Correction exercice Points de Lagrange

Correction exercice Points de Lagrange
mM S
mM
n et F T / sat = G 2 T n
2
(R + r)
r
mM S
mM
2. Seconde loi de Newton : G
n + G 2 T n = ma
2
(R + r)
r
1.
Bilan des forces :
F S / sat = G
v2
n
(R + r)
MS
MT
v2
4. On en déduit : G
+
G
=
(R + r)
(R + r) 2
r2
a=
3.
Accélération du satellite :
5.
Troisième loi de Kepler pour la Terre :
6.
Vitesse du satellite :
7.
On peut dire que T = Ts puisque la Terre et L2 sont fixe l'un par rapport à l'autre.
v=
2π ( R + r )
Ts
T2
4π 2
=
R 3 G.M S
(voir cours)
v2
4π 2 ( R + r ) G.M S
8. On en déduit avec les relations 2 et 3 que :
=
=
(R + r)
(R + r)
T2
R3
MS
M
M
la relation 1 devient alors :
+ 2T = 3S ( R + r )
2
(R + r)
r
R
9.
Introduction de x et y :
-
-
-
-
1
y
1
+ 2 = 3 (R + r)
2
(R + r)
r
R
1
y
1
division par (R+r) :
+ 2
= 3
3
(R + r)
r (R + r) R
1
y
1
factorisation par R : 3
+ 2
= 3
3
R (1 + x)
r R (1 + x) R
division par MS :
puis multiplication par R3 :
1
yR 2
1
y
+
= 1 soit :
+ 2
=1
3
2
3
(1 + x)
r (1 + x)
(1 + x)
x (1 + x)
10. L’approximation est vérifiée avec 2 CS pour x < 0,04
11. On obtient après simplification :
y
= 1 soit : 3 x 3 = y
2
x
1/ 3
On obtient alors : x = ( y / 3) . Avec y = 1/330 000, on obtient x = 0,01 ce qui signifie que la distance
1 − 3x +
entre la Terre et le point L2 est égale à 1% de la distance Terre-Soleil c’est à dire r = 1,5 million de km.
12. Le satellite est bien au delà de l’orbite de la Lune (située à 380 000 km de la Terre). L’intérêt de ces points
est leur isolement pour des observations de qualité et leur stabilité (peu de dépense en carburant pour
corriger les trajectoires)
Remarques :
De tous ces points, seuls L4 et L5 sont stables, ce qui veut dire que la matière a tendance à s'accumuler à ces
endroits. Les autres sont instables, c'est à dire qu'il faut très peu de chose pour qu'un corps positionné en l'un de ces
points s'en éloigne.
Il y a des exemples "naturels" dans le système solaire, des endroits où des astéroïdes s'amassent donc en position
stable c'est à dire en L4 et L5. Le premier exemple est Jupiter, en effet c'est la plus grande planète du système, elle
joue donc un certain rôle dans les équilibres d'attraction. En effet sur l'orbite de Jupiter on trouve à L4 et L5 (60
degré en avant et en arrière) les astéroïdes appelés les "Troyens". De même aux même points du système TerreLune-Soleil en L4 et L5 on a détecté une anomalie de concentration en astéroïdes.