Liste des Projets - Laboratoire de Mathématiques Appliquées de l

1
Liste des Projets
Méthodes Numériques pour les EDP en Finances - ENSTA - M2 - S1-1
Novembre 2008
Les projets doivent être effectués en binôme. Un rapport succint (5 à 10 pages) devra être rédigé résumant le problème, l’approche étudiée et les résultats numériques
obtenus. On précisera toujours avec soin le domaine de résolution de l’E.D.P. considérée,
les conditions aux limites, les données du problème. On pourra commenter les temps
de calculs, la précision des résultats, faire un comparatif si plusieurs méthodes. Pour
la rédaction du rapport, le langage ”Latex” est conseillé. Les programmes doivent
être fournis. (Le langage peut être Scilab/Matlab (conseillé), c, c++, . . .).
Les rapports + programmes devront me parvenir au plus tard le ***1 Décembre
avant 9h par email. (Sinon dans ma case courrier2
Les soutenances orales auront lieu le *** Décembre. Prévoir environ 10min d’exposé (video projecteur ou rétro projecteur ou exposé au tableau noir) et 5 minutes
de questions.
Vous pouvez enregistrer votre choix de projet sur ma page :
http ://uma.ensta.fr/ zidani (rubrique enseignement),
à partir du lundi 24 novembre 2008.
1. Option asiatique strike fixe. Le prix d’une
option asiatique portant sur un
Rt
actif S et sur une valeur moyenne A(t) = 1t 0 Sτ dτ est donné par V = V (t, S, A)
t.q.
1
S−A
−∂t V − σ 2 S 2 ∂S,S V − rS∂S V −
∂A V + rV = 0
2
t
V (T, S, A) = ϕ(S, A).
(1a)
(1b)
On considère que le prix de l’option à la date T d’écheance est ϕ = (A(T ) − K)+
(cas du call strike fixe, qui correspond à un droit d’achat au prix K − A(T ) + S(T ) à
et on cherche une solution
l’échéance). On fait le changement de variable x := K−tA/T
S
particulière sous la forme V (t, S, A) = Sf (t, x). On commencera par montrer que f
doit vérifier l’edp suivante :
1
1
−∂t f − σ 2 x2 ∂xx f + ( + rx)∂x f = 0
2
T
f (T, x) = x−
1
2
date à préciser ultérieurement
Lab. UMA, ENSTA, Paris
(2a)
(2b)
2
(avec x− := max(−x, 0)). Ecrire le problème obtenu après inversion du temps t →
T − t, pour f¯(t, x) := f (T − t, x). (La valeur cherchée est alors V = S f¯(T, x = K
)).
S
Dans le cas où la condition initiale est f¯(0, x) := −x, déterminer une solution
analytique de la forme g(t, x) = xa(t) + b(t). Ensuite, pour le cas de f¯(0, x) := x− ,
¯ x) ∼ g(t, x) lorsque x → −∞. En
on admettra que limx→+∞ f¯(t, x) = 0 et que f(t,
déduire une E.D.P. approchée sur un domaine spatial de type [Xmin , Xmax ] (avec
), en précisant les conditions aux limites utilisées.
Xmin ≤ 0, Xmax > x̄ := K
S
Résoudre l’E.D.P. en utilisant les différences finies (Schema explicite, implicite,
Crank-Nicolson pour la discrétisation en temps, schéma centré ou décentré pour la
discrétisation spatiale). Pour chaque méthode, on précisera les conditions de stabilité
et on vérifiera que l’ordre numérique est conforme à l’ordre théorique attendu.
Comparer les résultats obtenus avec Xmin = 0 et Xmin < 0.
Comparer avec les résultats de [12] (voir aussi [8] pour des résultats plus précis).
Réfs : [12], [8], [14], [1].
2. Option asiatique strike flottant. Le prix
R d’une option asiatique portant sur
1 t
un actif S et sur une valeur moyenne A(t) = t 0 Sτ dτ est donné par V = V (t, S, A)
t.q.
S−A
1
∂A V + rV = 0
−∂t V − σ 2 S 2 ∂S,S V − rS∂S V −
2
t
V (T, S, A) = ϕ(S, A).
(3a)
(3b)
On considère que le prix de l’option à la date T d’écheance est ϕ = (A(T ) −S)+ (cas
du put strike flottant, qui correspond à un droit de vente au prix A(T ) à échéance).
On fait le changement de variable x := − Tt A
et on cherche une solution particulière
S
sous la forme V (t, S, A) = Sf (t, x). Montrer que f doit vérifier l’edp suivante :
1
1
−∂t f − σ 2 x2 ∂xx f + ( + rx)∂x f = 0
2
T
f (T, x) = (1 + x)−
(4)
(5)
(avec x− := max(−x, 0)). Ecrire le problème obtenu après inversion du temps t →
¯ x = 0)).
T − t, pour f¯(t, x) := f (T − t, x). (La valeur cherchée est alors V = S f(T,
Dans le cas où la condition initiale est f¯(0, x) = (1+x)− , on déterminera une solution
¯ x) = 0
analytique de la forme g(t, x) = xa(t) + b(t). On admettra que limx→+∞ f(t,
et que f¯(t, x) ∼ g(t, x) quand x → −∞. En déduire une E.D.P. approchée sur un
domaine spatial de type [Xmin , Xmax ] (avec Xmin < 0, Xmax > 0), en précisant les
conditions aux limites utilisées.
Résoudre l’E.D.P. en utilisant les différences finies, (Schema explicite, implicite,
Crank-Nicolson pour la discrétisation en temps, schéma centré ou décentré pour la
discrétisation spatiale). Pour chaque méthode, on précisera les conditions de stabilité
et on vérifiera que l’ordre numérique est conforme à l’ordre théorique attendu.
Comparer par exemple avec les résultats de [12], [8].
Réfs : [12], [8], [14], [1].
3. Option sur maximum (floatting lookback put). On considère un sousjacent qui vérifie l’équation différentielle stochastique dSt = St (rdt + σWt ) sous
3
la probabilité risque neutre. On note Mt = max0≤τ ≤t Sτ la valeur maximum sur
l’intervalle de temps [0, t]. Le prix de l’option a l’instant t est ici donné par
er(T −t) E(ϕ(ST , MT )|Ft )
où ϕ(ST , MT ) est le payoff de option. On peut verifier que le prix a l’instant t peut
s’écrire V (t, St , Mt ) où V = V (t, S, M) est solution de l’edp suivante :
1
−∂t V − σ 2 S 2 ∂S,S V − rS∂S V + rV = 0,
2
V (T, S, M) = ϕ(S, M), 0 ≤ S ≤ M,
∂M V (T, S, S) = 0, S ≥ 0.
0 ≤ S ≤ M, 0 ≤ t ≤ T,
On considère le cas du payoff g(S, M) = M − S (”floatting lookback put”). Montrer
que si V = MW (t, S/M) alors W vérifie l’e.d.p. suivante :
1
−∂t W − σ 2 x2 ∂x,x W − rx∂x W + rW = 0,
2
W (T, x) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1,
∂x W (t, 1) = W (t, 1), t > 0.
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T,
(6)
(7)
(8)
L’objectif sera d’approcher numeriquement la solution de (6) par les différences
finies (schema explicite, implicite, Crank-Nicolson pour la discrétisation en temps,
schéma centré ou décentré pour la discrétisation spatiale). Pour chaque méthode, on
précisera les conditions de stabilité et on vérifiera que l’ordre numérique est conforme
à l’ordre théorique attendu.
On comparera avec les prix donnés par les formules fermées (voir [15]).
4. Optimisation de portefeuille : problème de Merton en horizon fini.
[Réfs : [10], [11]].
t
On considère un portefeuille dont la valeur Xt varie suivant dX
= (αt µ + (1 −
Xt
αt )r)dt + αt σdWt . On peut choisir αt ∈ A := [α0 , α1 ] ⊂ [0, 1], qui correspond à la
part investie dans un actif risqué, 1 − αt correspondant à la part investie dans un
actif sans risque. On cherche αt de sorte qu’on optimise l’espérance de l’utilité de la
valeur terminale E[Φ(XT )] (Φ étant une fonction donnée, appelée fonction utilité).
Le problème est d’estimer la valeur v(t, x) = supα∈L∞ ([t,T ],A) E[Φ(XT )| Xt = x] pour
t ≤ T , et la stratégie optimale (αt ) correspondante.
On montre que v est solution (au sens de viscosité) de l’E.D.P. suivante :
1 2 2 2
−∂t v + inf −(aµ + (1 − a)r)x∂x v − a x σ ∂xx v = 0, t ∈ (0, T ), x > 0, (9)
a∈A
2
avec une condition terminale v(T, x) = Φ(x), x > 0.
Proposer un schéma de discrétisation explicite (Euler) par différences finies, sur
max
et i = 0, . . . , M).
un domaine tronqué [0, Xmax ] (maillage si = ih avec h = X
M +1
Pour la condition limite en x = Xmax on pourra prendre une condition de Neumann
mixte approchant un comportement de la forme v(t, x) = const(t)xp (par exemple
4
p
vx = Xmax
v, en x = Xmax , qui donnera une relation entre VMn +1 et VMn au point
x = xM à chaque étape de temps dans le schéma, voir [4]). On pourra travailler
soit avec l’intervalle continu A, soit considérer une discrétisation uniforme de A :
0
, q ≥ 1.
a ∈ {a0 , . . . , aq } avec ai = α0 + i α1 −α
q
On proposera ensuite aussi un schéma implicite par différences finies (utiliser
une méthode de type Newton/Howard [4]).
Pour valider le code on pourra commencer par considérer le problème particulier
où Φ(x) = xp , p ∈ (0, 1), en cherchant une solution exacte sous la forme v(t, x) =
ϕ(t)xp . (On trouvera une stratégie optimale constante αt = α∗ = const dans ce cas
[11]).
1
A.N. On considère la fonction d’utilité Φ(x) = x pour x ∈ (0, 1) et Φ(x) = x 2
si x ≥ 1 ; r = 0.05, µ = 0.06, σ = 0.2, A = [0.2, 0.9], T = 1. Estimer v(T, x = 1) à
10−2 près. Comparer avec le cas où A = {0.5} (un seul contrôle).
5. Option américaine avec contrainte
On considère une option exotique de type américaine, portant sur un actif Sθ . On
suppose que le détenteur du contrat peut à tout moment exercer pour le prix du
payoff ϕ(Sθt,x ) (où ϕ est le payoff, θ ∈ [t, T ]), mais il a en plus la contrainte d’exercer
si le prix de l’option v(θ, Sθt,x ) atteint une valeur Ψ(Sθt,x ) où Ψ est une fonction fixée.
Le prix de l’option à écheance est ϕ(STt,x ). On suppose en outre que Ψ(x) ≥ ϕ(x),
∀x ≥ 0.
On admet que la valeur v = v(t, s) d’une telle option satisfait à l’I.E.D.P :
max min − ∂t v + Av, v − ϕ(s) , v − Ψ(s) = 0 s > 0, t ∈ (0, T )
v(T, s) = ϕ(s)
2
où on a noté Av := − σ2 s2 ∂ss v − rs∂s v + rv. Les paramètres du marchés (taux r,
volatilité σ) sont supposés fixes.
1. Ecrire l’équation correspondante après inversion du temps (t → T −t) et proposer
un schéma de discrétisation par différences finies de type explicite.
2. Proposer un schéma implicite de type splitting [2].
3. Proposer un schema complèment implicite en temps. Le résoudre par une méthode
de type PSOR. Tenter la résolution par une méthode de type Newton directe (on
pourra aussi consulter [4] pour une méthode de type Newton toujours convergente
pour le problème de double obstacle). On pourra enfin essayer une méthode PrimaleDuale (en s’inspirant de [6], p. 57).
4. Comparer les diverses méthodes entre elles pour estimer v(0, S0) pour une précision
donnée.
Valeurs numériques : K = 100, S0 = 90, T = 1, r = 0.05, σ = 0.3, ϕ(s) = (K − s)+ ;
Ψ(s) := max(Q − s, 5) avec Q = 110.
6. Calcul de Grecques.
5
Dans ce projet on s’intéresse au calcul des grecques δ := ∂S v et Γ := ∂S,S v pour v :
un call europeen (payoff ϕ(s) = (S − K)+ ) :
1
∂t v − s2 σ 2 ∂s,s v − rs ∂s v + r v = 0, 0 ≤ s ≤ Smax ,
2
v(t, Smax ) = Smax − Ke−rt , t ∈ (0, T ),
v(0, s) = ϕ(s), s ∈ (0, Smax )
(10a)
(10b)
(10c)
On considère deux approches numériques par différences finies (on travaillera dans
tous les cas avec un schéma d’ordre deux en temps et en espace).
Dans le premier cas on résoud l’E.D.P, puis on utilise une différence finie pour
évaluer la dérivée (ou la dérivée seconde) au point S0 considéré. Comparer aux
valeurs exactes calculées à partir de la formule de Black et Scholes. Discuter les
avantages ou inconvénients de cette approche par rapport à une approche probabiliste.
Dans le deuxième cas on écrira l’équation satisfaite pour le δ (resp., pour le Γ),
et on résoud numériquement cette dernière.
(A.N : r = 0.1, σ = 0.3, K = 100, S = 85, T = 0.3).
7. Equation de Black et Scholes avec contraintes Gamma.
On considère un portefeuille constitué d’un actif sans risque S 0 et d’un actif
risqué S(u) = St,s (u), évoluant suivant dS 0 (u) = S 0 (u)rdu et
dS(u) = S(u)(µdu + σ(u, S(u))dW (u))
Notons Y (u) la part d’actif risqué à l’instant u. Dans le modèle de Black et Scholes, la
∂v
stratégie de hedging classique consiste à prendre Y (u) =
(u, S(u)). En pratique les
∂s
contraintes du marché font que cette stratégie optimale n’est pas toujours possible,
et on examine ici un modèle où l’on impose une contrainte sur les variations de Y .
Plus précisement, on se donne une constante Γ > 0 et on considère contrainte
s
∂2v
≤Γ
∂s2
(On dit alors que v est Γ-concave).
On montre [13] que le bon modele pour le prix de l’option v avec contraintes
Gamma est solution de l’EDP suivante :
2
∂v
∂2v
∂v 1 2
2∂ v
− σ (t, s)s
− rs
+ rv, Γ − s 2 = 0
(11)
min −
∂t
2
∂s2
∂s
∂s
avec la condition terminale
v(T, s) = ĝ(s).
(12)
La fonction ĝ est elle même définie comme la plus petite fonction Γ-concave majorant
g(s), et on montre que cette fonction est solution de l’équation
∂ 2 ĝ
min(ĝ(s) − g(s), Γ − s 2 ) = 0,
∂s
s > 0.
6
Programmer les différences finies pour (11)-(12), en adaptant l’algorithme de
Newton (ou Primal-Dual [4]) pour les options américaines. On commencera en particulier par proposer un algorithme de calcul de ĝ. Dans le cas de g(s) = (K − s)+ ,
on pourra comparer avec la solution analytique ĝ(s) donnée dans [13, Sec. 8].
Applications numériques : K = 100, σ(t, s) = 0.1, r = 0.1, T = 0.1, Γ = 1, et
avec cas 1 : g(s) = (K − s)+ , puis cas 2 : g(s) = (K − 2|s − K|)+ .
Comparer ces résultats (cas 1 et 2) avec le prix d’une option de payoff ĝ évoluant
sans contraintes, suivant le modèle de Black et Scholes.
8. Option Américano-asiatique [Refs : [3], [12]] On considère un modèle d’option
R américano-asiatique portant sur un actif St et sur une valeur moyenne At =
1 t
S dτ . On considère que le prix de l’option à l’écheance T est ϕ(ST , AT ) :=
t 0 τ
(AT − ST )+ (cas du put strike flottant). Le détenteur du contrat à le droit d’exercer
à tout moment pour la valeur
ϕ(St , At ) := (At − St )+ .
On montre alors que la valeur V = V (t, S, A) de l’option satisfait à l’inéquation aux
dérivées partielles avec condition terminale suivante (au sens de viscosité) :
1 2 2
S−A
min − ∂t V − σ S ∂S,S V − rS∂S V −
∂A V + rV, V − ϕ(S, A) = 0,
2
t
t < T, S, A ≥ 0
(13a)
V (T, S, A) = ϕ(S, A).
(13b)
On s’intéressera d’abord à une discrétisation par différences finies. On fait le changement de variable x := − tA/T
et on cherche une solution particulière sous la forme
S
V (t, S, A) = Sf (t, x). Vérifier que f doit vérifier l’edp suivante :
1
1 2 2
(14a)
min − ∂t f − σ x ∂xx f + ( + rx)∂x f, f − ϕ̃(t, x) = 0
2
T
f (T, x) = (1 + x)−
(14b)
avec x− := max(−x, 0) et ϕ̃(t, x) := ( Tt x + 1)− .
Ecrire le problème obtenu après inversion du temps t → T − t, pour f¯(t, x) :=
¯ x = 1)). Déterminer une
f (T − t, x). La valeur cherchée est alors V (0, S, S) = S f(T,
solution analytique de la forme g(t, x) = xa(t) + b(t) dans le cas où la condition
initiale est f¯(0, x) = −x et où ϕ̃ = +∞. Pour le cas général, lorsque T ≤ 1, on
¯ x) = 0 et que f¯(t, x) ∼ g(t, x) quand x → −∞.
admettra que limx→+∞ f(t,
Ecrire l’équation correspondante en temps croissant (t → T − t). En déduire une
discrétisation par différences finies.
Estimer la valeur à la date initiale du contrat (t = 0), sur les données suivantes :
r = 0.1, σ = 0.1, K = 100 S = 100, et T ∈ {0.25, 0.5, 1} (années).
9. Option avec sauts.
On considère un modèle de diffusion avec sauts (suivant le modèle de Merton [9])
dS
= νdt + σdWt + (η − 1)dq,
S
7
RÉFÉRENCES
où dq est un processus de Poisson de paramètre λ > 0 indépendant de dWt . 3
On montre que la valeur v = v(t, s) correspondant à une option de payoff ϕ sur
l’actif S satisfait l’E.D.P suivante :
σ2 2
s ∂ss v − (r − λκ)s∂s v + rv + L(V ) = 0 s > 0,
2
v(T, s) = ϕ(s)
−∂t v −
où on a noté v → L(v) l’operateur linéaire t.q. :
Z ∞
L(v)(s) := λ v(s) −
v(sη)g(η)dη
t ∈ (0, T )(15a)
(15b)
(16)
0
R∞
avec g une fonction de l’amplitude du saut η, vérifiant g ≥ 0, 0 g(η)dη = 1, et où
κ := E(η − 1). Les paramètres du marchés (taux r, volatilité σ) sont supposés fixes.
On propose d’implémenter la méthode numérique détaillée dans [5].
1. Mettre en oeuvre un schéma explicite au différences finies proposé dans [5] pour
la discrétisation de (15).
2. Tester ensuite un schéma implicite de type Crank-Nicolson en temps (on pourra
utiliser un schema décentré en espace afin d’améliorer la stabilité ; mais dans un
premier temps on n’utilisera pas de FFT pour évaluer la partie saut, ni de méthode
itérative). Comparer les prix obtenus avec un modèle sans saut.
3. Tester la méthode itérative proposée dans [5] pour accélerer le calcul du schema
de Crank-Nicolson pour la partie (16).
Références
[1] Y. Achdou et O. Pironneau, Computational methods sor option pricing, 2005,
SMAI.
[2] Barles, G. and Daher, Ch. and Romano, M., Convergence of numerical
schemes for parabolic equations arising in finance theory, Math. Models Methods Appl. Sci., Vol 5 (no 1), pp 125-143 (1995).
[3] Bermúdez et Nogueiras (2004), Numerical Solution of Tow-Factor models
for Valuation of Financial Derivatives, Mathematical Models and methods
in Applied Sciences, Vol 14, No 2, 295-327.
[4] O. Bokanowski, S. Maroso, H. Zidani ”Some convergence results for Howard’s
algorithm,” Preprint Inria, 2007. ( http ://hal.inria.fr/inria-00179549/fr/ )
[5] Y. d’Halluin, P.A. Forsyth, K.R. Vetzal, Robust numerical methods for contingent
claims under jump diffusion processes, IMA Journal on Numerical Analysis, 25
(2005) 87-112.
3
La probabilité que dq = 1 est λ dt et la probabilité que dq = 0 est 1 − λ dt. Au voisinage d’un
saut on a donc dS
S ≃ (η − 1) et donc on saute de la valeur S à la valeur S + dS = ηS : η représente
l’amplitude du saut.
RÉFÉRENCES
8
[6] K. Ito, K. Kunisch, Semi-smooth Newton methods for variational inequalities of
the first kind. ESAIM : M2AN, Vol. 37, No 1, 2003, pp. 4162
[7] D. Lamberton et B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la
finance. Ellipses, 1997.
[8] F. Dubois et T. Lelievre, Efficient pricing of Asian options by the PDE approach,
Journal of Computational Finance, volume 8(2), pp 55-64, 2005.
[9] R.C. Merton, Option pricing when underlying stock returns are discontinuous.
Journal of Financial Economics, 3 :125144, 1976.
[10] B. Oksendal, Stochastic Differential Equations, An Introduction with Applications
(3rd edition), Springer Verlag, 1992.
[11] H. Pham, Optimisation et Contrôle Stochastique Appliqués à la Finance. 2007,
collection Mathématiques et Applications, Springer Verlag. (Voir éventuellement :
Notes de cours, 2003, Controle Optimal Stochastique et applications en Finance,
http://felix.proba.jussieu.fr/pageperso/pham/constomars03.pdf)
[12] Rogers, L. C. G. and Shi, Z., The value of an Asian option. J. Appl. Probab. 32
(1995), no. 4, 1077–1088.
[13] H. M. Soner, N. Touzi. Superreplication under gamma constraints, SIAM J.
Control Optim., Vol. 39 (1) : 73–96, 2000.
[14] P. Wilmott, S. Howisson, J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives
- A Studen Introduction (1998).
[15] P. Wilmott, Derivatives, The theory and practice of Financial Engineering, 1998,
John Wiley & Sons.