Rapport final de L`École de Recherche Théorie spectrale

Rapport final de L'École de Recherche
Théorie spectrale des graphes et des variétés
organisée à Kairouan, Tunisie, du 7 au 19 Novembre 2016.
Colette Anné et Nabila Torki-Hamza
Cette École de Recherche voulait attirer plus de jeunes vers l'analyse et la géométrie sur les graphes
pour permettre plus d'ouverture aux jeunes chercheurs. Les cours proposés devaient être accessibles
au doctorants et aussi pouvoir intéresser les chercheurs travaillant dans plusieurs domaines. Car ces
dernières années ont vu un renouveau de l’étude des graphes combinatoires par une approche issue
de la physique mathématique, de la théorie du potentiel ou de la géométrie Riemannienne.
Compte tenu de la nouveauté de la thématique en Tunisie, nous pouvons considérer que cet objectif
a été atteint.
Cette École n'aurait pu être réalisée sans le soutien actif de l'association ATMAI et son président
Aref Jeribi ainsi que de Rania Rais, enseignante à l'INSAT, Ines Kamoun Fathallah, responsable du
département de Mathématiques de l'université de Kairouan et de Hèla Ayadi, notre ancienne
doctorante, qu'ils en soient ici remerciés. Enfin signalons que le site de L'École hébergé par le
Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) :
http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/cimpa16kairouan/ contient tous les renseignements complémentaires à cette présentation, ainsi que des photographies et le lien vers le reportage que
Zitouna TV a consacré à notre École.
Participants : 79 inscrits, la liste des participants est en annexe. Concernant les participants
extérieurs à la Tunisie, le CIMPA a reçu 33 inscriptions, dont 11 du Moyen Orient et 8 d'Afrique
subsaharienne, 1 du Chili et 13 du Maghreb. Nous avons retenu 13 demandes, grâce à l'aide du
CIMPA et nous remercions Ahmad El Soufi pour le côté scientifique et Mme Allanic pour la partie
administrative. Nous devons signaler des difficultés diplomatiques pour l'obtention de visas de
certains ressortissants du Pakistan ou d'Irak, au final 10 personnes ont pu nous rejoindre, suivant la
distribution : Pakistan (2), Inde (1), Égypte (1), Côte d'Ivoire (1), Maroc (3), Algérie (1), Chili (1).
Cours et Conférences : L'École a proposé 3 conférences de deux fois une heure et 6 cours de cinq
fois une heure trente. Notons que le planning final ne correspond pas à l'annonce initiale, certains
professeurs s'étant désistés vers juin 2016. Nous remercions Constanza Rojas-Molina, Ahmad
Intissar et Luig Accardi d'avoir accepté de nous rejoindre, malgré une invitation tardive.
Conférenciers :
1. Luc Hillairet (Université d'Orléans) : Quelques problèmes de perturbations singulières.
Écart de valeurs propres pour des opérateurs de Schrödinger.
2. Ahmad Intissar (Université de Rabat) : On likewise G.I.J. differential operators on the real
line. On likewise Theta functions attached to discret subgroups of R3 and associated
Bargmann transforms.
3. Luigi Accardi (Université de Rome) : Comb. graphs and monotone independance. Crash
course on Quantum Probability.
Professeurs :
1. Nalini Anantharaman (Université de Stransbourg), Bornes géométriques sur les valeurs
propres de graphes. N. Anantahraman n'ayant pu venir ce cours a été diffusé sous forme
video de 4 fois 1 heure, les videos sont en lien sur le site web de l'École.
résumé : Dans ce cours on parlera du lien entre théorie spectrale et géometrie, dans le cadre simple
du laplacien combinatoire sur un graphe fini, ou plus généralement de marches aléatoires sur un
graphe fini. Chapitre 1 : Inégalités de Poincaré et de Cheeger. Il s'agit d'inégalités donnant une
borne inférieure sur la première valeur propre du laplacien, en fonctions de quantités géométriques
telles que le nombre de chemins passant par une arête, la longueur de ces chemins, le diamètre,...
Dans les 2 chapitres suivants on parle uniquement de graphes réguliers:
Chapitre 2 : Le théorème d'Alon-Boppana. On donne une borne supérieure sur la première valeur
propre, en fonction du diamètre. On définit les notions d'expanseurs et de graphes de Ramanujan.
Chapitre 3 : Existence de graphes de Ramanujan bipartis de degré quelconque (d'après Marcus,
Spielman, Srivastava).
2. Najoua Gamara (Université de Médine), Méthodes de la théorie des points critiques à
l’infini sur les variétés de Cauchy Riemann.
résumé : Les espaces sous-Riemanniens sont des espaces dont la structure métrique peut être
considérée comme ayant une géométrie contrainte, où le mouvement est possible le long d'un
ensemble donné de directions, en changeant de point en point. L'exemple le plus simple de ces
espaces est donné par le groupe que de Heisenberg. La motion contrainte caractéristique des espaces
sous-Riemanniens a de nombreuses applications allant du contrôle robotique dans l'ingénierie et de
la neurobiologie où il se pose naturellement dans l'imagerie par résonance magnétique
fonctionnelle. Il se pose aussi naturellement dans d'autres branches des mathématiques pures telle
que la géométrie de Cauchy Riemann, les espaces hyperboliques complexes, et les espaces de jet.
Dans ce cours, nous étudierons un exemple de l'utilisation de la relation entre la géométrie du
groupe de Heisenberg et la géométrie de Cauchy Riemann (CR). Plus précisément, nous nous
concentrerons sur le problème de la prescription de la courbure scalaire en utilisant des techniques
liées à la théorie des points critiques à l'infini. Ces techniques ont été initialement introduites par A.
Bahri, A. Bahri et H. Brezis pour la résolution de la conjecture de Yamabe dans le cas des variétés
Riemanniennes.
3. Sylvain Golénia (Université de Bordeaux), Sur le spectre absolument continu d'opérateurs
discrets. Les slides de ce cours sont disponibles sur le site web de l'École.
résumé : Après avoir revu les propriétés générales des opérateurs auto-adjoints bornés nous
étudierons en détail le spectre de certains opérateurs discrets : Matrice adjacente sur Z, N, un arbre,
un anti-arbre et aussi l'opérateur de Dirac discret sur Z.
Nous nous lancerons ensuite dans une étude plus fine des opérateurs auto-adjoints en construisant le
calcul fonctionnel continu. Grâce à celui-ci nous développerons la théorie du spectre essentiel et
nous démontrerons un théorème de stabilité. Celui-ci sera appliqué aux exemples développés
précédemment. Ensuite nous construirons le calcul fonctionnel mesurable. Nous passerons au
découpage du spectre en partie pp, ac et sc. Nous donnerons ensuite des propriétés de stabilité de la
partie ac et comment montrer l'absence du spectre sc. Dans une dernière partie nous présenterons la
théorie de Mourre dans le cadre abstrait mais aussi sur un exemple concret, celui de la matrice
adjacente sur Z. Nous donnerons alors un résultat beaucoup plus fort que celui de l'absence du
spectre sc. Nous montrerons un principe d'absorption limite et aussi des estimations de propagation.
4. Evans Harrell (Université d'Atlanta), Spectral theory on combinatorial and quantum
graphs. E. Harrell n'ayant pu venir ces cours ont été donné en visioconférence ; les slides et
les videos sont disponibles sur le site web de l'École.
résumé : Many mathematical models in applied science, from microelectronic circuits to social
networks, to biological systems, are based on graphs, that is, discrete sets of vertices with
connections. In a combinatorial graph the only information needed is which vertices are connected
to which, while in a quantum graph, the edge between vertices carries a differential operator of
Sturm-Liouville type. I will describe some of the models that lead to graphs and focus on the
problem of learning about their structure through the eigenvalues of operators on the graph. After
developing the standard tools, which are similar to those that are used in understanding problems of
vibrating membranes and quantum mechanics, I will develop some novel tools of spectral analysis
and provide a selection of open research problems.
5. Hatem Najar (Université de Médine), Introduction to spectral theory of unbounded
operators. Les slides de ce cours sont disponibles sur le site web de l'École.
résumé : This course introduce to the operator theory, basic spectral theory for unbounded operators
and their use in quantum theory. The central mathematical tool of this course is the spectral theory
of self-adjoint operators. The course is for audience from graduate students, PhD students and
young researchers. Details: Basic definitions on Banach and C*-algebra of operators, notion of
spectrum and resolvent, von Neumann series theorem, spectral radius formula; Riesz projector,
closed and closable operators, the adjoint, criterion for self-adjointness and for essential selfadjointness. Unbounded operators on Hilbert spaces: Laplacian operator, perturbation theory and
self-adjoiness, Shrödinger operators…
6. Constanza Rojas-Molina (Université de Bonn). Opérateurs de Schrödinger aléatoires. Les
slides de ce cours sont disponibles sur le site web de l'École.
résumé : We will give an introduction to the theory of random Schrödinger operators, by studying
the Anderson model on the d-dimensional lattice. This model was first proposed by P.W. Anderson
in the late 50s to explain the absence of wave propagation in materials with impurities.
The Anderson model is a self-adjoint Schrödinger operator with a random potential that represents
the medium. As a consequence of the presence of disorder, waves remain localized. This, in turn,
induces the appearance of a region of pure point spectrum, a phenomenon known as Anderson
localization.
It is widely expected that the Anderson model exhibits a spectral (and dynamical) transition in the
spectrum, from pure point to absolutely continuous spectral type, in dimension three and up. So far,
the only setting for which this transition has been proved is the Cayley tree (a regular tree graph,
also known as Bethe lattice). A general proof of the transition for the Anderson model on the lattice
still remains out of reach. The aim of this course is to give the necessary tools to grasp the idea of
the spectral transition in the setting of the Cayley tree. First, we will give a proof of Anderson
localization using the Fractional Moment Method [AM], following the approach of [S]. We will
then discuss the Simon-Wolff criterion, which gives a characterization of the spectral type of the
model in terms of the Green's function.
Finally, we will discuss the ideas behind the proof of absolutely continuous spectrum in the Caylee
tree. With this, we intend to give a roadmap to follow the proof of spectral transition in regular tree
graphs, Our goal is to see how the Fractional Moment Method and the Simon-Wolff criterion are
used in the proof of the spectral transition, following M. Aizenman and S. Warzel.
Activités culturelles : durant l'École, les participants ont pu profité
- d'un concert de musique traditionnelle Malouf,
- d'une visite guidée dans la ville de Kairouan (rappelons que Kairouan a un riche patrimoine
historique comme ancienne capitale de l'Ifriqiya, à l'époque des Aghlabides),
- d'une visite guidée du musée Raqqâda , musée national d'art islamique, situé à quelques
kilomètres de Kairouan sur le site de la seconde capitale de la dynastie des Aghlabides.
Budget : notons que les dépenses ont été plus faibles que prévues par l'absence de deux voyages
depuis les États-Unis (renoncement de J. Dodziuk, problèmes de santé de E. Harrell).
soutiens financiers
CIMPA
IMU
UFA
Université Nantes
Laboratoire J. Leray
Université Orléans
Université Bonn
ANR GERASIC
Labex IRMIA (Université de Strasbourg)
Unité de Recherche UR/13 ES 47, Bizerte
Fondation Ben Salem
Université de Kairouan
ISIG, INSAT, ISMAI
Université Tunis
Université Monastir
Université Sfax
Université de Sousse
total des soutiens
postes de dépense
Voyages (avion + Tunis<->Kairouan)
Hébergement (pension complète)
Poses café + repas midi pour Kairouanais
MOOC Anantharaman
Communication
total dépenses
recettes en € dépenses en €
12000
1500
900
500
1000
300
400
300
620
2050
2050
4000
3000
500
500
500
500
30620
5000
23000
1500
620
500
30620
taux de change : 1€=2,44D
Parité : respectée dans le corps professeur, et aussi largement dans celui des étudiants, elle reste
déséquilibrée, dans un sens ou dans l'autre, aussi bien pour les conférenciers, pour les inscrits non
tunisiens, ou pour les organisateurs.
Et après… Le site de l'École propose les slides ou les videos des cours et des conférences, par
ailleurs nous encourageons les professeurs et conférenciers à rédiger leurs cours qui pourront être
publiés par la Société Mathématique de France.
Annexe : liste des participants (79 personnes) n.b. nous n'avons pu récupérer le courriel de certains
étudiants de Master de l'Université de Kairouan.