TD8: Processus de diffusion en électrodynamique quantique

TD8: Processus de diffusion en électrodynamique
quantique
Jan Troost
November 27, 2008
Abstract
TD8 [3][4][1][2]:
Préparations: les sommes sur les spins, les règles de Feynman et le calcul
de matrices gamma.
1. L’ annihilation e+ e− → µ+ µ− .
2. La diffusion µ− e− → µ− e− .
3. La diffusion de Bhabha: e+ e− → e+ e− .
4. La diffusion de Møller: e− e− → e− e− .
5. Les diagrammes de correction à une boucle.
6. Une exercice sur les règles de Feynman.
Citation
Like the silicon chips of more recent years, the Feynman diagram was bringing computation to the masses.
Julian Schwinger
Conventions et informations utiles
Partout dans ce TD, les conventions sont celles de Peskin-Schröder. Par
exemple, on a la métrique ηµν = diag(+1, −1, −1, −1), etcetera. On note
que la masse du muon est mµ = 105, 6M eV et la masse de l’électron est
me = 0, 511M eV .
Préparatifs
La somme sur les spins
Rappelez-vous que les sommes sur les spins des fonctions d’onde des
fermions (sur la couche de masse) satisfont:
X s
u (p)ūs (p) = p
/+m
s=1,2
X
v s (p)v̄ s (p)
s=1,2
1
=
p
/−m
(1)
respectivement pour les fermions et les anti-fermions (dans les conventions
de [3] où on a normalisé les solutions: ūr (p)us (p) = 2mδ rs et v̄ r (p)v s (p) =
−2mδ rs ). Le conjugé complexe de v̄γ µ u est ūγ µ v, etc. Pour controler ces
expressions, il suffit de résoudre l’équation de Dirac explicitement, et de
faire un court calcul avec des matrices 2 × 2.
Les traces de matrices gamma
Calculez, suivant [3] par exemple, les traces des matrices gamma:
{γµ , γν }
=
2ηµν
T r(γµ γν )
=
4ηµν
T r(γµ γν γρ γσ )
=
4(ηµν ηρσ + ηµσ ηρν − ηµρ ηνσ ).
(2)
Une facon de faire ce calcul est d’utiliser d’une part la cyclicité de la
trace, et d’autre part les relations d’anti-commutations pour passer une
matrice de gamma de l’extrême droite à l’extrême gauche. L’égalité des
deux expressions vous rend une équation non-triviale.
Exercises supplémentaires: calculez la trace d’un produit de six matrices gamma, et calculez la trace d’un produit de matrices gamma qui
contient un facteur de la matrice γ5 .
Les règles de Feynman
Rappelez vous les régles de Feynman pour l’ électrodynamique quantique
(en incorporant les électrons, les muons et les photons dans la théorie).
1 La diffusion e+ e− → µ+ µ− au niveau des
arbres
i) Déterminez les diagrammes de Feynman qui contribuent à la diffusion
e+ e− → µ+ µ− au niveau des arbres. L’impulsion incidente de l’électron
est p, du positron p0 , et l’impulsion émergente du muon est k et du antimuon k0 . Prouvez que l’amplitude associée est (sans indiquer les spins):
M
=
1
(v̄e (p0 )γ ν ue (p))(ūµ (k)γν vµ (k0 )).
q2
(3)
où on introduit l’impulsion q transferée par le photon.
ii) Maintenant, faisons l’hypothèse que les faisceaux initiales sont nonpolarisés, et que les spins finales ne sont pas mesurés. Donc, on moyenne
sur les spins initiales, et somme sur les spins finales, pour calculer la
probabilité P du processus:
1 X
|M|2
(4)
P =
4 spins
Prouvez que le résultat est:
P
=
8e4
(p · kp0 · k0 + p · k0 p0 · k + m2µ p · p0 + m2e k · k0 + 2m2e m2µ ).(5)
q4
2
Intermezzo 1: les variables de Mandelstam
iii) Définissons maintenant les variables de Mandelstam:
s
=
(p + p0 )2 = (k + k0 )2 = 2m2e + 2pp0 = 2m2µ + 2kk0
t
=
(k − p)2 = (k0 − p0 )2 = m2e + m2µ − 2kp
u
=
(k0 − p)2 = (k − p0 )2 = m2e + m2µ − 2k0 p.
(6)
On note que:
s+t+u
=
= 2(m2e + m2µ ).
(7)
Si onPmet i ∈ {1, 2, 3, 4} et p1 = p, p2 = p0 , p3 = −k, p4 = −k0 on utilise
que i pi = 0 pour prouver la formule. Dans le réferentiel du centre de
masse, on a:
p
=
(E, p
~)
0
p
=
k
=
(E, −~
p)
(E, ~k)
k0
=
(E, −~k)
(8)
et on note l’angle entre les vecteurs (~
p, ~k) par la lettre θ. Exprimez les
variables de Mandelstam en terme de l’énergie E, les masses, et l’angle de
diffusion θ.
iv) Finalement, récrivez la probabilité pour le processus en terme des
variables de Mandelstam, et trouvez:
P
=
2e4 (
(m2e + m2µ )2
m2e + m2µ
t2 + u 2
−2
+4
).
2
s
s
s2
(9)
Intermezzo 2: La section efficace
Faisons maintenant une petite pause, dans laquelle on rappelle la relation
entre la section efficace de diffusion (pour un processus à deux particules)
et la probabilité P du processus. La formule pour le differentiel de la
section efficace est:
dσ
Y d3 pf 1
1
|M(pA , pB − {pf })|2
2EA 2EB |vA − vB |
(2π)3 2Ef
f in
X
(2π)4 δ (4) (pA + pB −
pf )
(10)
=
pour le processus de diffusion de deux particules A et B dans un nombre
arbitraire particules finales (f ). Les vitesses vA,B sont les vitesses des
z
particules initiales dans la direction d’approche : vA,B = kA,B
/EA,B .
On considère deux particules 1, 2 dans l’état finale. L’intégration sur
p
~2 élimine la fonction delta δ(~
p1 − p
~2 ) (et impose leur égalité). On peut
faire l’intégrale sur les impulsions en utilisant la rélation d(E1 + E2 ) =
dp1 (p1 /E1 + p1 /E2 ). On trouve alors pour la section efficace:
dσ
dΩ
=
1
1
p1
|M(pA , pB − {pf })|2
.
2EA 2EB |vA − vB |
16π 2 Ecm
3
(11)
z
z
Si les deux particules initiales ont la même masse, on a kA
= −kB
et
EA = EB = Ecm/2, donc |vA − vB = 2k/EA et la section efficace devient:
dσ
dΩ
=
=
p1
1
1
|M(pA , pB − {pf })|2
8EA k
16π 2 Ecm
1 pf 1
|M(pA , pB − {pf })|2 .
2
64π 2 pA Ecm
Section efficace de diffusion
Retournons à la section efficace de diffusion de e+ e− → µ+ µ− . En insérant
les expressions explicites pour les variables de Mandelstam, trouvez pour
la probabilité:
(m2e + m2µ )2
m2e + m2µ
t2 + u 2
−
2
+
4
)
s2
s
s2
2
2
me + mµ
m2µ
8E 4
m2e
= 2e4
((1
+
)
+
(1
−
)(1
−
) cos2 θ). (12)
16E 4
E2
E2
E2
√
p
Rappelons que |pf | = E 2 − m2µ et |pA | = |k| = E 2 − m + e2 , d’où (–
controlez –):
p
1 − m2µ /E 2
m2e + m2µ
m2µ
α2
dσ
m2
p
=
((1 +
) + (1 − 2e )(1 − 2 ) cos2(13)
θ).
2
2
2
2
dΩ
16E
E
E
E
1 − me /E
P
=
2e4 (
Discutez le résultat:
• Dans la limite de haute énergie E >> me , mµ .
• Pour petite masse me = 0 et au seuil de production de muons.
• Trouvez la section totale intégrée sur les angles.
2
La diffusion e− µ− → e− µ−
i) Déterminez les diagrammes de Feynman qui contribuent au niveau des
arbres.
ii) Trouvez l’amplitude de Feynman.
iii) Trouvez la probabilité (non-polarisé, non-discriminatoire) associée.
Prouvez que c’est le même amplitude qu’avant, mais où on a remplacé:
p0
→
−k
0
→
−p0
k
→
k0
p
→
p
s
→
t
t
→
u
u
→
s.
k
(14)
Est-ce-que vous comprenez pourquoi on parle d’échange d’un photon dans
le canal t ?
4
iv) Trouvez la limite ultra-rélativiste de la section efficace:
dσ
dΩ
|M|2
2
64π 2 Ecm
2
α 1 + cos4 θ/2
.
8E 2 sin4 θ/2
=
=
(15)
v) Discutez le résultat.
3
La diffusion e+ e− → e+ e−
i) Trouvez les deux diagrammes de Feynman qui contribuent et leur signe
relatif. Donc, l’amplitude est la somme des amplitudes correspondantes:
iM
=
iM1 + iM2 .
Dans la probabilité, on aura des contributions:
1X
|M1 + M2 |2
P =
4
= P11 − 2P12 + P22
(16)
(17)
oú les termes qui viennent d’un seul diagramme sont calculés comme
avant, mais où nous devons encore calculé le terme croisé. Trouvez le
terme croisé dans la limite ultra-relativiste:
P12
8e4
(pk0 )(kp0 ).
st
(18)
t2 + u 2
s2 + u2
2u2
).
+
+
s2
t2
st
(19)
=
−
Controlez la probabilité totale:
P
2e4 (
=
Trouvez la section efficace de Bhabha (ultra-relativiste). Comment estce-que la section efficace se comporte à θ → 0 ? Quels canaux contribuent
à l’amplitude ?
4
La diffusion e− e− → e− e−
De la même facon qu’avant, trouvez la section efficace de Møller (ultrarelativiste):
dσ
dΩ
=
α2
1
1
(1 +
+
).
4E
cos4 θ/2
sin4 θ2
(20)
Discutez le résultat.
5
Des corrections à une boucle
Trouvez quelques diagrammes de Feynman qui corrigent l’amplitude de
diffusion de e− e− → e− e− en admettant seulement des électrons et des
photons dans la théorie. Constatez qu’il y en a beaucoup.
5
6 Extra: Compréhension et contrôle des
règles de Feynman
Controler qu’en développant:
M
=
hµ+ (k0 )µ− (k)|T exp(−ie
Z
d4 x(ψ̄e γ µ ψe + ψ̄µ γ ν ψµ )Aν )|e− (p)e+ (p0 )i
en deuxième ordre dans le couplage e, on recupère la même expression
pour l’amplitude de diffusion de e+ e− en µ+ µ− qu’en suivant les règles
de Feynman. Utilisez les expressions pour les fonctions d’onde en terme
d’oscillateurs, les relations d’anti-commutation, l’expression pour les états
d’une particule, etcetera. Cet exercice est utile pour contrôler votre
compréhension de l’origine des règles de Feynman.
References
[1] Notes de Boris Pioline
[2] Notes de cours de Théorie de Champs de Costas Bachas
[3] Peskin-Schröder
[4] Itzykson-Zuber
[5] Mathematica Package Feynarts
6