Calcul stochastique appliqué `a la finance Options exotiques

ECP - Module Finance - Option MAP P2011
Ioane Muni Toke - 28 octobre 2010
Calcul stochastique appliqué à la finance
Options exotiques
Ce TD est adapté de Stochastic Calculus for Finance, S. Shreve, Springer, 2004 (disponible
au centre de documentation). En complément du premier exercice, on pourra également
consulter le chapitre 3 “Options barrières” du cours Couverture des risques dans les
marchés financiers, N. El Karoui, X (disponible en ligne). En complément du deuxième
exercice, on pourra aussi consulter les exercices du chapitre 4 “Modèle de Black et Scholes”
de Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, D. Lamberton et B. Lapeyre,
Ellipse, 1998 (disponible au centre de documentation).
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Options barrière et options sur maximum
1.1
Loi jointe d’un brownien et de son maximum
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et (Wt )0≤t≤T un brownien sous P. On pose Mt =
max Wu le maximum courant du brownien.
0≤u≤t
1. En utilisant le principe de réflexion du mouvement brownien, calculer la densité
fM,W de la loi jointe du couple (Wt , Mt ) sous la probabilité P.
2. Pour α réel, on pose Ŵt = Wt + αt et M̂t le maximum courant de ce processus.
Caluler la densité fM̂,Ŵ de la loi jointe du couple (ŴT , M̂T ) sous la probabilité P.
1.2
Option up and out : formule explicite
On se place dans le cadre du modèle traditionnel de Black & Scholes : l’actif S suit la
dynamique dSt = rStdt + σSt dWt , avec (Wt ) un mouvement brownien sous la probabilité
risque-neutre P. Une option d’achat up and out sur le sous-jacent S, achetée à la date
0, d’échéance T et de strikes K et B, paie à son détenteur ST − K si cette quantité est
positive et si le prix du sous-jacent n’a jamais atteint B entre les dates 0 et T .
1. Montrer que la valeur à la date 0 de l’option s’écrit
i
h
V0 = EP e−rT (S0 eσŴT − K)I{ŴT >k,M̂T <b} ,
et expliciter les constantes α, k et b.
2. En utilisant les résultats de la section 1.1, montrer que V0 s’exprime comme la somme
de quatre intégrales.
3. Calculer ces intégrales et donner une formule explicite du prix de l’option knock-out
dans le cas S0 ≤ K < B.
1.3
Option up and out : pricing et couverture par EDP
1. Rappeler en la justifiant l’équation aux dérivées partielles de pricing de l’option up
and out dans le cadre de Black & Scholes.
2. En donner les conditions aux limites détaillées.
3. Que se passe-t-il pour S ↑ B et t ↑ T ? Quelles sont les conséquences pour la couverture de l’option ?
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Ioane Muni Toke - 28 octobre 2010
Option asiatique à moyenne arithmétique continue
On se place dans un cadre de type Black & Scholes. Avec les notations traditionnelles,
le payoff de l’option à la date T s’écrit :
+
Z T
1
.
St dt − K
h=
T 0
2.1
Une première EDP
1. On pose Yt =
Z
t
Su du. Montrer par les techniques usuelles qu’une équation aux
0
dérivées partielles d’évaluation de l’option asiatique s’écrit
1
vt + rxvx + xvy + σ 2 x2 vxx − rv = 0.
2
2. Rappeler la stratégie de couverture en delta de cette option.
3. La résolution numérique de cette EDP n’est pas sans difficultés . Pourquoi ?
2.2
Une seconde EDP
Soit c un réel positif. On introduit le call asiatique à moyenne partielle de payoff
Z T
+
1
,
VT =
St dt − K
c T −c
et on construit un portefeuille de valeur Xt construit en empruntant à la date 0 la somme
e−rT K et en ayant en portefeuille à toute date t la quantité d’actifs déterministe suivante :
1
−rc ),
0 ≤ t ≤ T − c,
rc (1 − e
γt =
1
−r(T −t) ), T − c ≤ t ≤ T.
(1
−
e
rc
1. Montrer que
d(er(T −t) Xt ) = d(er(T −t) γt St ) − er(T −t) St dγt .
2. Montrer que
XT =
1
c
Z
T
Su du − K.
T −c
Xt
. Calculer la dynamique de Yt .
St
4. En effectuant un changement de numéraire, montrer qu’il existe une fonction g telle
que
Vt = St g(t, Yt )
3. On pose Yt =
5. Montrer que g est solution de l’équation
1
gt (t, y) + σ 2 (γt − y)2 gyy (t, y) = 0,
2
dont on précisera les conditions aux limites.
6. Donner les avantages numériques de cette nouvelle EDP d’évaluation.
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