème de Cauchy
x0 (t) = f (t, x(t)),
x(T+ ) = x1 ,
admet selon le Théorème 1.2 une solution locale qui prolonge ϕ au delà de T+ . Ceci
contredit la maximalité de ϕ. On procède de façon analogue pour T− .
¥
Si Ω est borné, ce Théorème se traduit par : Le point de R × E de coordonées
(t, ϕ(t)) tend vers un point de la frontière du cylindre ]a, b[×Ω quand t → T+ et
t → T− .
1.5 Cas particulier des edo linéaires
1.5
15
Cas particulier des edo linéaires
Un cas particulier intéressant est celui où f est une application linéaire en x.
Considérons I un intervalle de R et N × N fonctions réelles continues :
mij : t ∈ I 7→ mij (t) ∈ R.
Notons alors M (t) la matrice carrée N × N dont les cœfficients sont les fonctions
mij (t). On notera L(E) l’espace vectoriel des matrices carrées N × N dont la norme
naturelle est :
kM kL(E) = max kM xkE .
kxkE =1
On dira qu’une ode (E) est linéaire homogène si elle s’écrit :
x0 (t) = M (t)x(t).
(LH)
Théorème 1.7 Si mij ∈ C(I) pour tout i, j = 1, . . . , N , alors pour tout t0 ∈ I et
x0 ∈ E, le système (LH) admet une unique solution maximale définie sur I tout
entier et telle que x(t0 ) = x0 .
Démonstration : Il est clair que f (t, x) = M (t)x est une fonction continue sur
◦
I × E. Soit I(t0 ) un voisinage compact de t0 dans I (si t0 ∈I , on peut choisir un
intervalle de la forme [t0 − δ, t0 + δ], δ > 0, sinon, t0 est une extremité de I et on
peut choisir [t0 , t0 + δ] par exemple). Les fonctions aij étant continues sur I(t0 ), la
fonction k(t) = kM (t)kL(F ) est elle aussi continue sur I(t0 ) (le démontrer à titre
d’exercice1 ). On peut alors considérer k = maxt∈I(t0 ) k(t) et f est uniformément
lipschitzienne en x, de constante de lipschitz k sur I(t0 ) × E. Selon le Théorème 1.3,
il existe une unique solution locale ϕ au problème de Cauchy considéré. D’autre
part, en appliquant l’inégalité de Gronwall (G) avec ϕ1 = ϕ et ϕ2 ≡ 0, on obtient
l’estimation :
kϕ(t)kE ≤ kx0 kE ek|t−t0 | .
La solution reste donc bornée sur tout intervalle borné et suivant le Théorème 1.6,
elle peut donc être prolongée sur I tout entier.
¥
Nous reviendrons largement sur les edo linéaires dans le chapitre suivant qui leur
sera dédié.
1.6
Dépendance des solutions en fonction des conditions initiales
Lorsqu’elle est unique, la solution d’un problème de Cauchy :
x0 (t) = f (t, x(t)),
x(τ ) = ξ,
peut être vue comme une fonction de la variable t dépendant du paramètre (τ, ξ) ∈
R × E. Pour mettre en exergue cette dépendance, on écrira cette solution ϕ(t, τ, ξ).
Noter que l’unicité est fondamentale : si le problème de Cauchy ci-dessus admettait
plusieurs solutions, la valeur de ϕ(t, τ, ξ) ne serait pas définie de façon univoque et
on ne pourrait pas parler de fonction !
1 Plus généralement si {f } est un ensemble de fonctions continues, sup {f } et inf {f } sont
i
i i
i i
des fonctions continues
16
ϕ1 (t, τ, ξ)
ϕ2 (t, τ, ξ)
(τ, ξ)
En considérant alors la fonction ϕ définie sur un ouvert de R × R × E, on peut
se poser la question de la régularité de la fonction par rapport à l’ensemble de ses
variables.
1.6.1
Continuité en fonction des conditions initiales
Si ψ est une fonction continue définie sur un intervalle I ⊂ R et à valeurs dans
E, on notera :
◦
◦
T (ψ, δ) = {(t, x) ∈I ×E, kx − ψ(t)kE < δ, ∀ t ∈I },
le tube ouvert centré en (t, ψ(t)). On peut alors énoncer le
Théorème 1.8 Soit f ∈ Lip (D) ∩ C(D) et soit ψ une solution de (E) définie sur
un intervalle I = [a, b]. Alors il existe δ > 0 tel que T (ψ, δ) ⊂ D et pour tout
(τ, ξ) ∈ T (ψ, δ) il existe une unique solution ϕ à (E) définie sur I et vérifiant
ϕ(τ, τ, ξ) = ξ. En outre, ϕ est continue sur V =]a, b[×T (ψ, δ).
Démonstration : Par définition d’une solution de (E), l’ensemble {(t, ψ(t)), t ∈
I} ⊂ D. Cet ensemble étant compact et le domaine D étant ouvert, il est possible de
trouver δ1 > 0 tel que T (ψ, δ1 ) ⊂ D (on pourra écrire les détails à titre d’exercice).
Choisissons alors δ < e−k(b−a) δ1 où k désigne la constante de Lipschitz de f sur
D. Pour tout (τ, ξ) ∈ T (ψ, δ), il existe d’après le Théorème 1.3 une unique solution
locale à l’edo (E) vérifiant ϕ(τ ) = ξ. L’estimation de Gronwall (G) founit, sur
l’intervalle d’existence de ϕ(·, τ, ξ) :
kϕ(t, τ, ξ) − ψ(t)kE ≤ ek|t−τ | kξ − ψ(τ )kE < δ1 .
Ceci prouve que le point (t, ϕ(t, τ, ξ)) reste à l’intérieur de T (ψ, δ1 ) ⊂ D et donc,
d’après le Théorème 1.6, ϕ(·, τ, ξ) peut être prolongée sur tout l’intervalle [a, b].
On peut donc affirmer que toute solution qui passe par un point de T (ψ, δ) est
entièrement contenue dans T (ψ, δ1 ) (cf. dessin).
17
t
b
(s, ϕ(s))
δ
(s, ψ(s))
(τ, ξ)
T (ψ, δ)
T (ψ, δ1 )
a
δ1
Fig. 1.2 – Les tubes T (ψ, δ) et T (ψ, δ1 )
Pour montrer la continuité de le fonction ϕ, nous allons montrer qu’elle est la limite
uniforme d’une suite de fonctions continues sur V . Introduisons pour cela la suite
(ϕn )n définie de la façon suivante :
ϕ0 (t, τ, ξ) = ψ(t) + ξ − ψ(τ ),
Z t
ϕn+1 (t, τ, ξ) = ξ +
f (s, ϕn (s, τ, ξ)) ds,
∀ (t, τ, ξ) ∈ V, ∀ n ≥ 0,
τ
et montrons par récurrence qu’elle a les bonnes propriétés. Il est clair que ϕ0 est
continue sur V et que pour tout n, la continuité sur V de ϕn entraı̂ne la continuité de
ϕn+1 . Toutes les fonctions ϕn sont donc bien continues sur V . Montrons maintenant
que, pour tout n ≥ 1 :
(t, ϕm (t, τ, ξ)) ∈ T (ψ, δ1 ),
kϕm (t, τ, ξ) − ϕm−1 (t, τ, ξ)kE ≤ k m
∀ 1 ≤ m ≤ n,
|t − τ |m
kξ − ψ(τ )kE , ∀ (t, τ, ξ) ∈ V .
m!
(Pn )
D’une part :
kϕ0 (t, τ, ξ) − ψ(t)kE = kξ − ψ(τ )kE < δ ≤ δ1 ,
ce qui prouve que (t, ϕ0 (t, τ, ξ)) ∈ T (ψ, δ1 ) ⊂ D pour tout (t, τ, ξ) ∈ V . D’autre
part, comme :
Z t
ψ(t) = ψ(τ ) +
f (s, ψ(s)) ds, ∀ t ∈ [a, b],
τ
on obtient que
¯Z t
¯
¯
¯
kϕ1 (t, τ, ξ) − ϕ0 (t, τ, ξ)kE ≤ ¯¯
kf (s, ϕ0 (s, τ, ξ)) − f (s, ψ(s))kE ds¯¯
τ
¯Z t
¯
¯
¯
¯
≤¯
kkϕ0 (s, τ, ξ) − ψ(s)kE ds¯¯
τ
= k|t − τ |kξ − ψ(τ )kE ,
18
ce qui est la relation (Pn ) pour n = 1. On obtient également :
kϕ1 (t, τ, ξ) − ψ(t)kE ≤ kϕ1 (t, τ, ξ) − ϕ0 (t, τ, ξ)kE + kϕ0 (t, τ, ξ) − ψ(t)kE
≤ (1 + k|t − τ |)kξ − ψ(τ )kE ≤ ek|t−τ | kξ − ψ(τ )kE ≤ δ1 ,
ce qui prouve que (t, ϕ1 (t, τ, ξ)) ∈ T (ψ, δ1 ) pour tout (t, τ, ξ) ∈ V . Supposons maintenant que (Pn ) soit vérifiée pour un certain rang n. Alors
¯Z t
¯
¯
¯
kϕn+1 (t, τ, ξ) − ϕn (t, τ, ξ)kE ≤ ¯¯
kf (s, ϕn (s, τ, ξ)) − f (s, ϕn−1 (s, τ, ξ))kE ds¯¯ .
τ
D’après (Pn ), (t, ϕn (t, τ, ξ)) et (t, ϕn−1 (t, τ, ξ)) sont dans T (ψ, δ1 ) ⊂ D, on peut
donc écrire que :
¯
¯Z t
¯
¯
¯
kf (s, ϕn (s, τ, ξ)) − f (s, ϕn−1 (s, τ, ξ))kE ds¯¯
¯
τ
¯
¯Z t
¯
¯
kkϕn (s, τ, ξ) − ϕn−1 (s, τ, ξ)kE ds¯¯ .
≤ ¯¯
τ
On utilise l’inégalité de (Pn ), pour obtenir :
¯Z t
¯
¯ ¯Z t
n
¯
¯
¯ ¯
n+1 |s − τ |
¯
¯
¯
¯
kξ
−
ψ(τ
)k
ds
kkϕ
(s,
τ,
ξ)
−
ϕ
(s,
τ,
ξ)k
ds
≤
k
E
n
n−1
E
¯
¯
¯ ¯
n!
τ
τ
|t − τ |n+1
kξ − ψ(τ )kE .
= k n+1
(n + 1)!
L’inégalité triangulaire fournie :
kϕn (t, τ, ξ) − ψ(t)kE ≤
=
n
X
p=1
n
X
p=0
kϕp (t, τ, ξ) − ϕp−1 (t, τ, ξ)kE + kϕ0 (t, τ, ξ) − ψ(t)kE
kp
|t − τ |p
kξ − ψ(τ )kE ≤ ek|t−τ | kξ − ψ(τ )kE ≤ δ1 ,
p!
et la propriété (Pn ) est démontrée pour tout n ≥ 1. On en déduit que, pour tout
n ≥ 0 et tout m ≥ 1 :
kϕn+m (t, τ, ξ) − ϕn (t, τ, ξ)kE ≤
n+m
X
kp
p=n+1
≤δ
n+m
X
p=n+1
|t − τ |p
kξ − ψ(τ )kE
p!
kp
|b − a|p
.
p!
La suite (ϕn )n est donc de Cauchy uniforme sur V . Sa limite, notée ϕ
e est continue
sur V . En passant à la limite quand n → ∞ dans la relation :
Z t
ϕn+1 (t, τ, ξ) = ξ +
f (s, ϕn (s, τ, ξ)) ds,
τ
on obtient que
Z
ϕ(t,
e τ, ξ) = ξ +
t
f (s, ϕ(s,
e τ, ξ)) ds,
τ
ce qui prouve que ϕ
e ≡ ϕ.
¥
Remarquer que dans la démonstration de ce Théorème, on a prouvé une nouvelle
fois l’existence (locale) d’une solution de (PC).
1.6.2
19
Différentiabilité en fonction des conditions initiales
Nous allons maintenant étudier la différentiabilité de la solution ϕ en fonction
des conditions initiales (τ, ξ). Nous noterons Dx f la matrice (quand elle existe) :
 ∂f1

∂f1
. . . ∂x
(t, x)
∂x1 (t, x)
N


..
..
Dx f (t, x) = 
.
.
.
∂fN
∂x1
(t, x)
...
∂fN
∂xN
(t, x)
Pour une fonction ϕ(t, τ, ξ) où (t, τ, ξ) ∈ R × R × E, on notera (quand elle existe)
la dérivée partielle :
 ∂ϕ

1
∂ξi (t, τ, ξ)


∂ϕ
..
 , i = 1, . . . , N.
(t, τ, ξ) = 
.


∂ξi
∂ϕN
(t,
τ,
ξ)
∂ξi
Théorème 1.9 En reprenant les mêmes notations et sous les mêmes hypothèses
que dans le Théorème 1.8 précédent et en supposant de plus que Dx f existe et que
Dx f ∈ C(D), alors ϕ ∈ C 1 (V ).
Démonstration : Prouver que ϕ est de classe C 1 est équivalent à prouver que
toutes ses dérivées partielles ∂ϕ/∂t, ∂ϕ/∂τ , ∂ϕ/∂ξ1 , . . . , ∂ϕ/∂ξN existent et sont
continues sur V . La relation
Z t
ϕ(t, τ, ξ) = ξ +
f (s, ϕ(s, τ, ξ)) ds,
τ
et la continuité de ϕ assurée par le Théorème précédent, nous donnent immédiatement
l’existence et la continuité de ∂ϕ/∂t. Montrons que ∂ϕ/∂ξ1 existe et est continue sur
V . Pour cela, fixons δ1 et δ comme dans le Théorème précédent et considérons (τ, ξ)
un point de T (ψ, δ). Comme T (ψ, δ) est un ouvert, si l’on pose h = (h1 , 0, . . . , 0)T ∈
E, alors, pour tout h1 proche de 0, ξh = ξ + h = (ξ1 + h1 , ξ2 , . . . , ξN ) ∈ T (ψ, δ).
Enfin considérons :
ϕ(t, τ, ξh ) − ϕ(t, τ, ξ)
χh (t, τ, ξ) =
.
h1
On peut alors énoncer :
Lemme 1.3 Pour tout ε > 0, il existe δε > 0 tel que si |h1 | ≤ δε alors pour tout
(τ, ξ) ∈ T (ψ, δ), la fonction χh (·, τ, ξ) est une solution ε−approchée du problème de
Cauchy linéaire :
y 0 (t) = Dx f (t, ϕ(t, τ, ξ))y(t),
y(τ ) = e1 ,
où e1 = (1, 0, . . . , 0)T ∈ E.
Démonstration du Lemme: Posons :
θh (t, τ, ξ) = ϕ(t, τ, ξh ) − ϕ(t, τ, ξ).
En appliquant l’inégalité de Gronwall (G) à ϕ(·, τ, ξh ) et ϕ(·, τ, ξ), on obtient que :
kθh (t, τ, ξ)kE ≤ kθh (τ, τ, ξ)kE e|t−τ | ≤ |h1 |e(b−a) .
(I1 )
Ainsi, θh tend uniformément vers 0 sur V quand h → 0. D’autre part, ϕ étant une
solution de (E), on déduit que :
θh0 (t, τ, ξ) = f (t, ϕ(t, τ, ξh )) − f (t, ϕ(t, τ, ξ)).
20
Le Théorème des accroissements finis appliqué à la fonction C 1 :
Ft,τ,ξ,h : s ∈ [0, 1] 7→ f (t, (1 − s)ϕ(t, τ, ξ) + sϕ(t, τ, ξh )),
nous assure de l’existence de s1 = s1 (t, τ, ξ, h) ∈ [0, 1] tel que :
0
θh0 (t, τ, ξ) = Ft,τ,ξ,h (1) − Ft,τ,ξ,h (0) = Ft,τ,ξ,h
(s1 )
= Dx f (t, (1 − s1 )ϕ(t, τ, ξ) + s1 ϕ(t, τ, ξh ))θh (t, τ, ξ).
Cette relation devient :
θh0 (t, τ, ξ) = (Dx f (t, ϕ(t, τ, ξ)) + Γh (t, τ, ξ))θh (t, τ, ξ),
(I2 )
si l’on pose :
Γh (t, τ, ξ) = Dx f (t, (1 − s1 )ϕ(t, τ, ξ) + s1 ϕ(t, τ, ξh )) − Dx f (t, ϕ(t, τ, ξ)).
Les vecteurs ϕ(t, τ, ξ) et ϕ(t, τ, ξh ) étant dans la boule de centre ψ(t) et de rayon
δ1 , par convexité il en est de même de (1 − s1 )ϕ(t, τ, ξ) + s1 ϕ(t, τ, ξh ) et donc
(t, (1 − s1 )ϕ(t, τ, ξ) + s1 ϕ(t, τ, ξh )) ∈ T (ψ, δ1 ). Or T (ψ, δ1 ) est compact, inclus dans
D et Dx f est continue sur D. Donc Dx f est uniformément continue sur T (ψ, δ1 ).
Pour tout ε > 0, il existe δeε > 0 tel que
kDx f (t, x) − Dx f (t, x
e)kF ≤ εe−(b−a) ,
∀ x, x
e ∈ E, kx − x
ekE ≤ δeε .
Un calcul simple conduit à l’estimation :
k(1 − s1 )ϕ(t, τ, ξ) + s1 ϕ(t, τ, ξh ) − ϕ(t, τ, ξ)kE = |s1 |kθh (t, τ, ξ)kE
≤ |h1 |e(b−a) .
En posant δε = δeε e−(b−a) , on obtient donc que :
kΓh (t, τ, ξ)kF ≤ εe−(b−a) ,
∀ (t, τ, ξ) ∈ V, ∀ |h1 | ≤ δε .
(I3 )
Comme χh = θh /h1 , en rassemblant les estimations (I1 ), (I2 ) et (I3 ), on obtient :
kχ0h (t, τ, ξ) − Dx f (t, ϕ(t, τ, ξ))χh (t, τ, ξ)kE ≤ ε,
∀ (t, τ, ξ) ∈ V, ∀ |h1 | ≤ δε .
Il suffit de vérifier (ce qui est évident) que χ(τ, τ, ξ) = e1 pour avoir la conclusion
du Lemme.
¥
Considérons maintenant la solution β(t, τ, ξ) du problème de Cauchy linéaire :
y 0 (t) = Dx f (t, ϕ(t, τ, ξ))y(t),
y(τ ) = e1 .
D’après le Théorème 1.7, cette solution existe pour tout t ∈ [a, b] et d’après le
Lemme, pour tout ε > 0, il existe δε > 0 tel que χh (t, τ, ξ) soit une solution
ε−approchée si |h1 | ≤ δε . En utilisant l’estimation de Gronwall (G), on en déduit
que :
ε
kχh (t, τ, ξ) − β(t, τ, ξ)kE ≤ (ek(b−a) − 1),
k
pour tout (t, τ, ξ) ∈ V . En d’autres termes, χh (t, τ, ξ) → β(t, τ, ξ) uniformément sur
V . On en conclut que ∂ϕ/∂ξ1 = β existe et est une fonction continue sur V car
c’est la limite uniforme des fonctions χh qui sont continues sur V .
1.7 Exercices sur le chapitre 1
21
On procède exactement de la même façon pour les autres dérivées partielles
∂ϕ/∂ξi , i = 2, . . . , N qui sont les solutions des problèmes de Cauchy :
y 0 (t) = Dx f (t, ϕ(t, τ, ξ))y(t),
y(τ ) = ei ,
où ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T , le 1 occupant la ième position.
La fonction ∂ϕ/∂τ vérifie la même edo linéaire, la seule difficultée consiste à
déterminer la valeur de y(τ ) dans la formulation ci-dessus. On l’obtient par le calcul
suivant :
ϕ(τ, τ + h, ξ) − ϕ(τ, τ, ξ) = ϕ(τ, τ + h, ξ) − ξ
= ϕ(τ, τ + h, ξ) − ϕ(τ + h, τ + h, ξ)
Z τ
f (s, ϕ(s, τ + h, ξ)) ds,
=
τ +h
puis
1
ϕ(τ, τ + h, ξ) − ϕ(τ, τ, ξ)
=−
h
h
Z
τ +h
f (s, ϕ(s, τ + h, ξ)) ds.
τ
La fonction s 7→ f (s, ϕ(s, τ + h, ξ)) étant continue au point s = τ , on obtient en
passant à la limite quand h → 0 (le démontrer en exercice) :
∂ϕ
(τ, τ, ξ) = −f (τ, ξ),
∂τ
ce qui conclut la démonstration du Théorème.
¥
Application 2 Un cas particulier important est le suivant : fixons τ0 et t0 dans I
et considérons Ω un ouvert de E inclus dans la section T (ψ, δ) ∩ {τ = τ0 } du tube
T (ψ, δ). L’application suivante et alors bien définie et de classe C 1 :
e
Tt0 : Ω → Tt0 (Ω) = Ω
ξ 7→ ϕ(t0 , τ0 , ξ).
Elle est aussi inversible, son inverse étant donné par :
e→Ω
Tt−1
:Ω
0
e
ξ 7→ ϕ(τ0 , t0 , ξ).
e = Ω et Tt est l’identité.
Remarquer que si t0 = τ0 alors Ω
0
1.7
Exercices sur le chapitre 1
Exercice 1.4 On considère l’équation différentielle x(t)x0 (t) + t = 0.
1. Montrer que pour tout (t0 , x0 ) ∈ R × R∗ cette équation admet une unique
solution maximale sur un intervalle (T− , T+ ) telle que x(t0 ) = x0 .
2. Déterminer explicitement cette solution et la représenter graphiquement.
3. Quel est le comportement de la solution lorsque t → T+ ?
Exercice 1.5 Même questions que dans l’exercice précédent avec l’edo : t2 x0 (t) −
x(t) = 0. Discuter l’existence de solutions globales sur R.
22
Exercice 1.6 Soit l’edo t2 x0 (t) = t2 + x2 (t) − tx(t).
1. Étudier l’existence et l’unicité de solutions pour le problème de Cauchy associé.
2. En remarquant que cette équation est homogène en x(t)/t, c’est à dire qu’elle
peut se mettre sous la forme x0 (t) = g(x(t)/t), résoudre explicitement et
localement le problème de Cauchy associé en cherchant la solution sous la
forme x(t) = ty(t).
3. Déterminer les bornes T− et T+ des intervalles sur lesquels sont définies les
solutions maximales. Étudier le comportement des solutions au voisinage de
T− et de T+ .
4. Représenter graphiquement les solutions.
Exercice 1.7 On considère le problème de Cauchy suivant :
x0 (t) = F (x(t)),
x(t0 ) = x0 ,
où F est une fonction C 1 de R dans R telle que
Z
+∞
F (x) > 0, ∀ x ∈ R et
−∞
ds
< +∞.
F (s)
1. Expliquer pourquoi ce problème admet une unique solution puis montrer qu’il
est équivalent à une équation fonctionnelle de la forme G(x(t)) = t − t0 où G
est une fonction C 1 sur R telle que G(x0 ) = 0.
2. Montrer que G réalise une bijection strictement croissante de R sur un intervalle que vous préciserez.
3. Résoudre le problème de Cauchy et expliciter l’intervalle d’existence des solutions maximales (T− , T+ ).
4. Appliquer ces résultats au cas où F (x) = 1 + x2 .
Exercice 1.8 Soient f et g deux fonctions continues de [a, b] × R dans R telles que
f (t, x) < g(t, x),
∀ (t, x) ∈ [a, b] × R.
(H1 )
Soient ϕ et ψ deux fonctions C 1 de [a, b] dans R solutions respectivement des
équations :
x0 (t) = f (t, x(t)), y 0 (t) = g(t, y(t)), t ∈ [a, b].
(E)
Supposons qu’il existe t0 ∈ [a, b[ tel que ϕ(t0 ) = ψ(t0 ).
1. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que ϕ(t) < ψ(t),
∀ t ∈]t0 , t0 + δ].
2. En déduire que ϕ(t) ≤ ψ(t), ∀ t ∈ [t0 , b] (on pourra considérer l’ensemble
J = {c ∈ [t0 , b] tq ϕ(t) ≤ ψ(t) sur [t0 , c]} et son max noté c∗ ).
Exercice 1.9 Soit F une fonction de classe C 2 de E = RN dans R et (t0 , x0 ) ∈
R × RN . On considère le problème de Cauchy :
x0 (t) = −∇F (x(t)),
x(t0 ) = x0 ,
où ∇F est le vecteur (∂F/∂x1 , . . . , ∂F/∂xN )T . On suppose de plus que
lim
kxkE →+∞
F (x) = +∞.
23
1. Montrer que le problème de Cauchy ci-dessus admet une solution maximale
unique définie sur ]T− , T+ [ et que la fonction F (x(t)) est décroissante. En
déduire que T+ = +∞.
2. En considérant le cas N = 1 et F (x) = x4 /4, montrer que l’on peut avoir
T− > −∞.
Exercice 1.10 Soit Ω ⊂ RN et V (x) = (v1 (x), . . . , vN (x))T une application de
classe C 1 de Ω dans RN (une telle application est appelée un champ de vecteurs).
On souhaite déterminer toutes les fonctions F : Ω → R de classe C 1 vérifiant
l’équation aux dérivées partielles :
∇F (x) · V (x) = 0,
∀ x ∈ Ω.
Soit x
e = (e
x1 , . . . , x
eN )T un point de Ω tel que V (e
x) 6= 0 (par exemple v1 (e
x) 6= 0).
1. Expliquer pourquoi la solution φ(t, ξ) avec ξ ∈ RN −1 du problème de Cauchy :
x0 (t, ξ) = V (x(t, ξ)))
x(0, ξ) = (e
x1 , ξ),
est bien définie et de classe C 1 sur un voisinage ]−T, T [×ω de (0, (e
x2 , . . . , x
eN )) ∈
R × RN −1 .
2. Montrer que le Jacobien de φ est non nul en (0, (e
x2 , . . . , x
eN )).
3. En utilisant le Théorème d’inversion locale, montrer que φ est un difféomorphisme
d’un voisinage de (0, (e
x2 , . . . , x
eN )) sur un voisinage de x
e.
4. Poser Fe(t, ξ) = F (φ(t, ξ)) et répondre à la question initialement posée.
Exercice 1.11 Considérons le problème de Cauchy dans R :
½ 0
x (t) = f (x(t))
x(0) = x0 ,
où x0 ∈ R et f : R → R est lipschitzienne de constante de lipschitz k > 0.
1. Montrer qu’il existe une unique solution maximale.
2. Montrer que cette solution vérifie
|x(t) − x0 | ≤ |t||f (x0 )|ek|t| ,
pour tout t dans l’intervalle maximal.
3. Montrer que la solution maximale est définie sur R tout entier.
Exercice 1.12 Soit f : RN → RN une application continue. On se propose de
montrer que toute solution maximale de l’équation différentielle :
y 0 = f (y)
est définie sur R+ si f vérifie :
∃ une constante a ∈ R telle que f (y) · y ≤ akyk2 ,
∀ y ∈ RN .
(H)
1. Montrer que sous l’hypothèse (H), une solution de l’edo partant de y0 à t = 0
vérifie :
(ky(t)k2 )0 ≤ 2aky(t)k2 .
24
2. En déduire que
ky(t)k2 ≤ ky0 k2 e2|at| ,
∀ t ∈]T− (y0 ), T+ (y0 )[,
où ]T− (y0 ), T+ (y0 )[ est l’intervalle maximal d’existence de la solution.
3. On suppose que T+ (y0 ) < +∞. Montrer que y(t) et y 0 (t) sont bornées sur
[0, T+ (y0 )[. Montrer que ces fonctions se prolongent par continuité en T+ (y0 ).
Montrer que ceci conduit à une contradiction puis conclure.
 00
 x = x,
x(0) = α ∈ R,
 0
x (0) = 0.
1. Montrer que ce problème admet une unique solution définie sur R tout entier.
2. Calculer la solution.
½ 0
x = 1/x,
x(0) = 1.
1. Montrer que ce problème admet une unique solution maximale. Cette solution
est-elle nécessairement définie sur R tout entier ?
2. Calculer la solution maximale (en précisant l’intervalle maximal). Que se
passe-t-il lorsque t tend vers le bord fini de l’intervalle maximal ?
Exercice 1.15 (tiré de l’examen 2007) Le but de cet exercice est de montrer le
théorème d’unicité d’Osgood.
Soit α > 0 et h une fonction définie sur ]0, α[ qui est :
– lipschitzienne sur tout compact inclus dans ]0, α[,
– strictement positive sur ]0, α[,
– et qui vérifie :
Z α
du
= +∞.
lim
+
ε→0
ε h(u)
Soit f une fonction continue sur R × E et à valeurs dans E qui vérifie
kf (t, y1 ) − f (t, y2 )kE ≤ h(ky1 − y2 kE ),
∀ t ∈ R, ∀ y1 , y2 ∈ E, ky1 − y2 kE < α.
Alors, le théorème d’Osgood affirme que pour tout (t0 , y0 ) ∈ R × E, il existe au
plus une solution au problème de Cauchy :
(
y 0 (t) = f (t, y(t)),
(E1)
y(t0 ) = y0 .
1. On note
Z
G(s) =
s
α
du
.
h(u)
Montrer que G réalise une bijection de ]0, α[ sur ]0, +∞[.
2. Soit t1 > 0 et u1 ∈]0, α[. Que pouvez-vous dire (existence et unicité d’une
solution) concernant le problème de Cauchy :
½ 0
u (t) = 2h(u(t)),
(E2)
u(t1 ) = u1 .
Donner explicitement la solution de ce problème en faisant intervenir la fonction G (préciser l’intervalle maximal d’existence de la solution).
25
3. On note φ1 et φ2 deux solutions de (E1) définies sur un même intervalle
[t0 , t0 + δ[ avec δ > 0 ainsi que ψ = kφ1 − φ2 kE . On suppose qu’il existe
t1 ∈]t0 , t0 + δ[ tel que
t ∈]t0 , t0 + δ[ tel que ψ(t) 6= 0. Prouver qu’alors il existe e
ψ(e
t1 ) ∈]0, α[.
4. Soit u la solution du problème de Cauchy (E2) pour laquelle on choisit t1 = e
t1
et u1 = ψ(e
t1 ). Montrer que :
Z
ψ(t) − u(t) ≤
t
e
t1
h(ψ(s)) − 2h(u(s))ds,
pour tout t dans un voisinage de e
t1 . En déduire que u(t) ≤ ψ(t) sur un
intervalle ]e
t1 − ε, e
t1 ].
5. On note
T ∗ = inf{T ∈ [t0 , e
t1 ] tel que u(t) ≤ ψ(t) sur [T, e
t1 ]}.
Montrer que T ∗ = t0 . Conclure.
6. Pourquoi peut-on dire que ce théorème généralise le résultat d’unicité du
théorème de Cauchy-Lipschitz ?
7. Application : on pose, pour N = 1 :
(
y ln |y|
f (y) =
0
si y ∈] − 1, 1[\{0},
si y = 0.
(a) Montrer que
|f (y2 ) − f (y1 )|
≤ |y2 − y1 | (ln |y2 − y1 | + (u + 1/2) ln |u + 1/2|
−(u − 1/2) ln |u − 1/2|) ,
où u = (y1 + y2 )/2(y2 − y1 ).
(b) On pose g(u)
i = (u + 1/2) ln |uh+ 1/2| − (u − 1/2) ln |u − 1/2| définie sur
l’intervalle − 2|y21−y1 | , 2|y21−y1 | . Montrer que
|g(u)|
≤ C,
| ln |y2 − y1 || + 1
h
i
pour tout u ∈ − 2|y21−y1 | , 2|y21−y1 | et pour tout y2 , y1 ∈] − 1, 1[.
(c) Déduire des questions précédentes que |f (y2 −f (y1 )| ≤ C|y2 −y1 |(| ln |y2 −
y1 || + 1) pour tout y2 , y1 ∈] − 1, 1[.
(d) Montrer que pour tout y0 ∈] − 1, 1[, il existe une et une seule solution au
problème de Cauchy :
(
y 0 (t) = f (y(t)),
y(0) = y0 .
26
0,3
0,2
0,1
0
-1
-0,5
0
-0,1
0,5
x
-0,2
-0,3
Fig. 1.3 – Graphe de la fonction f .
1
Chapitre 2
Équations différentielles
linéaires
Nous avons déjà posé quelques définitions et donné quelques résultats concernant
les edo linéaires dans le chapitre précédent, au paragraphe 1.5. Avant d’entrer plus
avant dans les détails, faisons quelques rappels d’algèbre linéaire.
2.1
Rappels d’algèbre linéaire, exponentielle de matrices
Toutes les matrices considérées dans ce chapitre ont des cœfficients complexes.
On notera F = CN (N ≥ 1), L(F ) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre
N et IN la matrice identité de L(F ). Pour A ∈ L(F ) on note
χA (λ) = det(λIN − A),
le polynôme caractéristique de A. Ses racines, λ1 , . . . , λq (1 ≤ q ≤ N ) sont les
valeurs propres de A. Comme C est algébriquement clôt, le polynôme caractéristique
se factorise sous la forme :
q
Y
(λ − λi )di ,
χA (λ) =
i=1
di étant l’ordre de multiplicité algébrique de λi . On a d1 + . . . + dq = N . L’ordre de
multiplicité géométrique de λi sera noté αi et le polynôme :
µA (λ) =
q
Y
(λ − λi )αi ,
i=1
est le plus petit polynôme annulateur de A. Il est appelé polynôme minimal de A.
Les sous-espaces propres généralisés
Fi = ker(λi IN − A)αi ,
sont en somme directe dans F , i.e. F = F1 ⊕. . .⊕Fq et dim Fi = di . En réécrivant A
dans une base bien adaptée à cette décomposition, on montre qu’elle est semblable
à la matrice diagonale par blocs J suivante, appelée réduite de Jordan de A :


J1 0 · · · 0

. 
 0 J2 . . . .. 
.
J =
 .

..
..
 ..
.
. 0 
0 ···
0 Jq
28
Chap. 2: Équations différentielles linéaires
Chaque bloc Ji est une matrice carrée di × di , elle aussi diagonale par blocs, chaque
sous bloc de Ji étant de dimensions au plus αi ×αi (l’un au moins étant de dimension
exactement αi × αi ) et ayant la forme :


λi 1
0 ··· 0

. 
 0 . . . . . . . . . .. 


 .. . .

..
..
.
 .
. 0 
.
.


 .

..
..
 ..
.
. 1 
0 ··· ···
0 λi
Ainsi Zi = Ji − λi Idi est une matrice nilpotente d’indice αi . Puisqu’il existe une
matrice inversible P telle que J = P −1 AP , on déduit que :
det A = det J =
q
Y
λi ,
tr A = tr J =
i=1
q
X
λi .
i=1
L’exponentielle de la matrice A est défini comme étant la somme de la série
uniformément convergente sur L(F ) :
eA = IN +
∞
X
Ap
p=1
p!
.
En appliquant l’inégalité triangulaire, on déduit de cette définition que :
keA kL(F ) ≤ ekAkL(F ) .
Attention ! Pour A et B dans L(F ), la relation eAB = eA eB n’est vérifiée que si A
et B commutent. Par contre eA est toujours inversible et (eA )−1 = e−A . De même,
−1
si P est inversible, on a pour tout A ∈ L(F ), P −1 eA P = eP AP .
Quelques propriétés de différentiabilité
L’application t ∈ R 7→ etA est analytique sur R et (etA )0 = AetA . Le déterminant
est analytique sur L(F ), on note D det(A) sa différentielle en A et on a :
hD det(A), Hi =(det(A))tr (A−1 H), si det(A) 6= 0,
hD det(A), Hi =0,
si det(A) = 0.
L’application inv: A 7→ A−1 est analytique au voisinage de toute matrice inversible
de L(F ) et
hDinv(A), Hi = −A−1 HA−1 .
On en déduit que pour toute application t ∈ I 7→ Φ(t) ∈ L(F ) dérivable (où I est
un intervalle de R) et on a les formules :
(Φ−1 (t))0 = −Φ(t)−1 Φ0 (t)Φ(t)−1 ,
(det Φ(t))0 = (det Φ(t))tr (Φ(t)−1 Φ0 (t)).
Si Φ est solution de l’edo matricielle suivante, t ∈ I 7→ M (t) étant une application
continue donnée :
Φ0 (t) = M (t)Φ(t), ∀ t ∈ I,
alors (det Φ(t))0 = (det Φ(t))tr (Φ(t)−1 M (t)Φ(t)) = (det Φ(t))tr M (t), que l’on peut
intégrer pour obtenir :
Z t
det Φ(t) = det Φ(τ ) exp
tr M (s) ds.
(F)
τ
2.2 Edo linéaire homogène
29
Application 3 Revenons sur l’application 2 de la fin du chapitre précédent. Le
difféomorphisme Tt0 est défini par Tt0 (ξ) = ϕ(t, τ0 , ξ) où ϕ(t, τ0 , ξ) est solution du
problème de Cauchy :
ϕ0 (t, τ0 , ξ) = f (t, ϕ(t, τ0 , ξ)),
ϕ(τ0 , τ0 , ξ) = ξ.
Si f est C 1 , on a vu que ϕ était aussi de classe C 1 par rapport à toutes ses variables
et que Dξ ϕ(t, τ0 , ξ) était solution du problème de Cauchy :
d
Dξ ϕ(t, τ0 , ξ) = Dx f (t, ϕ(t, τ0 , ξ))Dξ ϕ(t, τ0 , ξ),
dt
Dξ ϕ(τ0 , τ0 , ξ) = IN .
Comme DTt0 (ξ) = Dξ ϕ(t0 , τ0 , ξ), on applique la formule (F) pour obtenir que :
µZ t0
¶
det DTt0 (ξ) = det Dξ ϕ(τ0 , τ0 , ξ) exp
tr Dx f (s, ϕ(s, τ0 , ξ)) ds
µZ
τ0
t0
= exp
tr Dx f (s, ϕ(s, τ0 , ξ)) ds
¶
6= 0.
τ0
Cela nous donne le déterminant de la Jacobienne associée au changement de variables x = Tt0 (ξ).
2.2
Edo linéaire homogène
Rappelons brièvement le contexte du chapitre 1, paragraphe 1.5. On désigne
par M : t ∈ I 7→ M (t) ∈ L(F ) une application continue d’un intervalle I ⊂ R
dans L(F ), ce qui est équivalent à dire que tous les cœfficients mij (t) de M (t) sont
des fonctions complexes continues sur I. L’edo linéaire homogène associée à M (t)
s’écrit :
x0 (t) = M (t)x(t), t ∈ I.
(LH)
On a vu que pour toute donnée initiale (τ, ξ) ∈ I ×F , il existe une unique solution ϕ
à (LH) vérifiant la condition ϕ(τ ) = ξ et définie sur I tout entier. On peut énoncer
un premier résultat concernant la structure de l’ensemble des solutions de (LH) :
Théorème 2.1 L’ensemble de toutes les solutions de (LH) sur I est un sous espace
vectoriel de C 1 (I) de dimension N .
Démonstration : Si ϕ1 et ϕ2 sont deux solutions de (LH) et si c ∈ C, il est clair
que ϕ1 + cϕ2 est encore une solution ce qui prouve que l’ensemble des solutions
est bien un sous ev de C 1 (I). Pour montrer qu’il est de dimension N , nous allons
exhiber une base. Choisissons τ ∈ I et notons ϕi la solution de (LH) vérifiant
la condition de Cauchy ϕi (τ ) = ξi où B = {ξ1 , . . . , ξN } est la base canonique de
F . Soit maintenant ϕ une solution de (LH). Alors il existe N nombres complexes
c1 , . . . , cN tels que ϕ(τ ) = c1 ξ1 + . . . + cN ξN car B est une base de F . Les deux
solutions ϕ et c1 ϕ1 + . . . + cN ϕN coı̈ncident au point t = τ et par unicité globale de la solution du problème de Cauchy, elles coı̈ncident partout : Finalement
ϕ = c1 ϕ1 + . . . + cN ϕN sur I et {ϕ1 , . . . , ϕN } est un système générateur de l’ensemble des solutions. Montrons qu’il est libre. Considérons pour cela c1 , . . . , cN ,
N nombres complexes tels que c1 ϕ1 + . . . + cN ϕN ≡ 0 sur I. Alors en particulier
c1 ϕ1 (τ ) + . . . + cN ϕN (τ ) = c1 ξ1 + . . . + cN ξN = 0. On utilise encore une fois le fait
que B soit une base pour conclure que c1 = . . . = cN = 0.
¥
La connaissance de N solutions de (LH) linéairement indépendantes permet donc
de résoudre n’importe quel problème de Cauchy associé à (LH).
30
Définition 2.1 Une matrice Φ(t) de L(F ) dont les vecteurs colonnes ϕ1 , . . . , ϕN
sont N solutions linéairement indépendantes de (LH) sur I est appelée matrice
fondamentale de l’edo (LH). Elle vérifie
Φ0 (t) = M (t)Φ(t),
∀ t ∈ I.
(LHF)
D’après le Théorème 2.1, ses vecteurs forment une base de l’ensemble des solutions
de (LH).
Dans la démonstration du Théorème 2.1 on a prouvé en particulier que pour toute
base B = {ξ1 , . . . , ξN } de F et pour tout τ ∈ I, on pouvait construire une matrice
fondamentale Φ(t) telle que ses vecteurs colonnes ϕ1 (t), . . . , ϕN (t) vérifient ϕi (τ ) =
ξi pour tout i = 1, . . . , N . Si on choisit pour B la base canonique de F , on en déduit :
Proposition 2.1 Si M (t) est continue sur I alors pour tout τ ∈ I il existe une
unique matrice fondamentale Φ(t) à l’edo (LH) définie sur I et qui vérifie Φ(τ ) =
IN .
Le déterminant de la matrice fondamentale jouera un rôle particulier dans la suite,
c’est pourquoi on définit plus généralement :
Définition 2.2 Soit Φ(t) une solution de l’edo matricielle (LHF) sur I. Son déterminant
WΦ (t) = det(Φ(t)),
t ∈ I,
est appelé le Wronskien de Φ(t). Il vérifie d’après (F) :
µZ t
¶
WΦ (t) = WΦ (τ ) exp
tr M (s) ds .
(W)
τ
Si Φ(t) est une matrice fondamentale dont les vecteurs colonnes sont ϕ1 , . . . , ϕN
alors, pour tout τ ∈ I et pour tout ξ ∈ F , il existe un unique N uplet C =
(c1 , . . . , cN )T ∈ F tel que ξ = c1 ϕ1 (τ ) + . . . + cN ϕN (τ ). Dans ce cas ϕ = c1 ϕ1 +
. . . + cN ϕN est alors la solution de (LH) vérifiant ϕ(τ ) = ξ. On peut écrire sous
forme matricielle que :
ϕ = Φ(t)C.
Il est donc important de préciser les propriétés des matrices fondamentales. C’est
ce qui est fait dans le Théorème suivant :
Théorème 2.2 Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice Φ(t)
solution de (LHF) soit une matrice fondamentale est qu’il existe τ ∈ I tel que
WΦ (τ ) 6= 0. Dans ce cas WΦ (t) 6= 0, pour tout t ∈ I.
Si Φ(t) est une matrice fondamentale de (LH) et si P ∈ L(F ) est inversible, alors
Φ(t)P est encore une matrice fondamentale de (LH). Réciproquement, si Φ1 (t) et
Φ2 (t) sont deux matrices fondamentales de (LH), alors Φ1 (t)−1 Φ2 (t) est une matrice
constante sur I.
Démonstration : Si Φ(t) est une solution de (LHF) alors chacun de ses vecteurs
colonnes notés ϕi est une solution de (LH). D’autre part, det Φ(τ ) 6= 0 entraı̂ne
que {ϕ1 (τ ), . . . , ϕN (τ )} est une base de F . Pour toute solution ϕ de (LH), il existe
donc C = (c1 , . . . , cN )T ∈ F tel que ϕ(τ ) = Φ(τ )C. Par unicité du problème de
Cauchy, on en déduit que ϕ(t) = Φ(t)C pour tout t ∈ I et Φ(t) est une matrice fondamentale. Si det Φ(τ ) 6= 0, alors, d’après la relation (W), det Φ(t) 6= 0
pour tout t ∈ I. Si P est une matrice inversible, alors Φ(t)P est encore une solution de (LHF) et det(Φ(t)P ) = det(Φ(t)) det(P ) 6= 0. La matrice Φ(t)P est
donc encore une matrice fondamentale. Enfin, en dérivant Φ1 (t)−1 Φ2 (t), on obtient −Φ1 (t)−1 Φ01 (t)Φ1 (t)−1 Φ2 (t) + Φ1 (t)−1 Φ02 (t) et comme Φ1 (t) et Φ2 (t) sont
2.3 Edo linéaire avec second membre
31
toutes deux solutions de (LHF), il vient (Φ1 (t)−1 Φ2 (t))0 = −Φ1 (t)−1 M (t)Φ2 (t) +
Φ1 (t)−1 M (t)Φ2 (t) = 0.
¥
Remarquer que si Φ(t) est une matrice fondamentale et si P est une matrice
constante inversible alors P Φ(t) n’est pas forcément une matrice fondamentale.
Remarquer également que (LHF) entraı̂ne M (t) = Φ0 (t)Φ(t)−1 pour tout t ∈ I :
Deux edo (LH) différentes ne peuvent pas avoir la même matrice fondamentale.
2.3
Edo linéaire avec second membre
Soit M (t) une matrice continue sur un intervalle I de R et b(t) une fonction
continue sur I à valeurs dans F . Si b(t) est non identiquement nulle sur I, alors
l’edo suivante est appellée edo linéaire avec second membre :
x0 (t) = M (t)x(t) + b(t),
t ∈ I.
(LSM)
A ce stade, on pourrait appliquer le Théorème de Cauchy-Lipschitz pour montrer
l’existence et l’unicité d’une solution à (LSM). Nous allons procéder différement et
nous ramener à des résultats déjà démontrés pour (LH).
Théorème 2.3 Soit (τ, ξ) ∈ I×F et Φ(t) la matrice fondamentale de (LH) vérifiant
Φ(τ ) = IN . Alors ,la fonction ϕ définie sur I par :
Z t
ϕ(t) = Φ(t)ξ + Φ(t)
Φ(s)−1 b(s) ds, t ∈ I,
τ
est l’unique solution de l’edo (LSM) vérifiant ϕ(τ ) = ξ.
Démonstration : Il suffit de dériver l’expression de ϕ ci-dessus pour vérifier que
c’est bien une solution de (LSM). Pour l’unicité, considérons ϕ1 et ϕ2 deux solutions telles que ϕ1 (τ ) = ϕ2 (τ ) = ξ. Alors ϕ1 − ϕ2 est une solution de (LH) vérifiant
ϕ1 (τ ) − ϕ2 (τ ) = 0 et par unicité de la solution pour (LH), ϕ1 − ϕ2 ≡ 0 sur I. ¥
L’expression de ϕ donnée dans ce Théorème a été obtenue en cherchant une solution sous la forme Φ(t)C(t) où C(t) est une fonction inconnue. En dérivant
on obtient (Φ(t)C(t))0 = Φ0 (t)C(t) + Φ(t)C 0 (t) et comme Φ(t) vérifie (LHF), il
vient (Φ(t)C(t))0 = M (t)Φ(t)C(t) + Φ(t)C 0 (t). Pour que Φ(t)C(t) soit une solution de (LSM), il faut et il suffit donc que Φ(t)C 0 (t) = b(t), c’est à dire que
C 0 (t) = Φ(t)−1 b(t) pour tout t ∈ I. En intégrant cette relation, on obtient que
Z t
C(t) =
Φ(s)−1 b(s) ds.
τ
Cette méthode s’appelle la méthode de la variation de la constante .
Si l’on dispose de deux solutions ϕ1 et ϕ2 à l’edo (LSM), on constate que ϕ1 −ϕ2
est solution de l’edo homogène (LH). En notant Φ(t) une matrice fondamentale de
(LH), on en déduit qu’il existe C ∈ F tel que ϕ1 (t) − ϕ2 (t) = Φ(t)C pour tout t ∈ I.
Il est alors facile de démontrer :
Proposition 2.2 Soit τ ∈ I et Φ(t) la matrice fondamentale de (LH) vérifiant
Φ(τ ) = IN . Si l’on dispose d’une solution particulière ϕ
e à l’edo (LSM), alors pour
tout ξ ∈ F
ϕ(t) = ϕ(t)
e + Φ(t)(ξ − ϕ(τ
e )),
est la solution de (LSM) qui vérifie ϕ(τ ) = ξ.
32
2.4
Edo linéaire à cœfficients constants
2.4.1
Premières propriétés
Dans ce paragraphe, on se restreindra au cas où la matrice M dans (LH) ou
(LSM), ne dépend pas de t (on dit que l’edo est autonome) :
x0 (t) = M x(t),
∀t ∈ R.
(LCC)
La Proposition suivante rassemble les premiers résultats sur (LCC) qui se déduisent
directement de l’étude des l’edo plus générales (LH) et (LSM) :
Proposition 2.3 Pour toute matrice M ∈ L(F ) et pour tout couple (τ, ξ) ∈ R×F :
– Il existe une solution maximale unique ϕ à l’edo (LCC) définie sur R tout
entier et qui vérifie ϕ(τ ) = ξ.
– La matrice fondamentale Φ(t) associée à l’edo (LCC) et vérifiant Φ(τ ) = IN
est Φ(t) = e(t−τ )M .
– Pour toute fonction t ∈ R 7→ b(t) ∈ F continue, il existe une unique solution
maximale ϕ à l’edo
x0 (t) = M x(t) + b(t),
vérifiant ϕ(τ ) = ξ. Cette solution est définie sur R tout entier par
Z
(t−τ )M
ϕ(t) = e
ξ+
t
e(t−s)M b(s) ds.
τ
Traitons un exemple simple (N = 2) pour illustrer tout cela :
µ
¶
0 1
Exemple 2.1 Soit M =
et l’edo linéaire :
−1 0
x0 (t) = M x(t),
t ∈ R.
Afin de déterminer la matrice fondamentale Φ(t) = etM , commençons par déterminer
la réduite de Jordan de M . On calcule que χM (λ) = λ2 +1 = (λ−i)(λ+i). La matrice
M admet donc deux valeurs propres disctinctes λ1 = i et λ2 = −i et comme N = 2,
on en déduit que M est diagonalisable. On détermine les sous espaces propres en
résolvant :
µ
¶µ
¶ µ ¶
−i 1
x1
0
(M − λ1 I2 )x =
=
.
−1 −i
x2
0
√
√
Les solutions sont les combinaisons linéaires de u1 = (1/ 2, i/ 2)T . De même les
solutions de
µ
¶µ
¶ µ ¶
i 1
x1
0
(M − λ2 I2 )x =
=
,
−1 i
x2
0
√
√
sont les combinaisons linéaires de u2 = (1/ 2, −i/ 2)T . Remarquer que l’on a
choisi de normer les vecteurs propres u1 et u2 (pour la norme euclidienne classique).
En notant
√ ¶
µ
µ √
¶
i 0
1/√ 2 −i/√2
et J =
P =
,
0 −i
i/ 2 −i/ 2
on a la relation P −1 M P = J. La matrice J étant diagonale
µ it
¶
e
0
tJ
e =
,
0 e−it
2.4 Edo linéaire à cœfficients constants
33
A=0
B=1
C=−1 D=0
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
5
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
5
0
Fig. 2.1 – Quelques trajectoires de l’edo x (t) = M x(t)
−1
et en appliquant ensuite la formule P etJ P −1 = etP JP = etM , on obtient :
√ ¶ µ it
√ ¶
√
µ √
¶µ
1/√ 2 −i/√2
e
0
1/√2 −i/√ 2
tJ −1
Φ(t) = P e P =
0 e−it
i/ 2 −i/ 2
1/ 2 i/ 2
µ
¶
cos t sin t
=
.
− sin t cos t
Pour tout couple (τ, ξ) ∈ R×R2 , la solution ϕ(t, τ, ξ) de l’edo vérifiant ϕ(τ, τ, ξ) = ξ
est donc :
¶
¶µ
µ
ξ1
cos(t − τ ) sin(t − τ )
.
ϕ(t, τ, ξ) =
ξ2
− sin(t − τ ) cos(t − τ )
µ ¶
1
. On souhaite
On remarque qu’elle est périodique de période 2π. Soit b =
2
maintenant résoudre l’équation avec second membre :
x0 (t) = M x(t) + b,
∀t ∈ R.
Une première méthode consiste à chercher une solution particulière “à la main”.
Par exemple, en cherchant une solution constante, on est amené à résoudre
M x = −b,
et l’on trouve sans difficulté que ϕp = (2, −1)T est une solution. L’unique solution
ϕ(t, τ, ξ) vérifiant ϕ(τ, τ, ξ) = ξ est donc obtenue en appliquant la Proposition 2.2,
c’est à dire :
µ
¶µ
¶ µ
¶
cos(t − τ ) sin(t − τ )
ξ1 − 2
2
ϕ(t, τ, ξ) =
+
.
− sin(t − τ ) cos(t − τ )
ξ2 + 1
−1
Une autre approche consiste à appliquer la méthode de la variation de la constante :
Z
ϕ(t, τ, ξ) = e(t−τ )M ξ +
t
e(t−s)M b ds.
τ
Comme b est une vecteur constant, on peut le sortir de l’intégrale. On doit donc
34
calculer :
Z
t
(t−s)M
e
Z tµ
ds =
τ
µτ
=
cos(t − s) sin(t − s)
− sin(t − s) cos(t − s)
sin(t − τ )
cos(t − τ ) − 1
¶
ds
− cos(t − τ ) + 1
sin(t − τ )
¶
.
Finalement, la solution s’écrit :
µ
ϕ(t, τ, ξ) =
cos(t − τ )
− sin(t − τ )
¶µ
¶
sin(t − τ )
ξ1
cos(t − τ )
ξ2
µ
sin(t − τ )
+
cos(t − τ ) − 1
− cos(t − τ ) + 1
sin(t − τ )
¶µ
1
2
¶
,
et on vérifie quelle coı̈ncide bien avec celle trouvée précédement.
2.4.2
Calculer une exponentielle de matrice dans le cas général
Comme nous venons de le voir, une matrice fondamentale de l’edo (LCC) est
donnée par Φ(t) = etM . Il convient donc de savoir calculer etM pour toute matrice M ∈ L(F ). Pour cela nous allons exploiter le fait que toute matrice de L(F )
est semblable à une matrice de Jordan. Commençons par remarquer que si M est
diagonale par blocs :


M1
0


..
M =
,
.
0
Mk
où chaque Mi est une matrice carrée, alors


etM = 
etM1

0
..

.
.
0
etMk
Soit J la réduite de Jordan de M et P la matrice de passage telle que P −1 M P = J.
Alors, comme cela a été rappelé dans le paragraphe 2.1, M admet q valeurs propres
complexes distinctes (q ≥ 1) notées λ1 , . . . , λq et la matrice de Jordan est diagonale
par blocs.
1
2
s11
r11
r11 r11 + 1 s12 + r12
s12
s13
r12
s1k1
r1k1
d1
sq(kq −1) + rq(kq −1)
N −1N
s1k1 s1k1 + r1k1
sq1
sq(kq −1)
rq(kq −1)
sqkq
rqkq
dq
Fig. 2.2 – Récapitulatif des indices des lignes et des colonnes de la réduite de Jordan
Chaque bloc correspondant à une valeur propre λi est de taille di × di . Il se
compose de ki sous blocs Rij , j = 1, . . . , ki . Chaque sous bloc Rij est de dimensions
2.5 Comportement asymptotique des solutions de (LCC)
35
rij × rij et est de la forme :



Rij = 


λi
1
0
..
.
λi
..
.
0
···

0
.. 
. 
.

1 
λi
0
..
.
..
.
0
Le bloc Rij commence à la colonne sij et se termine à la colonne sij + rij (cf.
figure 2.2), l’un au moins des blocs Rij est de taille αi × αi (on rappelle que αi est
l’ordre de multiplicité géométrique de λi ). Il est facile, en utilisant la définition de
l’exponentielle d’une matrice sous forme de série de prouver que :


t2
trij −1
1 t
.
.
.
2!
(rij −1)!


..


.. ..
..
 0

.
.
.
.


.. . . . .
.
..
2
etRij = etλi 
t
 .

.
.
.
2


 ..

..
..
 .

.
.
t
0 ... ... 0
1
On retrouve ensuite l’expression de etM grâce à la formule etM = P etJ P −1 .
2.5
Comportement asymptotique des solutions de
(LCC)
Rappelons que l’edo (LCC) est une équation linéaire à cœfficients constants qui
s’écrit :
x0 (t) = M x(t), ∀ t ∈ R,
avec M ∈ L(F ). On peut énoncer le
Théorème 2.4 On note λ1 , . . . , λq les valeurs propres de M . L’ordre de multiplicité
algébrique de λi est di et son ordre de multiplicité géométrique est αi . Alors, toute
solution de (LCC) est bornée ssi
1. Re (λi ) ≤ 0, ∀ i = 1, . . . , q,
2. (Re (λi ) = 0) ⇒ αi = 1.
Toute solution de (LCC) tend vers 0 quand t → ∞ ssi Re (λi ) < 0, pour tout
i = 1, . . . , q.
Démonstration : Comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, une matrice fondamentale de l’edo (LCC) est etM . Notons P la matrice inversible de L(F )
vérifiant P −1 M P = J, où J est la réduite de Jordan de M . Alors, d’après une
propriété des matrices fondamentales, Φ(t) = etM P est encore une matrice fondamentale. La relation P −1 etM P = etJ entraı̂ne que Φ(t) = P etJ . D’après les résultats
établis concernant l’exponentielle d’une matrice, etJ est une matrice diagonale par
blocs, chaque bloc étant de la forme :


trij −1
t2
.
.
.
1 t
2!
(rij −1)!


..


.. ..
..

 0
.
.
.
.


.. . . . .
,
..
2
etRij = etλi 
t

 .
.
.
.
2



 ..
..
.

 .
. ..
t
0
... ...
0
1
36
et de taille rij × rij avec rij ≤ αi , l’un au moins de ces blocs étant exactement de
taille αi ×αi . Pour tout l ∈ {1, . . . , N }, il existe donc un unique indice i ∈ {1, . . . , q},
un unique indice j ∈ {1, . . . , ki } et un unique β ∈ {1, . . . , rij } tels que l = sij +β (cf.
figure 2.2). On en déduit que la colonne ϕl (t) de la matrice Φ(t) a pour expression :
ϕl (t) = etλi
µ
¶
tβ−1
Psij + Psij +1 t + . . . + Psij +β
,
(β − 1)!
où P1 , . . . PN désignent les vecteurs colonne de la matrice P . En faisant tendre
t → ∞, on a l’équivalence :
kϕl (t)kF +∞
∼ exp(Re (λi (t))
tβ−1
kPsij +β kF ,
(β − 1)!
pour tout l = 1, . . . , N . La matrice P étant inversible, aucune de ses colonnes n’est
le vecteur nul. Toute solution ϕ de l’edo (LCC) s’obtenant comme combinaison
linéaire des ϕl , on en déduit la deuxième partie du Théorème : ϕ(t) tend vers 0 ssi
Re (λi ) < 0 pour tout i = 1, . . . q.
Comme d’autre part β ≤ αi et qu’il existe au moins un indice l pour lequel
β = αi , on est déduit également la première équivalence du Théorème.
¥
A partir des calculs faits dans cette démonstration, on peut déduire
Corollaire 2.1 Soit M ∈ L(F ) telle que Re (λi ) < 0 pour toute valeur propre λi
de M . Alors, pour tout 0 < σ < min{−Re λi }, il existe une constante Cσ > 0 telle
i
que
ketM kL(F ) ≤ Cσ e−tσ ,
∀ t ≥ 0.
Démonstration : Comme dans la démonstration du Théorème, notons J la réduite
de Jordan de M et P la matrice inversible telle que P −1 M P = J. Pour tout x ∈ F ,
−1
ketM xkF = ketP JP xkF = kP etJ P −1 xkF . Notons y = P −1 x et ϕl (t) les vecteurs
colonnes de la matrice P etJ . On obtient alors que :
ketM xkF = k
N
X
yl ϕl (t)kF ≤
N
X
l=1
|yl |kϕl (t)kF ≤ C1
l=1
N
X
kϕl (t)kF ,
l=1
avec C1 = max{|yl |, l = 1, . . . , N } = kyk∞ = kP −1 xk∞ . Comme toutes les normes
sont équivalentes, kP −1 xk∞ ≤ C2 kP −1 kL(F ) kxkF ≤ C3 kxkF . Finalement, en choisissant σ comme dans l’énoncé, on obtient :
tM
ke
σt
xkF e
≤ C3 kxkF
ÃN
X
!
kϕl (t)kF
etσ .
l=1
Du comportement asymptotique de ϕl (t) établi dans la démonstration du Théorème,
on déduit qu’il existe Cσ > 0 tel que
C3
ÃN
X
!
kϕl (t)kF
etσ ≤ Cσ ,
∀ t ≥ 0,
l=1
ce qui conclu la démonstration du Corollaire.
¥
2.6 Edo linéaire d’ordre n à cœfficients constants
2.6
37
Edo linéaire d’ordre n à cœfficients constants
Soient a0 , a1 , . . . , an−1 , n complexes. Considérons l’edo linéaire d’ordre n :
x(n) (t) + an−1 x(n−1) (t) + . . . + a1 x0 (t) + a0 x(t) = 0.
(LAn )
Comme nous l’avons déjà remarqué dans la chapitre 1, cette équation peut se mettre
sous forme résolue :
X 0 (t) = AX(t),
où

x(t)
x0 (t)
..
.



X(t) = 

 x(n−2) (t)
x(n−1) (t)











et A = 



0
..
.
..
.
0
−a0
1
0
..
.
0
−a1
0
..
.
..
.
...
...
...
..
.
..
.
0
−an−2
0
..
.
0
1
−an−1




.



En cherchant la réduite de Jordan de A, on établit :
Lemme 2.1 Le polynôme caractéristique de la matrice A est :
χA (λ) = λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 .
La matrice A est alors la matrice compagnon de son polynôme caractéristique.
Démonstration : D’après la définition :
¯
¯ λ
¯
¯
¯ 0
¯
χA (λ) = det(λIn − A) = ¯¯ ..
¯ .
¯ 0
¯
¯ a0
−1
λ
..
.
...
a1
0
..
.
..
.
0
...
...
..
.
..
.
λ
an−2
0
..
.
0
−1
λ + an−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
¯
¯
Notons L1 , L2 , . . . , Ln les lignes de la matrice apparaissant à droite dans l’expression
ci-dessus. En supposant que λ 6= 0, on peut remplacer la dernière ligne par
·
¸
a0
1³
a0 ´
1³
a0 ´
Ln −
L1 +
a1 +
L2 + . . . +
an−2 + . . . + n−2 Ln−1 ,
λ
λ
λ
λ
λ
sans changer la valeur du déterminant. Le
¯
¯ λ −1 0
¯
¯
¯ 0 λ ...
¯
¯ .. . .
..
¯ .
.
.
¯
¯ .
.
..
¯ ..
¯
¯ 0 ... ...
déterminant à calculer est alors :
¯
...
0 ¯¯
.. ¯
..
.
. ¯¯
¯
..
.
0 ¯¯ ,
¯
λ
−1 ¯¯
0 P (λ) ¯
où P (λ) = λ + an−1 + λ−1 an−2 + . . . + λ−(n−1) a0 . La matrice étant maintenant diagonale, on obtient facilement le résultat annoncé. Si λ = 0, on calcul le déterminant
en développant par rapport à la première colonne et on trouve bien que χA (0) = a0 .
¥
Le Théorème suivant donne explicitement les solutions de (LAn ).
38
Théorème 2.5 Soient λ1 , . . . λq les valeurs propres distinctes de la matrice A (c’est
à dire les racines de χA ), chaque λi ayant pour ordre de multiplicité algébrique di .
Alors les fonctions tki eλi t avec i = 1, . . . , q et ki = 0, . . . , di − 1 sont n solutions
linéairement indépendantes de l’edo (LAn ).
Démonstration : Notons L l’opérateur différentiel associé à l’edo (LAn ), c’est à
dire que pour toute fonction ϕ, n fois dérivable :
Lϕ(t) = ϕ(n) (t) + an−1 ϕ(n−1) (t) + . . . + a1 ϕ0 (t) + a0 ϕ(t),
et pour tout k ∈ N et tout λ ∈ C, calculons :
¶
µ k
¢
∂k
∂k ¡
∂ tλ
L(tk etλ ) = L
e
=
L(eλt ) =
χA (λ)eλt .
k
k
k
∂λ
∂λ
∂λ
En appliquant alors la formule de Newton pour dériver un produit de fonctions,
nous obtenons :
" k µ
#
k ¡
X k ¶ (p)
¢
∂
L(tk etλ ) =
χA (λ)eλt =
χA (λ)tk−p eλt .
p
∂λk
p=0
Si λi est une racine d’ordre di de χA (λ), cela signifie que χA (λi ) = χ0A (λi ) = . . . =
(d −1)
χA i (λi ) = 0, ce qui prouve avec la formule ci-dessus que les fonctions tki eλi t sont
bien des solutions de (LAn ). Montrons qu’elles sont linéairement indépendantes :
Supposons qu’il existe un ensemble de n constantes cij ∈ C avec i = 1, . . . , q,
j = 1, . . . , di − 1, non toutes nulles, telles que
q dX
i −1
X
cij tj eλi t ≡ 0.
i=1 j=1
On peut réécrire cette relation
σ
X
Pi (t)e
λi t
≡0
avec
Pi (t) =
i=1
dX
i −1
cij tj ,
j=1
et où σ est le plus grand indice ≤ q tel que Pσ ≡
/ 0. En multipliant cette relation
par e−λ1 t , on obtient :
P1 (t) +
σ
X
Pi (t)e(λi −λ1 )t ≡ 0.
i=2
Comme deg(P1 ) ≤ d1 − 1, en dérivant d1 fois on obtient :
σ
X
i=2
Qi (t)e(λi −λ1 )t ≡
σ
X
Qi (t)eλi t ≡ 0,
i=2
où chaque Qi (t) est un polynôme vérifiant deg(Qi (t))=deg(Pi (t)) pour tout i =
2, . . . , σ (utiliser la formule de Newton pour dériver un produit). Réitérant cette
opération, on finit par obtenir un polynôme F (t) du même degré que Pσ (t) et
vérifiant F (t) ≡ 0, ce qui est impossible.
¥
Terminons ce chapitre par un exemple qui utilise une partie des résultats que nous
venons d’établir.
2.7 L’équation de Sturm-Liouville
2.7
39
L’équation de Sturm-Liouville
Soient a0 (t) et a1 (t) deux fonctions réelles définies et continues sur un intervalle
I ⊂ R. On souhaite étudier la position des zéros des solutions de l’edo :
x00 (t) + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = 0,
(S)
appelée équation de Sturm-Liouville. En introduisant X = (x(t), x0 (t))T , cette
équation se met sous forme résolue :
µ
¶
0
1
X 0 (t) =
X(t).
−a0 (t) −a1 (t)
On sait (résultat concernant les edo linéaires homogènes) que l’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2. On note
µ 0
¶
ϕ1 (t) ϕ02 (t)
Φ(t) =
,
ϕ1 (t) ϕ2 (t)
une matrice fondamentale. On a alors :
Théorème 2.6 Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions indépendantes de (E). Alors, entre
deux zéros consécutifs de ϕ1 il existe exactement un zéro de ϕ2 .
Démonstration : Soient u et v deux zéros consécutifs de ϕ1 (c’est à dire que
ϕ1 (u) = ϕ1 (v) = 0 et ϕ1 (t) 6= 0 pour tout t ∈]u, v[). Le Wronskien de Φ(t) est
WΦ (t) = det Φ(t) = ϕ01 (t)ϕ2 (t) − ϕ02 (t)ϕ1 (t).
On sait que le Wronskien est toujours non nul donc WΦ (u) 6= 0 et WΦ (v) 6= 0, ce qui
entraı̂ne que ϕ2 (u) 6= 0 et ϕ2 (v) 6= 0. Supposons que ϕ2 ne s’annule pas sur ]u, v[,
alors la fonction f = ϕ1 /ϕ2 est bien définie sur cet intervalle et f (u) = f (v) = 0.
D’après le Théorème des accroissements finis, il existerait un point c ∈]u, v[ tel que
f 0 (c) = 0 = −WΦ (c)/ϕ22 (c), ce qui contredit WΦ (t) 6= 0 pour tout t ∈ I. Il existe
donc au moins un zéro de ϕ2 entre u et v. S’il en existait deux, notons les t1 et
t2 , alors par symétrie des rôles joués par ϕ1 et ϕ2 , il existerait un autre zéro de ϕ1
entre t1 et t2 , ce qui est absurde puisque ϕ1 (t) 6= 0 pour tout t ∈]u, v[.
¥
On suppose maintenant de plus que a1 est continuement dérivable sur I. Soient
(t0 , x0 , x1 ) ∈ I × R × R et ϕ la solution de (E) vérifiant ϕ(t0 ) = x0 et ϕ0 (t0 ) = x1 .
Alors
µ Z t
¶
1
φ(t) = ϕ(t) exp
a1 (s) ds ,
2 t0
est l’unique solution de l’edo de Sturm-Liouville réduite
y 00 (t) + q(t)y(t) = 0,
(SR)
où q(t) = −a01 (t)/2−a21 (t)/4+a0 (t), telle que φ(t0 ) = x0 et φ0 (t0 ) = x1 +a1 (t0 )x0 /2.
De plus les fonctions ϕ et φ ont les mêmes zéros. On peut donc se restreindre aux
cas où l’edo de Sturm-Liouville est sous la forme (SR).
Théorème 2.7 Soit [t1 , t2 ] ⊂ I un intervalle sur lequel q(t) ≤ 0. Alors toute solution non identiquement nulle de (SR) a au plus un zéro dans [t1 , t2 ].
Démonstration : Soit φ une solution de (SR) non identiquement nulle et θ ∈ [t1 , t2 ]
un zéro de φ. Comme φ n’est pas identiquement nulle, φ0 (θ) 6= 0 (en effet, la seule
solution de (SR) vérifiant les conditions de Cauchy φ(θ) = φ0 (θ) = 0 est la solution identiquement nulle par unicité de la solution). Supposons par exemple que
40
φ0 (θ) > 0. Par continuité de φ0 , il existe δ > 0 tel que sur ]θ, θ + δ[ on ait φ0 (t) > 0.
Posons J = {c ∈]θ, b] tels que φ0 (t) > 0 sur ]θ, c[}. Nous venons de montrer que
θ + δ ∈ J. Notons c∗ = sup J. Si c∗ < b alors par continuité de φ0 sur I, φ0 (c∗ ) = 0.
Or φ(θ) = 0 et φ0 (t) > 0 sur ]θ, c∗ [, donc φ(t) > φ(θ) > 0 sur ]θ, c∗ [. D’après l’edo
(SR), φ00 (t) = −q(t)φ(t) ≥ 0 sur ]θ, c∗ [. On en déduit que φ0 est croissante sur
]θ, c∗ [ et donc φ0 (c∗ ) ≥ φ0 (θ) > 0 ce qui contredit la maximalité de c∗ . Finallement,
φ est strictement croissante et donc ne s’annule pas sur ]θ, b] (si on avait supposé
φ0 (θ) < 0, on aurait obtenu que φ était strictement décroissante). Supposons qu’il
existe un autre zéro de φ, noté λ, sur [a, θ[. Un raisonnement analogue entraı̂nerait
que φ doit être soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur ]λ, θ[ ce
qui contredit l’assertion φ(θ) = 0.
¥
Le Théorème suivant permet de comparer la position des zéros pour deux solutions d’edo de Sturm-Liouville sous forme réduite.
Théorème 2.8 Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions sur I respectivement de
x00 (t) + q1 (t)x(t) = 0,
x00 (t) + q2 (t)x(t) = 0.
(SR1)
(SR2)
On suppose que q1 (t) ≥ q2 (t) sur I. Alors, entre deux zéros consécutifs de ϕ2 il
existe au moins un zéro de ϕ1 .
Démonstration : Soient u et v deux zéros consécutifs de ϕ2 et supposons par
exemple que ϕ2 (t) > 0 sur ]u, v[. Cela entraı̂ne que ϕ02 (u) ≥ 0 et ϕ02 (v) ≤ 0.
Supposons également que ϕ1 ne s’annule pas sur ]u, v[, par exemple ϕ1 (t) > 0.
Par analogie avec ce que nous avons fait dans la démonstration du Théorème 2.6,
notons :
W (ϕ1 , ϕ2 )(t) = ϕ1 (t)ϕ02 (t) − ϕ2 (t)ϕ01 (t).
Alors W (ϕ1 , ϕ2 )(u) = ϕ1 (u)ϕ02 (u) ≥ 0 et W (ϕ1 , ϕ2 )(v) = ϕ1 (v)ϕ02 (v) ≤ 0. Or un
simple calcul nous donne :
W 0 (ϕ1 , ϕ2 )(t) = ϕ1 (t)ϕ002 (t) − ϕ2 (t)ϕ001 (t) = ϕ1 (t)ϕ2 (t)(q1 (t) − q2 (t)) ≥ 0,
sur ]u, v[ de sorte que W (ϕ1 , ϕ2 ) devrait être croissante, d’où la contradiction. Les
autres cas se traı̂tent de la même façon.
¥
Soient ν ∈ R+ . Considérons l’edo suivante, définie sur ]0, ∞[ :
µ
¶
1 0
ν2
00
x (t) + x (t) + 1 − 2 x(t) = 0,
t
t
appelée équation de Bessel. Sous forme réduite, elle s’écrit :
µ
¶
1 − 4ν 2
y 00 (t) + 1 +
y(t) = 0.
4t2
(B)
Nous allons comparer les zéros ce cette edo avec ceux de
x00 (t) + x(t) = 0,
dont les solutions sont ϕ(t) = A sin(t − θ), A ∈ R, θ ∈ R. Distinguons trois cas :
– Soit 0 ≤ ν ≤ 1/2, alors 1 + (1 − 4ν 2 /4t2 ) > 1 et toute solution de (B) admet
au moins un zéro dans tout intervalle de longueur π.
– Soit ν > 1/2, alors 1 + (1 − 4ν 2 /4t2 ) ≤ 1 et les zéros (éventuels) des solutions
de (B) sont distants d’une longueur plus grande que π.
41
– Si ν = 1/2, les solutions de (B) sont A sin(t + θ) et les zéros sont écartés d’une
distance exactement égale à π.
On démontre qu’en fait, les solutions des edo de Bessel, quelque soit ν, ont toujours
une infinité de zéros sur ]0, ∞[.
1
J0
0,8
J1
0,6
J2
0,4
J3 J
4
0,2
0
-0,2
-0,4
0
5
10
15
20
25
x
Fig. 2.3 – Les fonctions de Bessel de première espèce Jν , solutions de (B) pour
ν = 0, 1, . . . , 4.
2.8
Exercice 2.1 On définit les matrices




1 −1 4
1/3
1/6 1/2
A =  3 2 −1  , P =  −1/3 −2/3 1 
2 1 −1
−1/3 −1/6 1/2
et

P −1
Vérifier que
1
= 1
1
1
−2
0

−3
3 .
1


−2 0 0
P −1 AP =  0 1 0  .
0 0 3
On note ensuite X(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t))T . Résoudre le problème de Cauchy :


1
X 0 (t) = AX(t), X(0) =  0  .
−1
Exercice 2.2 On se donne cette fois les matrices :



−4 −4 0
−4
9 1 , P =  6
B =  10
−4 −3 1
−2

−6 1
10 0 
−4 0
42
et


0
1
5/2
P −1 =  0 −1/2 −3/2  .
1
1
1


2 1 0
Vérifier que P −1 BP =  0 2 1  puis résoudre le problème de Cauchy :
0 0 2

2
X(0) =  1  .
−1

X 0 (t) = BX(t),
Exercice 2.3 On pose X(t) = (x1 (t), x2 (t))T .
1. Intégrer le système différentiel linéaire homogène :
·
¸
1 −1
X 0 (t) =
X(t).
1 3
2. En appliquant la méthode de la variation de la constante, résoudre ensuite le
système avec second membre :
·
¸
µ
¶
1 −1
−t2
0
X (t) =
X(t) +
.
1 3
2t
Exercice 2.4
1. Soient ϕ, ψ et χ trois fonctions réelles, continues par morceaux
sur un intervalle I = [a, b]. On suppose de plus que χ(t) > 0 sur I et que pour
tout t ∈ I :
Z
t
ϕ(t) ≤ ψ(t) +
χ(s)ϕ(s) ds.
a
Montrer qu’on a alors l’estimation de Gronwall suivante sur I :
µZ t
¶
Z t
ϕ(t) ≤ ψ(t) +
χ(s)ψ(s) exp
χ(u) du ds.
a
Indication : On posera R(t) =
χψ.
s
Rt
χ(s)ϕ(s)ds et on montrera que R0 − χR ≤
a
2. Soit t ∈ R+ 7→ A(t) ∈ L(E) une application continue. Supposons qu’il existe
une matrice fondamentale Φ de l’edo x0 (t) = A(t)x(t) qui soit uniformément
bornée sur R+ et telle que
µZ
lim inf Re
t→∞
¶
t
tr A(s)ds
> −∞.
0
Démontrer que Φ−1 est uniformément bornée sur R+ et que la seule solution
vérifiant limt→∞ ϕ(t) = 0 est la solution identiquement nulle.
3. Soit B une autre matrice continue sur R+ vérifiant
Z ∞
kA(t) − B(t)kL(E) dt < ∞.
0
Montrer que toute solution ψ de l’edo x0 (t) = B(t)x(t) est bornée sur R+ .
Rt
Indication : Remarquer que ψ(t) = ϕ(t)+ t0 Φ(t)Φ(s)−1 (B(s)−A(s))ψ(s) ds
et utiliser la question 1.
43
4. Montrer que pour toute solution ϕ de l’edo de la question 2., il existe une
unique solution ψ à l’edo de la question 3. vérifiant ϕ(t) − ψ(t) → 0 quand
t → ∞.
R∞
Indication : Remarquer que ψ(t) = ϕ(t)− t Φ(t)Φ(s)−1 (B(s)−A(s))ψ(s) ds.
5. On suppose maintenant que
Z
0
∞
kB(t)kL(E) < ∞.
Montrer que toute solution de l’edo x0 (t) = B(t)x(t), non identiquement nulle,
tend vers une limite non nulle quand t → ∞. Montrer de plus que pour tout
vecteur c ∈ E, il existe une unique solution ψ vérifiant ψ(t) → c quand t → ∞.
Exercice 2.5 (tiré de l’examen 2007) Soit A ∈ L(E) (E = RN ) une matrice
diagonalisable dont les valeurs propres λi vérifient Re(λi )< 0 pour tout i = 1, . . . , N
et soit t ∈ R+ 7→ B(t) ∈ L(E) une application continue telle que
Z
kB(s)kL(E) ds < +∞.
R+
On note
σ = − max {Re(λi )},
i=1,...,N
et on souhaite étudier le comportement asymptotique des solutions ϕ(t) du problème
de Cauchy :
½ 0
x (t) = (A + B(t))x(t)
(2.1)
x(0) = x0 .
1. Montrer que si B(t) = 0 pour tout t ∈ R+ alors il existe une constante C > 0
telle que kϕ(t)kE ≤ Ckx0 kE e−σt pour tout t ≥ 0.
2. En notant φ(t) = ϕ(t)eσt , montrer que
Z
t
kφ(t)kE ≤ Ckx0 kE + C
0
kB(s)kL(E) kφ(s)kE ds ∀ t ≥ 0.
3. Appliquer une inégalité de Gronwall (vue dans l’exercice précédent) pour obtenir le même résultat que dans la question 1.
Exercice 2.6 Le but de cet exercice est d’étudier le caractère borné des solutions
de l’edo :
x00 (t) + q(t)x(t) = 0,
(E)
où q : R → R est une fonction continue, π−périodique, paire. Cette équation s’appelle l’équation de Hill-Mathieu.
Préliminaires :
1. Traiter le problème de l’existence et de l’unicité de solutions pour l’edo (E).
On note S l’ensemble des solutions et {ϕ1 , ϕ2 } la base canonique de S associée
au point t0 = 0 (i.e. ϕ1 (0) = 1, ϕ01 (0) = 0 et ϕ2 (0) = 0, ϕ02 (0) = 1).
2. On considère l’application A : S → S qui à toute solution ϕ de (E) associe
la solution Aϕ : t ∈ R → ϕ(t + π). Quelle est la nature de cette application ?
Donner l’expression de la matrice de A dans la base {ϕ1 , ϕ2 }. Vérifier que
tr A = ϕ1 (π) + ϕ02 (π).
Première partie :
44
1. On pose ψ1 (t) = ϕ1 (−t). Montrer que ψ1 est solution de (E). En déduire que
ψ1 ≡ ϕ1 et donc que ϕ1 est paire.
2. En procédant de la même façon avec la fonction ψ2 (t) = −ϕ2 (−t), montrer
que ϕ2 est impaire.
3. On note W (ϕ1 , ϕ2 ) le Wronskien associé à ϕ1 et ϕ2 . Montrer que W (ϕ1 , ϕ2 )
est de classe C 1 et qu’il est constant sur R (il vaut toujours 1).
4. Déduire de la question précédente la valeur de det A puis expliciter A−1 . En
remarquant que l’on a aussi A−1 ϕ(t) = ϕ(t − π) pour toute solution ϕ de (E),
en déduire que ϕ1 (π) = ϕ02 (π).
Deuxième partie : Nous allons démontré les points suivants :
– |tr A| < 2 ⇒ toute solution de (E) est bornée.
– |tr A| = 2 ⇒ l’edo (E) possède une solution non nulle bornée.
– |tr A| = 2 ⇔ ϕ01 (π)ϕ2 (π) = 0.
– |tr A| > 2 ⇒ toute solution non nulle de (E) est non bornée.
1. Expliciter le polynôme caractéristique χA (λ) de A. En déduire que si |tr A| <
2, χA admet deux racines complexes conjuguées distinctes de module 1, notées
λ et λ̄.
2. On note u1 et u2 deux vecteurs propres associés respectivement à λ et λ̄. On
rappelle qu’alors {u1 , u2 } est une base de S. Vérifier que les fonctions |u1 | et
|u2 | sont π−périodiques, continues. En déduire qu’elles sont bornées puis que
toute solution de (E) est bornée.
3. On suppose que |tr A| = 2. En procédant comme dans la question précédente,
montrer qu’il existe une solution u non nulle à l’edo (E) vérifiant u(t + π) =
±u(t). En déduire que u est bornée.
4. Montrer l’équivalence |tr A| = 2 ⇔ ϕ01 (π)ϕ2 (π) = 0.
5. Montrer que si |tr A| > 2, les racines de χA sont λ et 1/λ avec λ ∈ R et
|λ| > 1. On note u1 et u2 les vecteurs propres de A associés à λ et 1/λ.
6. soit ϕ une solution de (E). En écrivant ϕ dans la base {u1 , u2 }, déterminer
ϕ(t + nπ), n ∈ Z. En déduire que ϕ(t + nπ) → +∞ lorsque n → +∞ ou
lorsque n → −∞.
Chapitre 3
Annales des partiels
3.1
Partiel 2005-2006
On considère l’edo linéaire d’ordre 2 avec second membre :
x00 (t) + p(t)x0 (t) + q(t)x(t) = g(t),
(E)
définie sur I = [a, b] où p, q et g sont trois fonctions données continues sur I. Soient
α et β deux réels. On dit qu’une solution ϕ de (E) vérifie les conditions aux
limites (LE ) lorsque :
ϕ(a) = α et ϕ(b) = β.
(LE )
On introduit également l’équation homogène associée à (E) :
x00 (t) + p(t)x0 (t) + q(t)x(t) = 0.
(H)
On dira qu’une solution ϕ de (H) vérifie les conditions aux limites homogènes
(LH ) lorsque :
ϕ(a) = 0 et ϕ(b) = 0.
(LH )
Le but de ce devoir est de démontrer le
Théorème 3.1 (Alternative de Fredholm) L’équation (E) admet pour tout α
et β une solution unique vérifiant (LE ) si et seulement si le problème homogène
(H)+(LH ) admet ϕ ≡ 0 comme unique solution.
1. Mettre les edo (E) et (H) sous forme résolue :
et
X 0 (t) = M (t)X(t) + G(t),
(ER )
X 0 (t) = M (t)X(t),
(HR )
où X : t ∈ I 7→ R2 et où l’on précisera l’expression de la matrice M (t) et de
la fonction G : t ∈ I 7→ R2 .
2. Rappeler succintement les résultats du cours concernant l’existence et l’unicité
de solutions pour (ER ) et (HR ).
3. On considère ϕ1 et ϕ2 deux solutions de (H) vérifiant respectivement ϕ1 (a) =
0, ϕ01 (a) = −1 et ϕ2 (b) = 0, ϕ02 (b) = 1. A partir de ces solutions, expliciter une
matrice solution de (HR ) ainsi que son Wronskien que l’on note W (ϕ1 , ϕ2 )(t).
4. On suppose dans la suite que W (ϕ1 , ϕ2 )(a) 6= 0. Que vaut W (ϕ1 , ϕ2 )(b) ? Soit
ϕ une solution de (H). Expliquer pourquoi il existe deux réels A1 et A2 tels
que ϕ = A1 ϕ1 + A2 ϕ2 .
46
Chap. 3: Annales des partiels
5. Montrer que si la solution ϕ de la question précédente vérifie de plus (LH )
alors ϕ ≡ 0.
6. Soit ψ la solution particulière de (E) qui vérifient ψ(a) = ψ 0 (a) = 0. Donner
la forme, en fonction de ϕ1 , ϕ2 et ψ, de toute solution f de (E). En déduire
qu’il existe une et une seule solution de (E) qui vérifie (LE ) (α et β étant
donnés).
7. On suppose maintenant que W (ϕ1 , ϕ2 )(a) = 0. Quelle type de relation existet-il entre ϕ1 et ϕ2 ? En déduire que le problème (H)+(LH ) admet une infinité
de solutions non nulles.
8. On note ϕ3 une solution de (H) linéairement indépendante de ϕ1 (et donc
aussi de ϕ2 ). Donner les expressions de W (ϕ1 , ϕ3 )(a) et W (ϕ2 , ϕ3 )(b).
9. En procédant comme dans la question 6, montrer que le problème (E)+(LE )
admet soit une infinité de solutions si :
W (ϕ1 , ϕ3 )(a)(ψ(b) − β) − αW (ϕ2 , ϕ3 )(b) = 0,
soit aucune solution si cette relation n’est pas satisfaite.
10. Démontrer le Théorème ci-dessus.
11. Application : On pose I = [0, π]. Donner deux solutions linéairement indépendantes
de x00 (t)+x(t) = 0. On ajoute les conditions aux limites x(0) = x(π) = 0. Selon
l’alternative de Fredholm, combien y-a-t-il de solutions à l’edo x00 (t) + x(t) =
g(t) avec les conditions aux limites x(0) = α et x(π) = β (g, α et β sont
donnés et on ne demande pas de résoudre) ?
3.2
Partiel 2006-2007
Exercie 1 : Le but de cet exercice est d’étudier les solutions du problème de Cauchy
suivant :

µ
¶
1
 0
y (t) = sin
,
(C)
y(t)

y(0) = y0 ∈ R∗ .
1. Préliminaires :
(a) Que pouvez vous dire quant à l’existence et l’unicité d’une solution maximale pour (E) ? (citer précisément le théorème du cours).
(b) La valeur de y0 étant fixée, on note T− et T+ les bornes de l’intervalle
sur lequel est définie la solution maximale ϕ de (E). D’après de cours,
décrivez les divers comportements possibles de cette solution lorsque t →
T+ .
(c) Soit ϕ est la solution maximale correspondant à une donnée initiale
y0 . Quelle est la solution correspondant à la donnée −y0 ? On choisit
dorénavant y0 ∈ R∗+ .
2. On suppose que y0 ∈]0, 1/π] :
(a) Déterminer les solutions constantes de l’edo. En déduire que si y0 ∈
]0, 1/π], la solution maximale de (E) est bornée. Que valent T− et T+ ?
(b) Montrer que dans ce cas la solution est monotone sur (T− , T+ ). En
déduire qu’elle admet des limites l− et l+ lorsque t → T− et t → T+ .
¾
½
1
1
,
où k est en entier dont vous
(c) Montrer que {l+ , l− } ⊂
(k + 1)π kπ
préciserez la valeur en fonction de y0 (utiliser l’écriture de la solution
sous forme intégrale).
3.2 Partiel 2006-2007
47
3. On suppose que y0 > 1/π :
(a) Que valent T− et T+ ?
(b) Montrer que ϕ est strictement croissante sur (T− , T+ ) puis que lim ϕ(t) =
t→T−
1/π.
(c) En admettant que la fonction y 7→
montrer que :
sin(y)
est décroissante sur ]0, π],
y
µ
2
ϕ (t) ≥
y02
+ 2y0 sin
1
y0
¶
t,
pour tout t ∈ [0, T+ ). En déduire lim ϕ(t).
t→T+
sin(y)
= 1 + ε(y) où ε(y) est une fonction qui tend vers
y
0 lorsque y tend vers 0. Montrer que pour tout t ∈ [0, T+ ) :
(d) On rappelle que
ϕ(t)2 = y02 + 2(1 + εe(t))t,
où εe(t) tend vers 0 quand t → +∞. En déduire un équivalent de ϕ en
T+ .
48
Chap. 3: Annales des partiels
4. Représentation graphique :
(a) Soient ϕ et ϕ
e deux solutions telles que les conditions initiales correspondantes
y
et
ye0· soient toutes les deux dans un même intervalle du type
0
¸
1
1
,
, k ∈ N∗ ou ]1/π, +∞[. Montrer qu’alors, ϕ(t)
e = ϕ(t + e
t)
(k + 1)π kπ
avec e
t = ϕ−1 (e
y0 ) (expliquer pourquoi ϕ−1 est bien définie et préciser son
domaine de départ et d’arrivée).
(b) Dessiner quelques solutions
de (E) ·en choisissant les données initiales
¸
1
1
,
dans un intervalle
, k ∈ N∗ . Faire un autre dessin en
(2k + 2)π 2kπ
choisissant cette fois y0 > 1/π.
Exercie 2 : Dans cet exercice, on souhaite prouver le résultat suivant : si ϕ1 et ϕ2
sont deux solutions indépendantes de l’edo
x00 (t) + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x = 0,
(E)
où a1 et a0 sont deux fonctions réelles continues sur un intervalle I = [a, b] ⊂ R,
alors entre deux zéros consécutifs de ϕ1 il existe exactement un zéro de ϕ2 .
1. Mettre l’edo (E) sous forme résolue :
X 0 (t) = M (t)X(t),
(ER)
où X : t ∈ I 7→ R2 et où l’on précisera l’expression de la matrice M (t).
2. Traiter la question de l’existence et de l’unicité de solutions à l’ode (E).
Préciser la notion de solutions indépendantes.
3. Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions linéairement indépendantes de (E). En déduire
l’expression d’une matrice fondamentale de l’edo (ER) et du Wronskien (que
l’on note W (ϕ1 , ϕ2 )(t)).
4. Soient u et v deux zéros consécutifs de ϕ1 dans I (i.e. ϕ1 (u) = ϕ1 (v) = 0 et
ϕ(t) 6= 0 ∀ t ∈]u, v[). En utilisant les propriétés du Wronskien, prouver que
ϕ2 (u) 6= 0 et ϕ2 (v) 6= 0.
5. On suppose que ϕ2 (t) 6= 0, ∀ t ∈]u, v[. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction f = ϕ1 /ϕ2 et en utilisant encore une fois les
propriétés du Wronskien, montrer que l’on aboutit à une contradiction.
6. En remarquant que les fonctions ϕ1 et ϕ2 jouent un rôle symétrique et en
faisant une démonstration par l’absurde, prouver qu’il ne peut y avoir qu’un
seul zéro de ϕ2 dans ]u, v[.
Chapitre 4
Stabilité des équations
différentielles autonomes
4.1
Définitions
Soit Ω un ouvert de E = RN et f une fonction à valeurs réelles de classe C 1 sur
Ω. Une équation différentielle autonome est une edo du type :
x0 (t) = f (x(t)).
(EA)
D’après les résultats établis dans le chapitre 1, pour tout t0 ∈ R et pour tout
x0 ∈ Ω, il existe une unique solution maximale ϕ(t, t0 , x0 ) à l’edo (EA) qui vérifie
ϕ(t0 , t0 , x0 ) = x0 . Si l’on note φ(t, x0 ) la solution définie sur (a, b) ⊂ R (−∞ ≤ a <
b ≤ +∞) qui vaut x0 lorsque t = 0 (i.e. φ(t, x0 ) = ϕ(t, 0, x0 )) alors
φ(τ + s, x0 ) = φ(τ, φ(s, x0 )),
∀ s ∈ (a, b), ∀ τ ∈ (a − s, b − s).
φ(τ + s, x0 ) = φ(τ, φ(s, x0 ))
t=τ +s
t=s
φ(s, x0 )
x0
t=0
La démonstration est une conséquence de l’unicité des solutions maximales. Les
courbes paramétrées t 7→ φ(t, x0 ) sont les orbites (ou trajectoires) de l’edo (EA).
En TD, nous avons démontré le Théorème suivant :
Théorème 4.1 Si x
e = (e
x1 , . . . , x
eN )T est un point de Ω pour lequel f (e
x) = (f1 (e
x), . . . , fN (e
x))T 6=
0 (par exemple, pour fixer les idées, f1 (e
x) 6= 0) alors il existe un voisinage V de x
e
dans Ω, δ > 0 et ω un voisinage de (e
x2 , . . . , x
eN )T dans RN −1 tels que l’application
F :] − δ, δ[×ω → V
(t, y) 7→ F (t, y) = φ(t, (e
x1 , y)),
soit un C 1 difféomorphisme.
50
Chap. 4: Stabilité des équations différentielles autonomes
F
x2 t = −δ
t=0
δ
t=δ
(0, x
e2 ) ω
(e
x1 , x
e2 )
0
x2
−δ
x1
F −1
0
t
En d’autres termes, il existe sur un voisinage de x
e un difféomorphisme qui envoie
les trajectoires de (EA) sur des droites parallèles. Intéressons nous maintenant au
comportement des orbites au voisinage des points où f s’annule.
Définition 4.1 Un point d’équilibre (ou point critique) de l’edo (EA) est un point
x0 ∈ Ω pour lequel f (x0 ) = 0.
On remarque que pour un tel point, φ(t, x0 ) ≡ x0 pour tout t d’où la dénomination
“point d’équilibre”.
Définition 4.2 Un point d’équilibre x0 est dit
– Stable si : Pour tout ε > 0 il existe δε > 0 tel que, pour tout x ∈ Ω vérifiant
kx − x0 kE ≤ δε , φ(t, x) est définie pour tout t ≥ 0 et kφ(t, x) − x0 kE < ε pour
tout t ≥ 0.
– Instable s’il n’est pas stable.
– Asymptotiquement stable s’il est stable et s’il existe δ > 0 tel que kx−x0 kE <
δ entraı̂ne que φ(t, x) est définie pour tout t ≥ 0 et
lim φ(t, x) = x0 .
t→∞
Autrement dit, x0 est stable si l’on peut rendre la solution φ(t, x) aussi proche
que l’on veut de x0 pour tout t ≥ 0 pourvu que x soit suffisamment proche de
x0 . Commençons pas étudier le cas le plus simple : les edo linéaires à cœfficients
constants.
4.2
Stabilité des edo linéaires à cœfficients constants
On supposera dans tout ce paragraphe que E = R2 et que det M 6= 0 où M est
la matrice intervenant dans l’edo linéaire :
x0 (t) = M x(t),
(LCC)
de sorte que x = 0 est le seul point d’équilibre de l’équation (LCC). L’allure des
trajectoires dépend essentiellement de la nature des valeurs propres de M .
4.2.1
La matrice M a deux valeurs propres réelles distinctes
Soient λ1 et λ2 les valeurs propres de la matrice M et u1 , u2 les vecteurs propres
associés. Pour tout x 6= 0, la solution φ(t, x) à l’edo (LCC) s’écrit dans la base
{u1 , u2 } :
φ(t, x) = α1 (t)u1 + α2 (t)u2 .
On calcule ensuite que φ0 (t, x) = α10 (t)u1 + α20 (t)u2 = M φ(t, x) = α1 (t)M u1 +
α2 (t)M u2 = α1 (t)λ1 u1 + α2 (t)λ2 u2 . Comme {u1 , u2 } est un système libre, cette
4.2 Stabilité des edo linéaires à cœfficients constants
51
égalité implique que α10 (t) − λ1 α1 (t) = 0 et α20 (t) − λ2 α1 (t) = 0 pour tout t ∈ R.
Sachant que φ(0, x) = x = x
e1 u1 + x
e2 u2 , on obtient que
α1 (t) = x
e1 eλ1 t ,
α2 (t) = x
e2 eλ2 t ,
∀ t ∈ R.
Il est alors facile de montrer que α2 = C |α1 |λ2 /λ1 , avec C = (e
x2 /λ1 )|e
x1 |−λ2 /λ1 . Dans
la base {u1 , u2 }, les trajectoires décrivent les courbes d’équations α2 = C |α1 |λ2 /λ1
dans le sens des α1 croissants si λ1 > 0 (décroissants si λ1 < 0) et α2 croissants si
λ2 > 0 (décroissants si λ2 < 0).
De cette étude on déduit que le point d’équilibre 0 est stable si λ1 et λ2 sont
< 0 et instable si λ1 > 0 ou λ2 > 0.
B=1
D=−3
A=−2
C=2
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
u2
5
4
u1
3
α1 (t)
2
0
0
−1
−2
α2 (t)
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
5
λ1 = −1, λ2 = −4
Fig. 4.1 – Nœud stable
A=2
C=2
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
B=1
D=3
5
4
u2
u1
3
2
1
y
y
1
0
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
λ1 = 1, λ2 = 4
Fig. 4.2 – Nœud instable
4
5
52
A=−1
C=1
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
B=1
D=1
u2
5
4
3
u1
2
y
1
0
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
√
0
x
1
2
λ1 = − 2, λ2 =
√
3
4
5
2
Fig. 4.3 – Selle (ou cole)
4.2.2
La matrice M a une seule valeur propre réelle
On note λ cette valeur propre double et δ = dim Ker (M − λI2 ). On doit alors
distinguer encore deux cas :
Le cas δ = 2
Dans ce cas, la matrice M est diagonale et s’écrit M = λI2 . Il est facile de
montrer que, pour tout x ∈ R2 , x 6= 0,
φ(t, x) = eλ t x,
∀ t ∈ R.
Les trajectoires sont des droites passant par 0.
Le point critique 0 est stable si λ < 0 et instable si λ > 0.
A=1
C=0
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
B=0
D=1
5
4
3
2
y
1
0
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
λ=1
Fig. 4.4 – δ = 2, source (instable)
4
5
A=−1
C=0
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
53
B=0
D=−1
5
4
3
2
y
1
0
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
5
λ = −1
Fig. 4.5 – δ = 2, puit (stable)
Le cas δ = 1
Il existe une base {u1 , u2 } dans laquelle la réduite de Jordan de M est
¶
µ
λ 1
.
J=
0 λ
Dans cette base, les solutions φ(t, x) s’écrivent φ(t, x) = α1 (t)u1 + α2 (t)u2 et on
montre que
α1 (t) =(e
x2 t + x
e1 )eλ t ,
α2 (t) =e
x2 eλ t ,
où comme précédemment x = x
e1 u1 + x
e2 u2 . Si x est sur la droite portée par u1
(i.e x
e2 = 0), alors la trajectoire est une droite. Sinon elle est portée par la courbe
α1 = C1 α2 ln(|α2 |) + C2 α2 , où C1 = 1/λ1 et C2 = (e
x1 − (e
x2 /λ1 ) ln(|e
x2 |))/e
x2 .
A=1
C=0
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
B=1
D=1
5
x
4
φ(t, x)
α2 (t)
3
2
y
1
0
0
α1 (t)
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
λ = 1, δ = 1
Fig. 4.6 – Nœud dégénéré instable
5
54
A=−1
C=0
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
B=1
D=−1
5
4
3
2
y
1
0
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
5
λ = −1, δ = 1
Fig. 4.7 – Nœud dégénéré stable
Le point d’équilibre 0 est stable si λ > 0 et instable si λ > 0.
4.2.3
La matrice M a deux valeurs propres, non réelles, conjuguées
Notons λ1 = a + ib et λ2 = a − ib les valeurs propres complexes de M et
considérons z = u + iv un vecteur propre associé à la valeur propre λ1 . Alors
M z = M u + iM v = (a + ib)(u + iv) = (au − bv) + i(av + bu), c’est à dire que
M u = au − bv et M v = av + bu. Autrement dit, dans la base {u, v}, la matrice M
a pour expression :
µ
¶
a −b
f=
M
.
b a
Dans la base {u, v}, la solution φ(t, x) s’écrit
φ(t, x) = α1 (t)u + α2 (t)v,
∀t ∈ R,
et les fonctions α1 (t) et α2 (t) sont solutions du système d’edo :
α10 (t) = a α1 (t) − b α2 (t),
α20 (t) = b α1 (t) + a α2 (t),
∀ t ∈ R.
En posant βi (t) = αi (t)e−a t , i = 1, 2, ces fonctions vérifient :
β10 (t) = −b β2 (t),
β20 (t) = b β1 (t),
∀ t ∈ R.
Si x = x
e1 u + x
e2 v dans la base {u, v}, alors il existe R ∈]0, ∞[ et θ ∈ [−π, π[ tels que
x
e1 = R cos(θ) et x
e2 = R sin(θ). En intégrant le système d’edo ci-dessus, on trouve
que β1 (t) = R cos(b t + θ), β2 (t) = R sin(bt + θ) puis que
α1 (t) = R ea t cos(bt + θ),
α2 (t) = R ea t cos(bt + θ),
∀ t ∈ R.
Dans la base {u, v}, les trajectoires sont soit des cercles de centre 0 et de rayons R
si a = 0, soit des spirales qui émanent de l’origine (si a > 0) ou qui convergent vers
l’origine (si a < 0).
55
A=−1 B=1
C=−1 D=−1
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
5
4
3
2
y
1
0
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
5
λ1 = −1 − i, λ2 = −1 + i
Fig. 4.8 – Foyer stable
A=1
C=1
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
B=−1
D=1
5
4
3
2
y
1
0
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
λ1 = 1 − i, λ2 = 1 + i
Fig. 4.9 – Foyer instable
3
4
5
56
A=1
B=2
C=−5 D=−1
x’=Ax+By
y’=Cx+Dy
5
v
4
3
u
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
5
λ1 = i, λ2 = −i
Fig. 4.10 – Centre
Le point d’équilibre 0 est stable si Re (λ1 ) = Re (λ2 ) ≤ 0 et instable si Re (λ1 ) =
Re (λ2 ) > 0.
4.3
Stabilité des edo autonomes non linéaires
Une première idée pour étudier le comportement des solutions de l’edo (EA) au
voisinage d’un point d’équilibre x0 est de linéariser l’équation. En effet, si f est de
classe C 1 , on peut écrire que f (x) = Df (x0 )(x − x0 ) + g(x − x0 ) où la fonction g
est de classe C 1 et vérifie kg(x − x0 )kF /kx − x0 kF → 0 quand x → x0 . L’edo (EA)
devient :
x0 (t) = Df (x0 )(x(t) − x0 ) + g(x(t) − x0 ).
Si on effectue le changement de variables y(t) = x(t) − x0 , alors
y 0 (t) = Df (x0 )y(t) + g(y(t)).
On peut donc sans perte de généralité se ramener au cas où x0 = 0. Enonçons un
premier résultat :
Théorème 4.2 (de Perron) Soit M une matrice dont toutes les valeurs propres
λi sont telles que Re (λi ) < 0 et soit g une fonction C 1 sur E et vérifiant
kg(x)kE
= 0.
x→0 kxkE
lim
Alors pour tout ε > 0 et pour tout 0 < σ < min{−Re (λi )}, il existe δ > 0 tel que si
|x| < δ :
– La solution φ(t, x) de l’edo
i
x0 (t) = M x(t) + g(x(t)),
vérifiant φ(0, x) = x existe pour tout t ≥ 0.
– |φ(t, x)| ≤ εe−σt , pour tout t ≥ 0.
En particulier, la solution identiquement nulle est asymptotiquement stable.
e
(E)
4.3 Stabilité des edo autonomes non linéaires
57
Démonstration : Soit ε > 0 et σ comme dans l’énoncé. Introduisons également σ
e
tel que 0 < σ < σ
e < min{−Re (λi )}, ce qui est toujours possible. Le Corollaire 2.1
i
nous assure de l’existence d’une constante Cσe > 0 telle que
ketM kL(E) ≤ Cσe e−σet ,
∀t ≥ 0.
D’après l’hypothèse vérifiée par g, il existe δe > 0 tel que si kxkE ≤ δe alors kg(x)kE ≤
e δ/C
e σe , ε/Cσe } et choisissons x ∈ E tel que
(e
σ − σ)kxkE /Cσe . Posons δ = min{δ/2,
e telle
kxkE ≤ δ. Pour un tel x, notons φ(t, x) la solution maximale de l’edo (E)
que φ(0, x) = x (remarquer qu’une telle solution existe toujours car g est C 1 ). Son
intervalle de définition maximal est [0, T ) avec 0 < T ≤ ∞. Comme nous l’avons vu
dans le chapitre précédent, on a l’expression sous forme intégrale :
Z t
tM
φ(t, x) = e x +
e(t−s)M g(φ(s, x)) ds, ∀ 0 ≤ t ≤ T.
0
On en déduit que
Z
kφ(t, x)kE ≤ ketM kL(E) kxkE +
0
t
ke(t−s)M kL(E) kg(φ(s, x))kE ds,
∀ 0 ≤ t ≤ T.
e
Comme kxkE ≤ δ ≤ δ/2,
la continuité de φ(t, x) entraı̂ne qu’il existe un intervalle
e d’où :
de longueur maximale [0, Te] avec Te > 0 sur lequel kφ(t, x)kE ≤ δ,
Z t
kφ(t, x)kE ≤ Cσe e−σet δ + (e
σ − σ)e−tσe
esσe kφ(s, x)kE ds, ∀ 0 ≤ t ≤ Te.
0
Cette inégalité s’écrit encore
Z
kψ(t, x)kE ≤ Cσe δ + (e
σ − σ)
t
kψ(s, x)kE ds,
∀ 0 ≤ t ≤ Te,
0
avec ψ(t, x) = φ(t, x)etσe . En appliquant alors l’inégalité de Gronwall du Lemme 1.2,
on obtient :
kψ(t, x)kE ≤ Cσe δe(σe−σ)t , ∀ 0 ≤ t ≤ Te,
puis
kφ(t, x)kE ≤ Cσe δe−σt ,
∀ 0 ≤ t ≤ Te.
e −Teσe et par un
On en déduit d’une part, selon la définition de δ, que kφ(Te, x)kE ≤ δe
argument de continuité que kφ(t, x)kE resterait inférieur à δe au delà de Te si Te < T ,
ce qui contredirait la maximalité de Te. Donc Te = T . D’autre part, toujours d’après
la définition de δ, kφ(t, x)kE ≤ εe−σt , ce qui est l’estimation du Théorème et qui
entraı̂ne que T = ∞.
¥
Pour terminer ce chapitre, on peut énoncer le Théorème suivant qui prouve que
l’étude détaillée de la stabilité que nous avons faite dans le cas des edo linéaires a
une portée assez générale :
Théorème 4.3 (Hartman-Grobman) Soit Ω un ouvert de E contenant 0 et f
une fonction C 1 sur Ω à valeurs dans E. Pour tout x ∈ Ω, on note φ(t, x) la solution
de l’edo autonome
x0 (t) = f (x(t)),
(LA)
qui vérifie φ(0, x) = x. On suppose que f (0) = 0 et que pour toute valeur propre
λ de la matrice M = Df (0), Re (λ) 6= 0. Alors il existe deux ouverts U et V de E
contenant 0 et un homéomorphisme H de U dans V tel que, pour tout x ∈ U ,
H(φ(t, x)) = etM H(x),
∀ t ∈ Ix ,
58
où Ix est un intervalle ouvert de R contenant 0. En particulier H envoie les trajectoires de l’edo (LA) sur les trajectoires de l’edo linéaire à cœfficients constants
x0 (t) = M x(t),
en préservant la paramétrisation.
La démonstration est longue et difficile. On peut en trouver les grandes lignes dans
le livre de Perko L. Differential equations and dynamical systems, Springer Verlag.
4.4
Exercice 4.1 On souhaite faire le portrait de phase d’un système 2 × 2 d’edo
autonomes de la forme :
x01 (t) = f1 (x1 (t), x2 (t)),
x02 (t) = f2 (x1 (t), x2 (t)),
où f1 et f2 sont des fonctions données de classe C 1 sur R. On notera (ϕ1 , ϕ2 ) une
solution de ce système. Avant de traiter un exemple concret, on commence par
établir quelques résultats préliminaires.
Partie 1 : Montrer qu’au voisinage des points (x1 , x2 ) tels que f1 (x1 , x2 ) 6= 0, les
trajectoires du système coı̈ncident avec le graphe des solutions de l’edo
y 0 (x) =
f2 (x, y(x))
.
f1 (x, y(x))
En particulier, les trajectoires sont des courbes y = ψ(x).
Indication : On appliquera le Théorème d’inversion locale à la fonction ϕ1 au voisinage de t0 tel que ϕ1 (t0 ) = x1 .
Partie 2 : On dit qu’une trajectoires {(ϕ1 (t), ϕ2 (t)), t ∈ (T− , T+ )} est monotone
si ϕ01 (t) 6= 0 pour tout t ∈]T− , T+ [ et si c’est le graphe y = ψ(x) d’une fonction
ψ monotone. Montrer que si une trajectoire est monotone et si elle reste dans un
domaine K compact du plan pour t ≥ t0 alors
– elle est définie pour tout t ∈ [t0 , ∞[,
– elle converge lorsque t → ∞ vers un point d’équilibre du système.
Indication : On commencera par démontrer que si ϕ est une fonction C 1 sur [t0 , ∞[
vérifiant limt→∞ ϕ(t) = x1 et limt→∞ ϕ0 (t) = l avec x1 , l ∈ R alors l = 0.
On en déduit : si une trajectoire est monotone, elle sort de tout compact qui ne
contient pas de point d’équilibre.
Partie 3 : Démontrer les règles de l’Hospital suivantes :
1. Soient u et v deux fonctions réelles C 1 définies sur un intervalle (a, T ), −∞ ≤
a < T ≤ +∞ et vérifiant limt→T u(t) = limt→T v(t) = 0. Si limt→T v 0 (t)/u0 (t)
existe, alors on a :
v 0 (t)
v(t)
= lim 0 .
lim
t→T u (t)
t→T u(t)
2. Soit u une fonction C 1 sur (a, +∞). On suppose que limt→∞ u0 (t) = l (où ∞).
Alors u(t)/t tend aussi vers l (où ∞) quand t → ∞.
Rt
Indication : Ecrire que u(t) = u(t0 ) + t0 u0 (s) ds.
59
Partie 4 : On considère maintenant le système différentiel suivant :
x01 (t) = x1 (t) − x1 (t)x2 (t) − x1 (t)2 ,
x02 (t) = −4x2 (t) + 2x1 (t)x2 (t).
On pose f1 (x1 , x2 ) = x1 − x1 x2 − x21 et f2 (x1 , x2 ) = −4x2 + 2x1 x2 .
1. Déterminer les points d’équilibre, les zones du plan dans lesquelles f1 et f2
ont un signe constant ainsi que les courbes f1 = 0 et f2 = 0.
2. Etudier la nature des points d’équilibre et donner l’allure des trajectoires des
systèmes linéarisés.
3. On note P1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0}.
(a) Soit t 7→ (ϕ1 (t), ϕ2 (t)) une solution de l’edo pour laquelle la condition
initiale se trouve dans K1 = {(x1 , x2 ) ∈ P1 : 0 < x1 ≤ 1, 1−x1 −x2 ≥ 0}.
i. Montrer que (ϕ1 (t), ϕ2 (t)) ∈ K1 pour tous les temps ultérieurs de
son ensemble de définition.
ii. En déduire que ϕ1 et ϕ2 sont définis sur [0, ∞[ et que limt→∞ (ϕ1 (t), ϕ2 (t)) =
(1, 0).
iii. Montrer que la fonction t 7→ u(t) = ϕ2 (t)/(ϕ1 (t) − 1) tend vers 0
lorsque t → ∞ (on montrera que u admet une limite u0 puis que
limt→∞ ϕ02 (t)/ϕ01 (t) = 2u0 /(1 + u0 ) et donc que u0 = 0).
(b) Montrer que toute trajectoire ayant sa condition initiale dans K3 =
{(x1 , x2 ) ∈ P1 : x1 ≥ 2} est le graphe d’une fonction décroissante sur
[2, ∞[. Etudier la branche infinie de cette trajectoire.
(c) Que se passe-t-il pour une trajectoire de condition initiale dans K2 =
{(x1 , x2 ) ∈ P1 : x1 ≤ 2, 1 − x1 − x2 ≤ 0}.
(d) Dessiner l’allure des trajectoires dans P1 .
4. On note P2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 < 0, x2 > 0}, A = {(x1 , x2 ) ∈ P2 : x2 >
−x1 + 1} et B = {(x1 , x2 ) ∈ P2 : x2 < −x1 + 1}.
(a) Montrer que toute trajectoire issue d’un point A entre dans B.
(b) Montrer que sur une trajectoire issue d’un point de B on a limt→T ∗ ϕ1 (t) =
−∞ et limt→T ∗ ϕ2 (t) = 0 (où T ∗ est le temps maximal d’existence pour
la solution (ϕ1 , ϕ2 )).
(c) Tracer les trajectoires dans P2 .
5. On note P3 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x < 0, y < 0}.
(a) On note (T∗ , T ∗ ) l’intervalle d’existence d’une solution dont la donnée
initiale (x1 , x2 ) est dans P3 . Montrer que pour une telle solution on a
limt→T ∗ ϕ1 (t) = −∞, limt→T ∗ ϕ2 (t) = 0, limt→T∗ ϕ1 (t) = 0, limt→T∗ ϕ2 (t) =
−∞.
(b) Tracer les trajectoires dans P3 .
6. On note P4 = {(x1 , x2 ) : x1 > 0, x2 < 0}. Soient α le point (1, 0), β le
point (2, −1), γ le point (2, 0) et T le triangle {(x1 , x2 ) : 1 < x1 < 2, x2 <
0, x1 + x2 > 1}.
(a) Montrer que T est une zone piège (c’est à dire que toute trajectoire qui
entre dans T ne ressort pas).
(b) En déduire que toute trajectoire entrant dans T est définie pour tous les
temps ultérieurs et converge vers le point α lorsque t → ∞.
(c) Montrer qu’il y a deux trajectoires issues de β dont l’une est définie pour
tout temps et converge vers α lorsque t → ∞.
60
(d) Représentrer les trajectoires dans P4 .
x ’ = x − x y − x2
y’=−4y+2xy
x1 + x2 − 1 = 0
3
A
K2
2
K3
B
1
y
K1
0
γ
α
0
T
β
−1
−2
−3
−2
−1
0
1
x
2
Fig. 4.11 – Portrait de phase du système d’edo
3
4
Chapitre 5
Annales des examens
5.1
Examen 2005-2006 (premère session)
On pose E = RN . Le but du problème est de généraliser la notion de stabilité
aux edo linéaires non autonomes de la forme :
x0 (t) = A(t)x(t),
x0 (t) = A(t)x(t) + b(t),
(I)
(II)
où A : t ∈ R+ 7→ A(t) ∈ L(E) et b : t ∈ R+ 7→ E sont deux applications continues.
Pour tout t0 ∈ R+ et x0 ∈ E, on note ϕ(t, t0 , x0 ) les solutions de (I) ou de (II)
vérifiant ϕ(t0 , t0 , x0 ) = x0 .
– On dit qu’une solution ϕ(t, t0 , x0 ) est uniformément stable (on écrira u.s) si
∀ ε > 0, ∃ η(ε) > 0 tel que pour tout x1 ∈ E vérifiant kx1 − x0 kE ≤ η(ε) on a
sup kϕ(t, t0 , x1 ) − ϕ(t, t0 , x0 )kE ≤ ε,
t≥t0
∀ t0 ≥ 0.
(les solutions restent à une distance inférieure à ε pourvu que l’on choisisse
des données initiales à une distance inférieure à η(ε))
– On dit qu’une solution ϕ(t, t0 , x0 ) est uniformément asymptotiquement stable
(on écrira u.a.s) si elle est u.s et si ∃ η > 0 tel que ∀ ε > 0, ∃ T (ε) > 0 tel que
si x1 ∈ E vérifie kx1 − x0 kE ≤ η alors
sup
kϕ(t, t0 , x1 ) − ϕ(t, t0 , x0 )kE ≤ ε,
∀ t0 ≥ 0.
t≥t0 +T (ε)
(pour des données initiales à une distance inférieure à η, les solutions restent
à une distance inférieure à ε pourvu que l’on attende un temps T (ε)).
1. On note Φ(t, t0 ) la matrice fondamentale de l’edo (I) telle que Φ(t0 , t0 ) = IE
(l’identité de L(E)). Expliquer clairement cette notion et démontrer la relation
Φ(t, t1 )Φ(t1 , t0 ) = Φ(t, t0 ) pour tout t ≥ t1 ≥ t0 ≥ 0.
2. Ecrire ϕ(t, t0 , x0 ) en fonction de Φ(t, t0 ) et en déduire l’équivalence entre les
trois points suivants :
(a) La solution ϕ0 (t) ≡ 0 de (I) est u.s.
(b) Toute solution de (I) est u.s.
(c) Il existe M ≥ 0 telle que sup kΦ(t, t0 )kL(E) ≤ M , ∀t0 ≥ 0.
0≤t0 ≤t
Indication : Revenir à la définition de la norme dans L(E).
Si l’une des assertions ci-desssus est réalisée, on dit que l’edo (I) est u.s.
62
Chap. 5: Annales des examens
3. On souhaite montrer l’équivalence entre les trois points suivants :
(a) La solution ϕ0 (t) ≡ 0 de (I) est u.a.s.
(b) Toute solution de (I) est u.a.s.
(c) Il existe K > 0 et α > 0 tels que sup kΦ(t, t0 )kL(E) ≤ K e−α(t−t0 ) ,
0≤t0 ≤t
∀ t0 ≥ 0.
Montrer que (3a)⇔(3b) et (3c)⇒(3b). Si (3a) ou (3b) est réalisée, on dit que
l’edo (I) est u.a.s.
4. Montrer que si (I) est u.a.s, alors pour tout 0 < δ < 1, il existe T (δ) > 0 tel
que
sup kΦ(t, t0 )kL(E) ≤ δ, ∀ t0 ≥ 0.
t≥t0 +T (δ)
5. On fixe maintenant δ < 1. Montrer que
sup
t≥t0 +nT (δ)
kΦ(t, t0 )kL(E) ≤ δ n , ∀t0 ≥ 0,
∀ n ∈ N∗ .
Indication : utiliser la relation démontrée dans la question 1.
6. En remarquant que pour tout t ≥ t0 , il existe n ∈ N tel que t0 + nT (δ) ≤
t < t0 + (n + 1)T (δ) et en utilisant (2c), montrer que (3b)⇒(3c) avec α =
ln(1/δ)/T (δ) et K = M/δ.
7. En utilisant les questions précédentes, montrer que si une solution de (II) est
u.s, toute les solutions de (II) sont u.s et de même que si une solution de (II)
est u.a.s, toutes les solutions de (II) sont u.a.s. On dit alors que l’edo (II) est
u.s (ou u.a.s).
8. Montrer que les deux edo (I) et (II) sont de même nature en ce qui concerne
la stabilité (u.s ou u.a.s).
5.2
Examen 2005-2006 (deuxième session)
Exercice 1 : On considère l’edo suivante :
x0 (t) = −x(t) + α(t)x2 (t),
t ≥ 0,
(E)
où α : R+ → R est une fonction de classe C 1 et vérifiant |α(t)| ≤ 1 pour tout
t ∈ R+ . On note ϕ(t, x0 ) la solution maximale de (E) vérifiant ϕ(0, x0 ) = x0 . Le
but de l’exercice est de montrer que si |x0 | < 1, alors t 7→ ϕ(t, x0 ) est définie sur
R+ tout entier. On note [0, T ∗ ) l’intervalle d’existence maximal de t 7→ ϕ(t, x0 ).
1. En mettant l’edo (E) sous forme résolue, montrer l’existence et l’unicité de la
solution maximale t 7→ ϕ(t, x0 ).
2. On considérant dans (E) le terme α(t)x2 (t) comme le second membre d’une
edo linéaire, montrer que :
Z t
ϕ(t, x0 ) = e−t x0 +
e−(t−s) α(s)ϕ(s, x0 )2 ds.
(R)
0
3. On suppose que T ∗ < ∞. Posons |x0 | = 1 − δ, δ ∈]0, 1[ et pour δ0 ∈]0, δ[ on
introduit l’ensemble
I = {T ∈ [0, T ∗ [ tel que |ϕ(t, x0 )| ≤ 1 − δ0 , ∀ t ∈ [0, T ]}.
Montrer que I est un intervalle. On le note [0, a).
4. En utilisant (R) et l’inégalité de Gronwall, montrer que pour tout T ∈ I on a
|ϕ(t, x0 )| ≤ |x0 |e−δ0 t , pour tout t ∈ [0, T ].
5.2 Examen 2005-2006 (deuxième session)
63
5. Montrer que |ϕ(t, x0 )| ≤ 1 − δ pour tout t ∈ [0, a] et en déduire qu’il existe
ε > 0 tel que a + ε ∈ I. Conclure que T ∗ = ∞.
Exercice 2 : On admet que si g est une fonction continue positive sur [0, T ], la
fonction h définie par h(0) = g(0) et h(t) = sup g(s), t > 0 est continue sur [0, T ].
s∈[0,t]
On considère l’edo suivante :
x0 (t) = λ + α(t)x2 (t),
t > 0,
où α est une fonction C 1 de R+ dans R+ telle qu’il existe α0 > 0 vérifiant
Z
1 s 2
∀ T > 0,
sup
σ α(σ) dσ < α0 ,
s∈]0,T ] s 0
(E)
(I)
et λ est un réel strictement positif.
1. Montrer que l’edo (E) admet une unique solution maximale ϕ vérifiant ϕ(0) =
0. On note [0, T ∗ ) son intervalle de définition. Montrer que ϕ(t) > 0, ∀ t ∈
]0, T ∗ ).
2. On va montrer que toute solution maximale de (E) est définie sur [0, ∞[ si
λ ∈]0, 1/(4α0 )].
(a) On suppose que T ∗ < ∞ et pour T < T ∗ on pose h(0) = λ et h(t) =
sup ϕ(s)/s si t ∈]0, T ]. Montrer que h est continue sur [0, T ]. Etudier
s∈]0,t]
la monotonie de h. En déduire la forme de h([0, T ]).
(b) En écrivant (E) sous forme d’une équation intégrale, montrer qu’il existe
une constante µ ∈]0, α0 [ telle que
h(t) ≤ λ + µh(t)2 ,
∀ t ∈ [0, T ].
(c) En déduire que pour tout t ∈ [0, T ], on a
h(t) ≤
1−
√
√
1 − 4µλ
1 + 1 − 4µλ
ou bien h(t) ≥
.
2µ
2µ
(d) En utilisant la question 2a, trancher entre les deux possibilités de la
question précédente et en déduire que T ∗ = ∞.
3. On suppose dans cette question que α(t) = 1/(1 + t2 ).
(a) Montrer que la fonction α(t) vérifie (I) avec α0 = 1.
√
(b) On suppose que λ > 1/4 et l’on pose ϕ(t) = ψ(t) 1 + t2 . Montrer que
l’on a les inégalités suivantes sur [0, T ∗ [:
p
ψ(t)2 + λ − ψ(t) ≤ ψ 0 (t) 1 + t2 ≤ λ + ψ(t)2 .
(c) En déduire d’une part que ψ est strictement croissante et d’autre part
que
Z
0
t
ψ 0 (s)
ds ≤
ψ 2 (s) + λ
Z
0
t
ds
√
≤
1 + s2
Z
0
t
ψ 0 (s)
ds.
ψ 2 (s) − ψ(s) + λ
(d) Effectuer le changement de variables τ = ψ(s) après l’avoir justifié. En
déduire que T ∗ < ∞.
64
Chap. 5: Annales des examens
Exercice 3 : On considère le système d’edo autonome suivant :
½ 0
x (t) = y(t) + ε(x3 (t) + 2x(t)y 2 (t))
y 0 (t) = −x(t) + εy 3 (t),
(S)
où ε est un réel donné. On note X0 = (x0 , y0 ) ∈ R2 et ϕ(t, X0 ) = (ϕ1 (t, x0 ), ϕ2 (t, y0 ))
la solution de (S) vérifiant ϕ(0, X0 ) = X0 .
1. Vérifier que (0, 0) est un point d’équilibre de (S) et écrire le système linéarisé
au voisinage de ce point sous la forme X 0 (t) = AX(t) où A est une matrice
2 × 2 que l’on précisera.
2. Déterminer les valeurs propres de A et étudier la stabilité du point (0, 0).
3. Soit ε 6= 0. On note ρ(t, X0 ) = ϕ21 (t, x0 ) + ϕ22 (t, y0 ). Vérifier que ρ est solution
de l’edo x0 (t) = 2εx2 (t) avec la condition initiale ρ(0, X0 ) = 2ε|X0 |2 .
4. Intégrer explicitement l’edo de la question précédente. En déduire que
– Si ε > 0, la solution ρ(t, X0 ) est instable.
– Si ε < 0, la solution ρ(t, X0 ) est asymptotiquement stable.
5. En déduire la nature (stable, asymptotiquement stable ou instable) du système
(S) et comparer avec celle du système linéarisé. Que constatez vous ?
Index
équation de Bernoulli, 5
équation de Riccati, 6
équicontinuité, 9
autonome, 26
Bessel (edo), 34
conditions initiales, 15
cylindre, 7
dérivées partielles, 18
difféormorphisme, 23
edo d’ordre n, 6, 31
edo du premier ordre, 5
exponentiel de matrice, 22
forme normale (edo), 5
forme résolue (edo), 5
homéomorphisme, 20
Lemme d’Ascoli, 9
Lemme de Gronwall, 11
linéaire (edo), 14
linéaire homogène (edo), 14
lipschitzien, 12
matrice
matrice
matrice
matrice
matrice
compagnon, 31
fondamentale, 24
identité, 21
jacobienne, 18
nilpotente, 22
norme, 5
norme matricielle, 14
orbites, 37
ordre de multiplicité algébrique, 21
ordre de multiplicité géométrique, 21
point critique, 38
point d’équiblibre, 38
polynôme caractéristique, 21
polynôme minimal, 21
problème de Cauchy, 6
réduite de Jordan, 21
second membre, 25
solution (d’une edo), 5
solution approchée, 7
solution maximale, 13
sous-espace propre, 21
Sturm-Liouville (équation), 33
Sturm-Liouville (edo), 33
Théorème d’Ascoli-Peano, 10
Théorème de Cauchy-Lipschitz, 12
Théorème de Hartman-Grobman, 45
Théorème de Perron, 44
trajectoires, 37
tube ouvert, 15
valeurs propres, 21
variation de la constante, 25
Wronskien, 24

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