Liste des projets

1
Projects
Numerical methods for PDE in Finance - Ensta ParisTech S1-1/MMMEF
Olivier Bokanowski
November 2015
Projects should be realized by group of two people (no more). A short report
(5 to 10 pages) must be written, summerizing the work : problem setting, approach
followed, numerical results, problems and solutions. 1 Comments concerning boundary conditions, computing (cpu) time, precision of the results, convergence of the
method, should be included. Programs must be furnished separatly. We advice the
programming language Matlab or Scilab ; c++, c, . . .are also possible.
The final report (in .pdf format) and the final programs should be sent by email
to [email protected] at least 3 days before the oral presentation.
Oral presentation of the work is scheduled for December 15, afternoon. (10 minutes talk / 10 minutes question) - some slides for video projection are welcomed.
Mandatory : prepare a .pdf copy of the slides (if any) on a USB key.
Projects :
1. Asian fixed strike
2. Lookback
3. American option and BDF schemes
4. Gamma constraint
5. Amer-asian
6. Option on a Levy process
References : please consult web site or ask by email
https ://www.ljll.math.upmc.fr/∼boka/enseignement/ens2015.html
1. Latex can be used for writting documents with mathematical formulas.
2
Projet 1. Option asiatique strike fixe
Le prix
d’une
option
asiatique portant sur un actif St et sur une valeur moyenne
R
1 t
At = t 0 Sτ dτ , correspondant à E(ϕ(ST , AT )), est donné par V = V (t, S, A) t.q.
1
S−A
−∂t V − σ 2 S 2 ∂S,S V − rS∂S V −
∂A V + rV = 0
2
t
V (T, S, A) = ϕ(S, A).
(1a)
(1b)
1) En considérant le processus bidimensionel Xt := (St , At ), retrouver l’EDP (1).
2) On considère que le prix de l’option à la date T d’écheance est ϕ = (AT − K)+
(cas du call strike fixe, qui correspond à un droit d’achat au prix K − AT + ST à
l’échéance).
On fait le changement de variable x := K−tA/T
et on cherche une solution partiS
culière sous la forme V (t, S, A) = Sf (T − t, x). On commencera par montrer que f
doit vérifier l’edp suivante :
1
1
∂t f − σ 2 x2 ∂xx f + ( + rx)∂x f = 0
2
T
f (0, x) = x−
(2a)
(2b)
(avec x− := max(−x, 0)). La valeur cherchée est alors V (0, S, S) = S f (T, x = K
)).
S
3) Dans le cas où la condition initiale est f (0, x) := −x, déterminer une solution
analytique de la forme g(t, x) = xa(t) + b(t). Ensuite, pour le cas de f (0, x) := x− ,
on admettra que limx→+∞ f¯(t, x) = 0 et que f (t, x) ∼ g(t, x) lorsque x → −∞. En
déduire une E.D.P. approchée sur un domaine spatial de type [Xmin , Xmax ] (avec
), en précisant les conditions aux limites utilisées.
Xmin ≤ 0, Xmax > x̄ := K
S
4) Résoudre l’E.D.P. en utilisant les différences finies : on s’interessera en particulier aux schemas d’Euler explicite, d’Euler implicite, et de Crank-Nicolson pour
la discrétisation en temps, et avec un schéma centré pour la discrétisation en espace. Pour chaque méthode, on précisera des conditions suffisantes de stabilité, et
on étudiera si l’ordre numérique est conforme à l’ordre théorique attendu.
5) Comparer avec les résultats de [13] (voir aussi [9] pour des résultats plus
précis).
6) Comparer les résultats obtenus avec Xmin = 0 ou avec Xmin < 0.
Pour se projet une approche par éléments finis est aussi possible (me consulter).
Références : [13], [9], [15], [1].
3
Projet 2. Option sur maximum (floatting lookback put)
On considère un sous-jacent qui vérifie l’équation différentielle stochastique dSt =
St (rdt + σWt ) sous la probabilité risque neutre. On note Mt = max0≤τ ≤t Sτ la valeur
maximum sur l’intervalle de temps [0, t]. Le prix de l’option a l’instant t est ici donné
par
er(T −t) E(ϕ(ST , MT )|Ft )
où ϕ(ST , MT ) est le payoff de option. On peut verifier [17] que le prix a l’instant t
peut s’écrire V (t, St , Mt ) où V = V (t, S, M ) est solution de l’edp suivante :
1
−∂t V − σ 2 S 2 ∂S,S V − rS∂S V + rV = 0,
2
V (T, S, M ) = ϕ(S, M ), 0 ≤ S ≤ M,
∂M V (T, S, S) = 0, S ≥ 0.
0 ≤ S ≤ M, 0 ≤ t ≤ T,
On considère le cas du payoff ϕ(S, M ) = M − S (”floatting lookback put”). Montrer
que si V = M W (t, S/M ) alors W vérifie l’e.d.p. suivante :
1
−∂t W − σ 2 x2 ∂x,x W − rx∂x W + rW = 0,
2
W (T, x) = ϕ̃(x), 0 ≤ x ≤ 1,
∂x W (t, 1) = W (t, 1), t > 0.
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T,
(3)
(4)
(5)
où ϕ̃(x) est une fonction à préciser. L’objectif sera d’approcher numeriquement la
solution de (3) par les différences finies (schema explicite, implicite, Crank-Nicolson
pour la discrétisation en temps, schéma centré pour la discrétisation spatiale). Pour
chaque méthode, on précisera les conditions de stabilité et on étudiera si l’ordre
numérique est conforme à l’ordre théorique attendu.
On comparera avec les prix donnés par les formules fermées (voir [16], avec D = 0
(dividendes) et b = r).
Pour se projet une approche par éléments finis est aussi possible (me consulter).
4
Projet 3. Schémas BDF pour les options américaines
On s’intéresse au pricing d’option americaine.
On étudiera en particulier une approche par differences finies correspondant au
”schéma BDF2-implicite” proposé dans [18]. On tachera de reproduire les principaux
résultats numériques :
- pour un cas test avec second membre (solution exacte connue)
- pour une option put americaine.
En particulier on essayera d’obtenir un schema d’ordre deux même lorsque la
CFL n’est pas proche de 1.
Références : [18], [5].
5
Projet 4. Equation de Black et Scholes avec contraintes Gamma
On considère un portefeuille constitué d’un actif sans risque S 0 et d’un actif
risqué S(u) = St,s (u), évoluant suivant dS 0 (u) = S 0 (u)rdu et
dS(u) = S(u)(µdu + σ(u, S(u))dW (u))
Notons Y (u) la part d’actif risqué à l’instant u. Dans le modèle de Black et Scholes, la
∂v
stratégie de hedging classique consiste à prendre Y (u) =
(u, S(u)). En pratique les
∂s
contraintes du marché font que cette stratégie optimale n’est pas toujours possible,
et on examine ici un modèle où l’on impose une contrainte sur les variations de Y .
Plus précisement, on se donne une constante Γ > 0 et on considère contrainte
s
∂ 2v
≤Γ
∂s2
(On dit alors que v est Γ-concave).
On montre [14] qu’un modèle pour le prix de l’option v avec contraintes Gamma
est solution de l’EDP suivante :
2
∂v
∂ 2v
∂v 1 2
2∂ v
− σ (t, s)s
− rs
+ rv, Γ − s 2 = 0
(6)
min −
∂t
2
∂s2
∂s
∂s
avec la condition terminale
v(T, s) = ĝ(s).
(7)
La fonction ĝ est elle même définie comme la plus petite fonction Γ-concave majorant
g(s), et on montre que cette fonction est solution de l’équation
∂ 2 ĝ
) = 0, s > 0.
∂s2
Programmer les différences finies pour (6)-(7). On pourra adapter la méthode
de Newton ([5]) pour les options américaines. On commencera en particulier par
proposer un algorithme de calcul de ĝ. Dans le cas de g(s) = (K − s)+ , on pourra
comparer avec la solution analytique ĝ(s) donnée dans [14, Sec. 8].
Applications numériques : K = 100, σ(t, s) = 0.1, r = 0.1, T = 0.1, Γ = 1, et
avec cas 1 : g(s) = (K − s)+ , puis cas 2 : g(s) = (K − 2|s − K|)+ .
Comparer ces résultats (cas 1 et 2) avec le prix d’une option u de payoff ĝ
évoluant sans contraintes, càd suivant le modèle classique de Black et Scholes :
min(ĝ(s) − g(s), Γ − s
∂u
∂u 1 2
∂ 2u
− σ (t, s)s2 2 − rs
+ ru = 0
(8)
∂t
2
∂s
∂s
avec la condition terminale (7) : u(T, s) = ĝ(s).
Réflechir de même au moyen de programmer une approximation par différences finies pour une option avec cout de transaction (modele de Leland, 1985), et contrainte
Gamma, modélisée par
2
∂v 1 2
∂v
∂
v
min −
+
σ ∂s,s v − ∂s,s v − rs
+ rv, Γ − s 2 = 0,
(9)
∂t 2
∂s
∂s
−
avec petit devant σ 2 , et v(T, s) = ĝ(s).
6
Projet 5. Option Américano-asiatique 2
On considère un modèle d’option américano-asiatique
(resp. asiatique) portant sur un
Rt
actif St et sur une valeur moyenne At = 1t 0 Sτ dτ . On considère que le prix de l’option à
écheance est (AT − ST )+ (cas du call-strike flottant). Le détenteur du contrat à le droit
d’exercer à tout moment pour un payoff de valeur
ϕ(St , At ) = (At − St )+
On montre que la valeur V = V (t, S, A) d’une telle option doit satisfaire à l’E.D.P :
min(−∂t V −
σ2 2
1
S ∂SS V − rS∂S V − (S − A)∂A V + rV, V − ϕ(S, A)) = 0,
2
t
S, A ≥ 0, t ∈ (0, T ),
(10)
resp.
1
σ2 2
S ∂SS V − rS∂S V − (S − A)∂A V + rV = 0,
2
t
avec la condition terminale V (T, S, A) = ϕ(S, A).
−∂t V −
S, A ≥ 0, t ∈ (0, T ),
(11)
1) On fait les changement de variables x := − A
S et t → T − t, et on cherche une solution
particulière sous la forme V (t, S, A) = Sf (T − t, x). Montrer que f doit vérifier l’EDP
suivante, dans le cas de (10) :
1 2 2
1+x
min ∂t f − σ x ∂xx f + (
+ rx)∂x f, f − g(x) = 0, x ≤ 0, t ≤ T
2
T −t
f (0, x) = g(x) := (−1 − x)+ ,
ou l’EDP suivante, dans le cas de (11) :
1
1+x
∂t f − σ 2 x2 ∂xx f + (
+ rx)∂x f = 0,
2
T −t
f (0, x) = g(x) := (−1 − x)+ ,
x ≤ 0, t ∈ (0, T )
avec g(x) := (−1 − x)+ = max(−1 − x, 0). La valeur cherchée est alors V (0, S0 , S0 ) =
S0 f (T, x = −1).
Pour les questions suivantes, on pourra commencer par traiter le cas plus simple (11),
avant de traiter (10). (cas asiatique), afin de valider la méthode et les conditions aux
limites utilisées (on pourra se comparer à [13] dans ce cas).
2) On commencera par implémenter un schéma aux différences finies explicite. Constater
des problèmes de stabilité numérique.
3) Considérer ensuite un schéma implicite (Euler implicite ou Crank Nicolson), et tester
en particulier une version décentrée en espace afin d’assurer la stabilité (éventuellement
choisir un décentrage gauche ou droit suivant la position du noeud). Pour traiter la partie
”américaine”, on pourra considérer ne méthode de splitting. (On pourra éventuellement
comparer dans un deuxième temps avec une méthode de type Newton.) On travaillera sur
un intervalle de discrétisation [Xmin , Xmax ] avec Xmin ≤ −1 et Xmax = 0 et des conditions
aux limites appropriées (Dirichlet à gauche, Neumann à droite). 3 Exemple de données
numériques : r = 0.1, σ = 0.2, K = 100, S0 = 100, T = 1. On tachera d’évaluer le prix
avec 3 chiffres significatifs.
2. Références : [13] (options asiatiques), On pourra aussi consulter [4] : approche EDP pour une
option américano-asiatique, mais pour une fonction payoff différente.
3. Afin de trouver de bonnes conditions aux limites quand x → −∞, on pourra commencer par
7
Projet 6. Option avec sauts
On considère un modèle de diffusion avec sauts (suivant le modèle de Merton [10])
dS
= νdt + σdWt + (η − 1)dq,
S
où dq est un processus de Poisson de paramètre λ > 0 indépendant de dWt . 4
On montre que la valeur v = v(t, s) correspondant à une option de payoff ϕ sur l’actif
S satisfait l’E.D.P :
σ2 2
s ∂ss v − (r − λκ)s∂s v + rv + L(v) = 0 s > 0,
2
v(T, s) = ϕ(s)
−∂t v −
t ∈ (0, T )
où on a noté v → L(v) l’operateur linéaire t.q. :
Z ∞
L(v)(s) := λ v(s) −
v(sη)g(η)dη
(13a)
(13b)
(14)
0
R∞
avec g une fonction
de
l’amplitude
du
saut
η,
vérifiant
g
≥
0,
0 g(η)dη = 1, et où
R
κ := E(η − 1) = (η − 1)g(η)dη. Les paramètres du marchés (taux r, volatilité σ) sont
supposés fixes. On propose d’implémenter une méthode numérique similaire à [6], mais
simplifiée (pas d’interpolation entre maillages ni utilisation de FFT).
1.Proposer des conditions aux limites raisonables au voisinage de S = 0, de la forme
v(t, S) = a(t)S + b(t). (Condition limite à droite : prendre v(t, S) = 0 pour S assez grand).
2. On travaillera sur un intervalle du type [Smin , Smax ] avec Smin > 0, et on effectue le
changement de variable logarithmique S = Kex , soit x = log(S/K). Ecrire l’EDP correspondante pour la fonction u(t, x) ≡ v(t, S). Comme conditions aux limites on prendra
ug (t, x) = a(t)Kex + b(t),
ud (t, x) = 0
pour x ≤ Xmin := log(Smin /K),
pour x ≥ Xmax := log(Smax /K),
3. Ecrire une approximation du terme intégral sur un maillage uniforme (xi ) de [Xmin , Xmax ]. 5
4. Mettre en oeuvre un schéma explicite au différences finies pour la fonction u.
5. Comparer avec une formule exacte. 6 (comparer aussi avec un modèle sans saut).
6. Proposer un schéma implicite de type Crank-Nicolson.
7. (Facultatif) Proposer une EDP et un schéma pour l’option américaine correspondante.
déterminer une solution analytique de la forme k(t, x) = a(t)x + b(t) dans le cas où la condition
initiale est k(0, x) = −1 − x et l’équation ∂t k − 21 σ 2 x2 ∂xx k + ( T1+x
−t + rx)∂x k = 0. On pourra alors
prendre la condition limite à gauche f (t, Xmin ) = k(t, Xmin ) en x = Xmin 0.
4. La probabilité que dq = 1 est λ dt et la probabilité que dq = 0 est 1 − λ dt. Au voisinage
d’un saut on a donc dS
S ' (η − 1) et donc on saute de la valeur S à la valeur S + dS = ηS : η
représente l’amplitude du saut.
R∞
approchera l’integrale avec
2P + 1 termes (xj ) centrés en j = 0 : 0 v(si η)g(η)dη =
R 5. Onx +y
P
v(Ke i )g(Key )Key dy ' ∆y j v(Kexi+j )g(Kexj )Kexj . On pourra utiliser I points xi =
R
Xmin + ih, i = 1, . . . , I dans [Xmin , Xmax ], x0 = Xmin , xI+1 = Xmax , le terme intégral dépendra
au final des valeurs du schéma (ui )1≤i≤I et de P valeurs de bord ui pour des i ≤ 0 et aussi de P
valeurs pour i > I, et qui pourront être calculées à l’aide de ug et ud .
2
6. Formule de Merton : pour t < T et τ = T − t, avec rn = r − λ(eµ+γ /2 − 1) + n µt , σn =
RÉFÉRENCES
8
Références
[1] Y. Achdou et O. Pironneau, Computational methods sor option pricing, 2005, SMAI.
[2] Barles, G. and Daher, Ch. and Romano, M., Convergence of numerical schemes for parabolic equations arising in finance theory, Math. Models Methods Appl. Sci., Vol 5 (no 1),
pp 125–143 (1995).
[3] Bermúdez et Nogueiras (2004), Numerical Solution of Tow-Factor models for Valuation
of Financial Derivatives, Mathematical Models and methods in Applied Sciences, Vol 14,
No 2, 295–327.
[4] A. Bermúdez, M. R. Nogueiras, C. Vázquez, Numerical solution of variational inequalities
for pricing Asian options by higher order LagrangeGalerkin methods. Applied Numerical
Mathematics 56 (2006) 1256–1270.
[5] O. Bokanowski, S. Maroso, H. Zidani ”Some convergence results for Howard’s algorithm,”
Preprint Inria, 2007. (http://hal.inria.fr/inria-00179549/fr/)
[6] Y. d’Halluin, P.A. Forsyth, K.R. Vetzal, Robust numerical methods for contingent claims
under jump diffusion processes, IMA Journal on Numerical Analysis, 25 (2005) 87–112.
[7] K. Ito, K. Kunisch, Semi-smooth Newton methods for variational inequalities of the first
kind. ESAIM : M2AN, Vol. 37, No 1, 2003, pp. 41–62
[8] D. Lamberton et B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance.
Ellipses, 1997.
[9] F. Dubois et T. Lelievre, Efficient pricing of Asian options by the PDE approach, Journal
of Computational Finance, volume 8(2), pp 55–64, 2005.
[10] R.C. Merton, Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of
Financial Economics, 3 :125–144, 1976.
[11] B. Oksendal, Stochastic Differential Equations, An Introduction with Applications (3rd
edition), Springer Verlag, 1992.
[12] H. Pham, Optimisation et Contrôle Stochastique Appliqués à la Finance. 2007,
collection Mathématiques et Applications, Springer Verlag. (Voir éventuellement :
Notes de cours, 2003, Controle Optimal Stochastique et applications en Finance,
http://felix.proba.jussieu.fr/pageperso/pham/constomars03.pdf)
[13] Rogers, L. C. G. and Shi, Z., The value of an Asian option. J. Appl. Probab. 32 (1995),
no. 4, 1077–1088.
[14] H. M. Soner, N. Touzi. Superreplication under gamma constraints, SIAM J. Control Optim., Vol. 39 (1) : 73–96, 2000.
[15] P. Wilmott, S. Howisson, J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives - A
Studen Introduction (1998).
[16] P. Wilmott, Derivatives, The theory and practice of Financial Engineering, 1998, John
Wiley & Sons.
[17] O. Bokanowski, A. Picarelli, H. Zidani, ”Dynamic programming and error estimates for
stochastic control problems with maximum cost”, Applied Math. and Optim, Vol 71 (1) :
pp. 125–163 (2015).
[18] O. Bokanowski, K. Debrabant, ”High order finite difference schemes for some diffusionobstacle problems” (2015).
q
2
σ 2 + n γt , sn = senγ
2
/2
, κ := E(η − 1) = eµ+γ
PM erton (t, s) := e−rτ
X
n≥0
2
e−λτ
/2
− 1,
(λτ )n rn τ
e BS(t, sn , K, rn , σn )
n!
et où BS(t, S, K, r, σ) est la formule de Black et Scholes après renversement du temps t → T − t.