Diagrammes de Nyquist Circulaires

1. Rappel : Inversion d’une droite dans le plan complexe.
Soient 2 nombres complexes C et D fixés ; soit α un paramètre réel. (en toute généralité, α peut
varier de - ∝ à + ∝ )
Alors, Z = C + α.D est l’équation d’une droite
I
( ) du plan complexe, dont les points sont
).
décrits quand α varie sur (
( ) est ainsi graduable en valeurs de α.
H
L’image de Y =
(
1
est le cercle
C + αD
D
), passant par l’origine (O est image de Y
lorsque α → ± ∝ ), et de diamètre OH'=
C
R
O
1
,
OH
fixé par la puissance d’inversion.
( ) est ainsi un cercle particulier.
H’
2. Cercle le plus général.
Pour obtenir le cercle le plus général, à partir du cercle précédent, il faudrait :
K
, où K est un réel ;
C + αD
K
+V
- Le translater dans une direction quelconque, c’est à dire considérer l’image de Y =
C + αD
- Modifier son diamètre, c’est à dire considérer l’image de Y =
où V est un nombre complexe fixé, tout comme C ou D.
Cette dernière expression peut s’écrire : Y =
K + V .C + α V .D A + α B
où A, B, C et D sont 4 nombres
=
C + αD
C + αD
complexes fixés. Y est ce qu’on appelle une forme homographique de la variable réelle α.
En résumé : Toute transmittance pouvant se mettre sous la forme d’une fonction homographique
d’une variable α réelle, du type Y =
A + αB
(avec A, B, C et D qui sont 4 complexes donnés)
C + αD
admet un cercle comme image dans le plan complexe.
Ce cercle n’est entier que si α peut varier sur tout l’espace réel ; dans le cas contraire, on n’obtient
qu’une portion de cercle. (en pratique, cette portion est généralement un demi cercle)
Exemples : T1 =
K
f
1+ j
fo
j
et T 2 =
f
fo
f
1+ j
fo
(passe bas et passe haut du premier ordre) sont des fonctions
homographiques de la variable réelle f ; le diagramme de Nyquist correspondant est donc circulaire ;
comme f ne peut varier que sur l’espace réel positif, les diagrammes sont des demis cercles.
3. Construction géométrique du cercle de Nyquist.
Nous voulons tracer le diagramme associé à T =
A + αB
; c’est un cercle entier, dans la mesure
C + αD
où α peut décrire tout l’espace réel.
Pour tracer un cercle, il faut en connaître 3 points ou 2 points et le centre.
2 points sont immédiats :
α=0
A
Y = Y o = , donnant le point Mo du plan complexe
C
α→ ∝
B
Y = Y ∞ = , donnant le point M∝ du plan complexe.
D
Afin de poursuivre la construction, on utilise la propriété suivante : « Etant donnés 2 points fixes
Mo et M∝ d’un cercle, tout autre point M de ce même cercle voit la corde MoM∝ sous l’angle θ constant »
θ = M∝MMo , angle entre M∝M et MoM, compté
à partir de M∝M (angle orienté)
M∝M est l’image de Y - Y∝
MoM est l’image de Y – Yo
Donc : θ = arg( Y – Yo) – arg( Y - Y∝)
Soit θ = arg
I
M
θ
Y − Yo
C
Y − Y∞
M∝
Mo
R
A + α B A C(A + α B ) − A(C + α D )
=
=
−
C + αD C
C(C + α D )
A + α B B D( A + α B ) − B(C + α D)
Y − Y∞ =
=
− =
C + αD D
D(C + α D)
Y − Yo
D
Nous pouvons en déduire :
= −α
,
Y − Y∞
C
Y − Yo =
et ainsi :
θ = arg − α
α (B.C − A .D )
C(C + α D )
A.D − B.C
D(C + α D )
D
C
(α étant un réel, θ est indépendant de la valeur de α : seul son signe change avec celui de α)
Remarque : Si α est toujours positif (cas fréquent où α est assimilable à la fréquence), θ sera de signe
constant, et seule une portion de cercle sera décrite par le point figuratif M lorsque α variera.
En résumé, si nous connaissons A, B, C et D, nous pouvons placer les points Mo et M∝, ainsi
que calculer l’angle θ. Il est maintenant possible de construire le cercle de Nyquist.
Examinons le cercle terminé, et découvrons y une propriété intéressante, laquelle pourrait nous en
faciliter la construction !
M1
Sur le cercle ci-contre, nous pouvons
reconnaître les points Mo et M∝ , le centre
C du cercle ainsi que la médiatrice M1H
du segment MoM∝ .
MoM∝ est vu sous l’angle θ depuis M1
et sous l’angle 2θ depuis le centre C ;
(propriété habituelle dans un cercle)
La tangente au cercle en Mo étant perpendiculaire au rayon CMo ; il en résulte
qu’elle fait nécessairement l’angle θ avec
le segment MoM∝ .
(la somme α + θ +90 valant 180°)
On pourrait montrer, de façon identique,
que la tangente au cercle en M∝ fait également l’angle θ avec MoM∝ .
I
En conclusion la construction du cercle
pourra s’effectuer de la façon suivante :
θ/2
C
θ
α
Mo
M∝
H
θ
tangente en Mo
0
R
Nous plaçons d’abord les points Mo et M∝ ; par Mo, nous menons la droite (∆) faisant l’angle
θ avec le segment MoM∝ (qui est la tangente au cercle en Mo)
Nous traçons ensuite la perpendiculaire en Mo à (∆), ainsi que la médiatrice de MoM∝ .
Nous obtenons ainsi le centre C du cercle, intersection de ces 2 droites.
Le tracé du cercle est maintenant possible !
Remarque : 1 Comme toute construction graphique, cette méthode géométrique doit être exécutée avec
le plus grand soin, notamment en ce qui concerne le report d’un angle, souvent générateur d’erreurs.
2 Dans l’immense majorité des cas rencontrés en électronique, l’angle θ vaut ± π/2 rad,
c’est à dire que le segment MoM∝ est en fait le diamètre du cercle recherché ; le centre C se trouve alors
trivialement au milieu de MoM∝ .
j
Exemple : Soit la transmittance T 2 =
f
fo
f
1+ j
fo
(filtre passe haut du premier ordre)
C’est une fonction homographique de la fréquence f, avec A = 0 , B = j/fo , C = 1 et D = B = j/fo
Mo est l’image de A/C = 0 ; Mo se trouve à l’origine du plan complexe.
M∝ est image de B/D = 1 ; M∝ se trouve sur l’axe réel, à.l’abscisse + 1.
L’angle θ, défini par θ = arg − α
D
C
vaut ainsi –90°; c’est donc que MoM∝ est un diamètre du cercle ;
le centre C se trouve au milieu de ce segment. (sur l’axe réel, à l’abscisse + 0,5)
Comme f ne varie que sur l’espace réel positif, le diagramme recherché n’est qu’un demi cercle ; on peut
facilement le déterminer en recherchant un troisième point : Il est judicieux de considérer le point
j
1+ j
correspondant à la fréquence fo. A cette fréquence, on a T 2 (f o ) =
=
1+ j
2
M
L’image M de ce complexe se trouve à l’abscisse +0,5
0,5
et à l’ordonnée +0,5 ;
Il s’agit ainsi du demi cercle « supérieur ».
Finalement, le diagramme de Nyquist associé à T2
a l’allure ci-contre.
0,5
Mo
1
M∝
C
4. Droite échelle.
Une droite échelle est une droite, graduée linéairement en valeurs du paramètre α , et permettant
de localiser tout point correspondant du cercle.
Considérons le cercle de Nyquist le plus général, les points Mo , M∝ et la tangente au cercle en M∝ ;
considérons également une droite (D) quelconque, parallèle à la tangente au cercle en M∝ .
Soit un point M du cercle, associé à une valeur particulière (et connue) de α ;
appelons No l’intersection de (D) et de MoM∝ et N l’intersection de (D) et de MM∝ .
Les triangles MMoM∝ et NNoN∝ sont
M
semblables (homothétiques et opposés par
leur sommet commun M∝ )
Il vient :
MoM
M∞M
=
NoN
NoM ∞
d’où : N o N = N o M ∞ .
θ
MoM
M∞M
θ = arg
MoM
M∞M
= arg − α
D
C
No
M∝
Comme nous avons montré plus haut que
Mo
θ
θ
on en déduit que
N o N = N o M ∞ . mod − α
N
D
D
= αM ∞ N o . mod
C
C
puique NoM∝ est une constante, de même que D/C ,
la longueur NoN est proportionnelle à la valeur de α.
(le point No correspond à la valeur 0 de α )
La droite (D) peut ainsi être graduée linéairement en valeurs de α.
(D)
Remarque : Très souvent, les points Mo et M∝ représentent un diamètre du cercle (α = ± 90°), et
appartiennent à l’axe réel ; dans ces conditions, la tangente au cercle en M∝ est parallèle à l’axe
imaginaire, si bien que toute parallèle à l’axe imaginaire peut constituer une droite échelle.
Exemple :Reprenons le diagramme du filtre passe haut du premier ordre tracé précédemment :
La tangente au cercle en M∝ est paralléle
à l’axe imaginaire ; choisissons donc une
parallèle quelconque à l’axe imaginaire
pour droite échelle.
L’intersection de MoM∝ avec cette droite
nous donne le repère f = 0 ;
l’intersection de MM∝ avec la droite échelle
nous donne le repère f = fo (M correspond
à f = fo)
Il est possible de graduer la droite échelle,
par exemple en multiples de fo.
M
0,5
M’
0,5
Mo
1
M∝
C
Utilisation :
Repèrons le point de la droite échelle à la
graduation f = fo/2, puis traçons le segment
issu de ce point, et passant par M∝ ;
ce segment coupe le cercle de Nyquist en M’ ;
M’ est ainsi le point du cercle associé à la valeur
fo/2 de la fréquence.
f=0
f = fo
f = 2fo
f = 3fo
5. Exemples de diagrammes circulaires.
La plupart des transmittances du premier ordre admettent des représentations de Nyquist circulaires :
Ao
f
1+ j
fo
f
f1
, A.
f
1+ j
f2
1+ j
j
, A.
f
f1
f
1+ j
f2
f
fo
…..exercez-vous !
f
1+ j
fo
1− j
,
En ce qui concerne les fonctions du deuxième ordre, seules les fonctions passe bande et réjecteur
admettent un diagramme de Nyquist de forme circulaire. La mise sous forme d’une fonction homographique d’une variable réelle est beaucoup moins évidente.
2mj
Intéressons nous à la forme passe bande de base : T( jf ) =
f
fo
f
f
+ j
1 + 2mj
fo
fo
2
(réponse centrée sur fo , d’amplification maximale unitaire, et de bande passante B = 2mfo )
f
, l’expression de T(jf) devient T(jx) :
fo
2mjx
1
(en divisant par 2mjx)
T( jx) =
=
1 − x 2 + 2mjx 1 + 1 j x − 1
2m
x
1
1
qui est bien une forme homograPosons α = x − (variable réelle) et nous obtenons T(α ) =
α
x
1+ j
2m
En utilisant la fréquence réduite x =
phique du réel α.
α varie sur tout l’espace réel quand x varie de 0 à
l’infini, comme le montre la courbe ci-contre :
En conclusion, le diagramme de Nyquist sera un
cercle entier .
Construisons maintenant ce diagramme :
Nous avons T(α ) =
A + αB
, avec
C + αD
A = 1 ; B =0 ; C = 1 et D = j/2m
Pour α = 0, il vient le point Mo, situé sur l’axe des
réels, à l’abscisse +1.
Pour α → ± ∝ ,il vient le point M∝ situé à l’origine.
Recherchons l’angle θ sous lequel tout point du cercle
voit MoM∝ : θ = arg − α
D
j
= −90o
= arg − α
C
2m
M1
0,5
MoM∝ est donc diamètre du cercle, et son centre se
trouve sur l’axe réel, à l’abscisse +0,5.
-2m
Le cercle peut alors être tracé :
En sus des points Mo et M∝ nous pouvons placer
2 autres points :
- Pour α = -2m, T =
au point M1.
- Pour α = 2m, T =
1
= 0,5 + 0,5 j , ce qui conduit
1− j
Mo
0
M∝
0,5
2m
1
= 0,5 − 0,5 j , ce qui conduit
1+ j
au point M2.
-0,5
M2
Là encore, toute parallèle à l’axe imaginaire peut
constituer une droite échelle ; on a représenté ci-contre
un exemple, dans lequel la graduation de cette droite est
α
assurée par les points M1 et M2.
Attention : La graduation est linéaire en valeurs de α, mais
pas en valeurs de la fréquence !
Remarquer en outre que la bande passante du filtre correspond au demi cercle situé à droite de M1 et M2 .
(M∝M1 = M∝M2 =0,707×MoM∝ )
Pour le cas du réjecteur, on écrit la transmittance isochrone en fonction de la fréquence réduite x,
puis on introduit la variable α, définie par α =
1+ j
( T=
1 + 2mj
f
fo
2
f
f
+ j
fo
fo
2
=
x
1 − x2
1 − x2
1 − x 2 + 2mjx
=
: Le résultat est comparable
1
1 + 2mj
x
1 − x2
=
1
)
1 + 2mjα