5. Mesure extérieure et recouvrement - UTC

5. Mesure extérieure et recouvrement
Définition (mesure extérieure)
Une mesure extérieure sur un ensemble Ω est une application
µ∗ : P(Ω) −→ [0, +∞]
A 7−→ µ∗ (A)
telle que :
(i) µ∗ (∅) = 0
(ii) croissance :
A ⊂ B =⇒ µ∗ (A) ≤ µ∗ (B)
(∀A, B ⊂ Ω)
(iii) sous-σ-additivité :
(∀Ak ⊂ Ω, k ∈
N)
!
µ∗
[
N
k∈
Ak
≤
X
N
k∈
µ∗ (Ak ).
mesure extérieure de recouvrement
Définition (recouvrement)
Un recouvrement de l’ensemble Ω est un ensemble F de parties de Ω (i.e.
F ⊂ P(Ω)) tel que
[
Ω⊂
F
F ∈F
Exemples triviaux : {Ω}, P(Ω), tout F ⊂ P(Ω) tel que Ω ∈ F
Exemples plus intéressants : les pavés de d , les pavés dyadiques (voir TD ?)
R
recouvrement + fonction positive −→ mesure extérieure
Lemme
Soient F un recouvrement de Ω et une application λ : F → [0, +∞]. Alors
l’application
µ∗ : P(Ω) −→ [0, +∞]
0 si A = ∅
P
S A 7−→ µ (A) = inf
Fn
n∈N λ(Fn ) : Fn ∈ F, A ⊂
∗
déf
est une mesure extérieure telle que
(∀A ∈ F)
Démonstration : à rédiger (TD ?)
µ∗ (A) ≤ λ(A)
6. La méthode de Carathéodory (1873-1950)
Les grandes lignes :
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construction d’une mesure extérieure µ∗ , à partir d’un recouvrement et
d’une fonction positive ad hoc
restriction de µ∗ à la famille M des parties µ∗ -mesurables
déf
Théorème de Carathéodory : M est une σ-algèbre sur Ω et µ = µ∗|M
est une mesure ; de plus (Ω, M, µ) est un espace mesuré complet.
Critère de Carathéodory : si (Ω, d) est un espace métrique, et si µ∗ est
métrique, alors µ est une mesure borélienne.
Critère de Vitali : si le recouvrement initial vérifie la condition de Vitali,
alors on peut construire une mesure extérieure métrique.
On obtiendra ainsi la mesure de Lebesgue, et les mesures de Hausdorff sur
d.
R
parties µ∗ -mesurables au sens de Carathéodory
Soit µ∗ une mesure extérieure sur Ω.
Définition
On dit que A ⊂ Ω est µ∗ -mesurable si :
(∀B ⊂ Ω)
µ∗ (B) = µ∗ (B ∩ A) + µ∗ (B ∩ Ac )
Remarque : comme µ∗ une mesure extérieure sur Ω,
(∀A, B ⊂ Ω)
µ∗ (B) ≤ µ∗ (B ∩ A) + µ∗ (B ∩ Ac )
Théorème de Carathéodory
Soit µ∗ une mesure extérieure sur Ω.
Soit M ⊂ P(Ω) l’ensemble des parties de Ω qui sont µ∗ -mesurables.
Théorème (Carathéodory)
1
M est une σ-algèbre ;
2
la restriction µ = µ∗|M est une mesure sur (Ω, M) ;
3
(Ω, M, µ) est un espace mesuré complet.
déf
Démonstration : voir TD et [Troyanov, p.20-22].
Définition (espace mesuré complet)
On dit que l’espace mesuré (Ω, M, µ) est complet si toute partie de Ω
contenu dans une partie de mesure nulle est aussi dans M (et donc de
mesure nulle) :
(∀A ⊂ Ω)
((∃E ∈ M)
µ(E) = 0 et A ⊂ E) =⇒ A ∈ M
Critère de Carathéodory
Objectif : montrer que la tribu M obtenue par le th. de Carathéodory n’est
pas trop petite . . .
Soit µ∗ une mesure extérieure sur (Ω, d) espace métrique.
Soit (Ω, M, µ) l’espace mesuré obtenu par le th. de Carathéodory.
Définitions : On dit que µ∗ est
métrique si
(∀A, B ⊂ Ω)
d(A, B) > 0 =⇒ µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B)
borélienne si B(Ω) ⊂ M.
Théorème (critère de Carathéodory)
Si µ∗ est métrique, alors elle est borélienne.
Démonstration : voir TD et [Troyanov, p.22-23].
recouvrement de Vitali (1875-1932)
Objectif : trouver une condition sur le recouvrement afin qu’il produise une
mesure extérieure métrique . . .
Soit (Ω, d) un espace métrique.
(∀A ⊂ Ω)
déf
diam(A) = sup{d(x, y) :
x, y ∈ A}
Définition (recouvrement de Vitali)
On dit que F ⊂ P(Ω) vérifie la condition de Vitali si, pour tout δ > 0, il
existe un recouvrement de Ω par des Fn ∈ F de diamètre < δ :
[
((∀n ∈ ) Fn ∈ F, diam(Fn ) < δ) et Ω =
Fn
N
N
n∈
Critère de Vitali (1875-1932)
(∀δ > 0)




Fδ
déf


 µ∗δ (A)
déf
=
=
{F ∈ F : diam(F ) ≤ δ}
0 si A = ∅
S inf P
Fn
n∈N λ(Fn ) : Fn ∈ Fδ , A ⊂
Les µ∗δ sont des mesures extérieures et :
0 < δ ≤ δ 0 =⇒ ((∀A ⊂ Ω) µ∗δ0 (A) ≤ µ∗δ (A))
(∀A ⊂ Ω)
déf
µ
e(A) = lim µ∗δ (A) = sup µ∗δ (A)
δ→0
∈ [0, +∞]
δ>0
Théorème (critère de Vitali)
µ
e est une mesure extérieure métrique (et donc borélienne).
Démonstration : voir TD et [Troyanov, p.25-26].