Assistance gravitationnelle

Méthodes numériques appliquées – projets
J.-P. Grivet
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Assistance gravitationnelle
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Introduction
La récente arrivée (août 2014) de la sonde Rosetta au voisinage de la comète
67P/Churyumov-Gerasimenko a réveillé l’intérêt pour ce satellite, ses propriétés et sa
trajectoire. Vous trouverez de nombreux renseignements sur les pages de Wikipedia consacrées à cette comète et à la sonde Rosetta [1], de même que sur les sites de l’ESA [2] et du
CNES [3]. Les nombreuses références à « l’assistance gravitationnelle » vous ont peut-être
intrigué. Ce procédé d’accélération d’un satellite par un moyen « naturel » est souvent
relativement mal expliqué bien qu’il soit assez facile à comprendre [4].
L’analogie suivante peut vous permettre une compréhension intuitive. Imaginez une balle
de ping-pong et une boule de pétanque se dirigeant l’une vers l’autre selon une droite.
Nous supposons que le choc qui va avoir lieu est parfaitement élastique. La vitesse de la
boule, laquelle est bien plus lourde que la balle, sera modifiée de façon imperceptible par
la collision. Par contre, la balle va repartir en sens inverse avec une vitesse plus grande
(en valeur absolue) à cause de l’impulsion qu’elle a reçue. Au contraire, si la balle rattrape
la boule, elle aura, après le rebond, un vitesse inférieure en valeur absolue à sa vitesse
initiale. Qualitativement, le choc d’une balle de tennis ou de ping-pong sur une raquette
produit les mêmes effets. Vous pouvez vérifier ces conclusions par un calcul détaillé prenant
en compte la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l’énergie.
Les mêmes principes sont à l’œuvre dans l’assistance gravitationnelle mais le choc est
remplacé par une attraction entre planète massive et satellite léger. Le satellite peut être
accéléré ou ralenti selon la disposition relative des vitesses des deux corps.
Nous vous proposons de simuler le phénomène d’assistance gravitationnelle dans un cas
simple.
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Description du problème
Le Soleil est immobile à l’origine des coordonnées et une planète massive décrit une orbite
circulaire autour de lui. Un satellite lancé depuis la Terre frôle la planète et voit sa vitesse
modifiée en module et en direction ; il poursuit ensuite sa trajectoire. À tout moment, le
satellite subit l’attraction du Soleil et de la planète (on néglige l’effet de la Terre). Le but
du projet est de calculer le mouvement du satellite à partir de la résolution numérique des
équations du mouvement.
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Projet
Le projet peut se décomposer en quelques étapes simples :
– Écrire les équations du mouvement du satellite dans le champ de gravitation du Soleil
et de la planète.
– Choisir un algorithme de résolution. Celui-ci doit être à la fois stable, précis et rapide !
On peut penser aux méthodes de Runge–Kutta d’ordre 2 ou 4 ou aux méthodes spécifiques des équations différentielles du second ordre comme l’algorithme de Verlet ou
celui de Numerov [5].
– Écrire le programme correspondant.
– Afficher les résultats du calcul de façon aussi démonstrative que possible.
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Considérations pratiques
Trois masses (Soleil Ms , planète mp et satellite) et une constante (la constante de gravitation universelle G) interviennent dans la mise en équations. Dans une première version
du programme, vous pouvez utiliser des grandeurs sans dimension, en posant Ms G = 1 et
mp /Ms = μ. La masse du satellite apparaît-elle dans le calcul ? Il faut encore tenir compte
de deux longueurs, les rayons des orbites de la Terre (rT ) et de la planète (rp ). On peut
poser rT = 1 et rp /rT = ρ. On doit enfin fixer la période du mouvement de la planète
autour du Soleil, soit Tp .
Il est commode de traiter le problème en coordonnées cartésiennes. Vous disposez alors
de plusieurs paramètres ajustables (mais pas indépendants) : les coordonnées initiales et
les composantes de la vitesse initiale du satellite et les coordonnées initiales de la planète.
La principale difficulté du projet réside dans le choix de ces valeurs initiales pour que le
satellite frôle la planète et subisse effectivement une accélération ou un ralentissement.
On suppose toujours que la Terre, ponctuelle, n’impose aucune restriction sur l’orientation
de la vitesse initiale du satellite
Les figures 1 et 2 ont été obtenues avec les paramètres suivants : μ = 0,01, ρ = 15.
La période de rotation de la planète autour du Soleil était de 100 unités arbitraires.
À l’instant initial, la Terre était au point (rT , 0) et la planète en (rp , 0). L’algorithme
utilisé est une variante de l’algorithme de Verlet (appelé Verlet-vitesse [6]), avec un pas
de 0,05. La simulation associée au texte du projet montre une accélération du satellite,
pour des valeurs des paramètres identiques et des conditions initiales très voisines.
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Perfectionnements
Dans une deuxième étape, on peut rendre la simulation plus réaliste en tenant compte
du mouvement de la Terre autour du Soleil, de son effet gravitationnel sur le satellite et
en introduisant les grandeurs astronomiques réelles. On suppose que la planète est en fait
Jupiter. On néglige les satellites de la Terre et de Jupiter. Ces deux planètes parcourent
des orbites circulaires dans un même plan. Les principales données astronomiques sont les
suivantes :
Terre
Jupiter
Soleil
masse
rayon de l’orbite
période de révolution
5,97 × 1024 kg
317,8 mT
1,989 ×1030 kg
1,496 × 108 km 1 UA
5,2 UA
–
1 année
11,86 années
–
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10
8
6
4
2
0
−2
−4
−4
−2
0
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Figure 1 – Trajectoire d’un satellite (en noir) frôlant une planète (en bleu)
1.6
1.4
module de la vitesse
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
temps
Figure 2 – Vitesse du satellite le long de la trajectoire précédente.
Remarquer le ralentissement.
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Pour rappel, 1 UA = 1,4959787 × 1011 m. La position relative des deux planètes peut être
déterminée d’après la remarque suivante : le 5 janvier 2014, ces deux corps célestes étaient
en opposition, c’est-à-dire que Soleil, Terre et Jupiter étaient alignés. La date de lancement
du satellite est arbitraire, mais il est raisonnable de choisir une époque telle que la distance
à parcourir soit faible.
Références
[1] Wikipédia : Rosetta (sonde spatiale).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Rosetta_(sonde_spatiale).
[2] ESA : Rosetta. http://www.esa.int/fre/ESA_in_your_country/France/Rosetta.
[3] CNES : Rosetta : rendez-vous avec la comète Churyumov-Gerasimenko.
http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/11305-rosetta-rendez-vous-avec-la-comete
-churyumov-gerasimenko.php.
[4] Wikipédia : Assistance gravitationnelle.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Assistance_gravitationnelle.
[5] J.-P. Grivet : Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur,
chapitre 11 (Problèmes différentiels à conditions initiales). EDP Sciences, Les Ulis,
2e édition, 2013.
[6] H. Klein : Algorithme Verlet-vitesses.
http://www.cinam.univ-mrs.fr/klein/teach/mip/numeriq/node44.html.
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