DÉA Mathématiques et Applications Nantes–Angers Cours

DÉA Mathématiques et Applications
Nantes–Angers
2001–2002
Résumés des cours
Les cours ont lieu à Nantes, les mardi et jeudi.
Réunion de rentrée : mardi 11 septembre 2001, 10h.
Cours de base
Équations elliptiques et paraboliques
Catherine Bolley
Nous présentons dans ce cours des techniques de base pour l’étude de problèmes elliptiques ou paraboliques,
avec quelques applications à quelques problèmes non linéaires.
Plan du cours:
1. Rappels de quelques espaces fonctionnels.
2. Résolution d’équations elliptiques :
• méthodes variationnelles. Régularité et propriétés des solutions (positivité,. . . ) ;
• étude de quelques méthodes non variationnelles (méthode de Galerkin, méthode de points fixes,. . . ) ;
• applications à des problèmes issus de la mécanique classique et de la mécanique des fluides.
3. Étude d’équations paraboliques: théorème d’existence, unicité ; propriétés des solutions. Applications.
Références bibliographiques :
H. Brezis, Analyse fonctionnelle; théorie et applications, Masson, Paris, 1983.
D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag. 1983.
O. Kavian, Introduction à la théorie des points critiques. Mathématiques et applications 13, Springer-Verlag.
1993.
Distributions et courants
Laurent Guillopé
Fonctions généralisée, les distributions sont des outils naturels dans l’étude des variétés. Bien que la
plupart de leurs propriétés soient de nature locales (et donc relèvent de l’analyse dans les espaces numériques
Rn ), elles sont très utile dans les domaines de l’analyse globale, ainsi du théorème de de Rham mettant en
dualité la cohomologie des formes différentielles et l’homologie des cycles.
Dans une première partie, on verra comment l’étude locale des singularités (front d’onde) permet d’étendre
aux distributions les opérations classiques sur les fonctions (restriction, produit),. . . .
La seconde partie du cours sera consacrée à la cohomologie de de Rham, à travers l’étude des complexes
de formes différentielles, lisses ou à coefficients distributions (les courants), faisant le lien avec l’homologie.
Références bibliographiques :
L. Hörmander, The analysis of linear differential operators, I, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
G. de Rham, Variétés différentiables, Hermann, Paris, 1955.
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Champs de vecteurs et formes différentielles sur les variétés, introduction à la
mécanique hamiltonienne
François Laudenbach
Une variété de dimension n est un espace topologique qui au voisinage de chacun de ses points ressemble
à Rn . Pour n = 2, ce sont les surfaces : la sphère, le tore, le plan projectif... Par essence ce sont des objets
géométriques non linéaires. On peut néanmoins y développer des éléments de calcul différentiel : points
critiques d’une fonction, dynamique d’une équation différentielle. La mécanique hamiltonienne, (mécanique
conservative dans laquelle l’énergie est préservée) conduit naturellement à de telles études.
Dans la recherche des points d’équililibre d’un système en évolution, l’étude des points critiques de
fonctions (autres que les extrema locaux) occupe une place privilégiée. C’est l’objet de la théorie lancée par
Marston Morse il y a quelque 60 ans et qui ne cesse de se développer. Nous verrons l’apport de la théorie de
Morse sur la recherche des orbites périodiques d’un système hamiltonien.
Références bibliographiques :
V. I. Arnol’d, Méthodes mathématiques le la mécanique classique, Ed. Mir, 1974, trad. anglaise, graduate
texts Springer 1978.
M. Do Carmo, Differential forms and applications, Universitext Springer 1994.
A. Gramain, Topologie des surfaces, PUF, Paris 1971.
A. Fomenko, Differential geometry and topology, Contemporary soviet math., Consultants bureau, NewYork 1987.
M. Hirsch, Differential topology, GTM, Springer, 1976.
D. Lehmann & C. Sacré, Géométrie et topologie des surfaces, PUF, Paris 1982.
J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton university press, 1997.
F. Pham, Géométrie et calcul différentiel sur les variétés, Interéditions, Paris 1992.
J. Stillwell, Geometry of surfaces, Universitext, Springer, 1992.
Introduction aux groupes de Lie
Jean-Jacques Loeb
Théorie de base : définition, algèbre de Lie, sous-groupes, application exponentielle, théorème de Cartan.
Groupes résolubles et semi-simples.
Groupes de Lie complexes.
Références bibliographiques : Le livre de base :
R. Mneimné, F.Testard, Introduction à la théorie des groupes de lie classiques, Hermann.
V.S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras and their representations.
Un point de vue plus groupe complexe :
D. N. Akhiezer, Lie group actions in complex analysis, Aspects of mathematics, Vieweg.
Un point de vue plus géométrique :
S. Helgason, Differential geometry and symmetric spaces, Academic Press.
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Cours optionnels
Quelques résultats théoriques/numériques en océanographie/météorologie
Didier Bresch (CNRS, Clermont-Ferrand), François Jauberteau
Dans une première partie on présentera quelques modèles classiques intervenants en océanographie/météorologie et obtenus par diverses analyses asymptotiques formelles basées sur divers nombres sans dimensions,
voir Pedlosky par exemple. Nous présenterons notamment les équations de shallow water, les équations
primitives et les équations quasi-géostrophiques.
Dans une deuxième partie, on présentera quelques outils mathématiques permettants de justifier certaines
de ces asymptotiques. Ces asymptotiques sont à apparenter à des problèmes de perturbations singulières,
voir J.-L. Lions par exemple. Les phénomènes mis en jeu sont par exemple la propagation d’ondes et la
présence de couches limites. On exposera notamment certains travaux récents, sur le sujet, effectués en
Mathématiques Appliquées.
Dans une troisième partie, on s’intéressera à la simulation numérique d’écoulements gouvernés par les
modèles classiques précédents. On étudiera les approximations par différences finies, éléments finis et par
méthodes spectrales. Les problèmes numériques liés à la physique (contrainte de stabilité numérique due
aux ondes de gravité) et à la géométrie sphérique (problèmes apparaissant aux pôles) seront détaillés. On
verra alors les méthodes numériques permettant d’éviter ou de réduire ces problèmes. Pour cette partie on
pourra consulter les références de G.-J. Haltiner et R.-T. Williams, B. Cushman-Roisin, D.-L. Williamson
et R. Laprise.
Références bibliographiques :
J.-L. Lions, Perturbations singulières, Springer-Verlag, (1979).
J. Pedlosky, Geophysical fluid dynamics, Springer-Verlag, (1987).
G.-J. Haltiner, R.-T. Williams, Numerical prediction and dynamic meteorology, John Wiley & Sons,
New York, (1980).
B. Cushman-Roisin, Introduction to Geophysical Fluid Dynamics, Prentice Hall, (1994).
D.-L. Williamson et R. Laprise, Numerical approximation for global atmospheric general circulation
models, K. Browning et R.-J. Gurney, Eds., Cambridge University Press, (1999).
Méthodes résurgentes pour les équations différentielles
Éric Delabaere
On donnera les rudiments de la théorie des fonctions résurgentes d’Ecalle, avec un point de vue axé
sur la résurgence des équations différentielles présentant un point singulier non régulier (résurgence dite
équationnelle). Les mots clefs seront:
• Algèbres de résurgence.
• Calcul différentiel étranger.
• Équation du pont et classification analytique des équations différentielles.
Le cours s’appuiera sur de nombreux exemples. On analysera en particulier la résurgence de quelques
fonctions spéciales “incontournables” en asymptotique complexe.
Références bibliographiques :
B. Candelpergher, C. Nosmas, F. Pham, Approche de la résurgence, Actualités mathématiques, Hermann, Paris (1993).
E. Delabaere, Un peu d’asymptotique, Pupé 28, janvier 1997, Université de Nice-Sophia Antipolis, URA
168 J.A.Dieudonné.
J. Ecalle, Cinq applications des fonctions résurgentes, Publ. Math. D’Orsay, Université Paris-Sud, 84T
62, Orsay (1984).
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Courbes algébriques planes: étude globale et locale
Michel Granger, Abdallah Assi
L’objectif de ce cours de fournir les principaux outils de l’étude locale des singularités de courbes (essentiellement planes): Éclatements, développements de Puiseux, surfaces toriques. Quelques résultats globaux
sur les courbes affines ou projectives seront donnés à titre de motivation.
Courbes dans l’espace affine: rappels succincts. Intersection et théorème de Bezout. Classe d’une courbe
et formules de Plücker. Transformations quadratiques.
Étude locale des courbes planes complexes. Théorème de préparation, et notion de branche analytique (ou formelle) locale. Polygone de Newton et développement de Puiseux. Éclatements et arbres de
désingularisation. Application au calcul des multiplicités d’intersection.
Si le temps imparti le permet l’un des sujets suivants pourra être abordé:
• Résolution torique dans le cas non dégénéré.
• Généralisation au cas des courbes méromorphes. Racines approchées et applications.
Pré-requis : Éléments de géométrie algébrique et notions de théorie de Galois.
Références bibliographiques :
S.S. Abhyankar, Lectures on expansion techniques in Algebraic geometry, Tata Institute of fundamental
research, Bombay, 1977.
E. Brieskorn, H. Knörrer, Plane algebraic curves, Birkhauser.
R.J. Walker, Algebraic curves, Springer Verlag.
O. Zariski, Le problème des modules pour les branches planes
Modèles mathématiques pour les atomes et les molécules
et application à la stabilité de la matière
Benoı̂t Grébert, Jean-Marie Barbaroux
L’évolution d’un système de N particules (atomes, électrons) est décrite mathématiquement à l’aide
d’équations aux dérivées partielles issues de la Mécanique Quantique.
Les propriétés physiques de ces systèmes (par exemple, la stabilité de la matière), se démontrent à l’aide
d’un certain nombre d’outils mathématiques, parmi lesquels :
• la théorie spectrale des opérateurs non bornés ;
• le calcul variationnel ;
• le calcul intégral (en particulier, inégalités du type Sobolev ou Hardy).
Après une brève présentation du contexte physique, nous introduirons dans une première partie l’essentiel
des résultats théoriques que l’on peut obtenir à partir de l’équation exacte. La seconde partie sera consacrée
à l’étude de modèles approchés permettant d’aller plus loin dans les aspects quantitatifs.
Pré-requis : Topologie, calcul différentiel, intégration, analyse de Fourier, analyse des ÉDO et des ÉDP,
algèbre linéaire.
Références bibliographiques :
T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, 1966, Vol.132.
E. Lieb, M. Loss, Analysis, American Mathematical Society, 1996, Vol. 14, Graduate Studies in Mathematics, Providence.
E. Lieb, The Stability of Matter : from Atoms to Stars, Springer-Verlag, Selecta of Elliot lieb, second edition.
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, 1978, Vol.I et Vol.IV, New
York.
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Approximation hilbertienne. Splines et fonctions radiales
Alain Le Méhauté
Les fonctions splines fournissent un moyen très utilisé pour la représentation de fonctions et de données.
En une variable, elles correspondent à des fonctions polynomiales par morceaux, qui sont aussi solution
d’un problème de minimisation de norme dans un espace de Hilbert. En plusieurs variables, il faut séparer
les deux aspects : soit garder l’approche représentation par morceaux, (ce qui correspond aux méthodes
d’ éléments finis), soit privilégier l’approche minimisation, ce que nous ferons. Le but de ce cours est de
présenter d’une part le cadre (semi)-hilbertien (espaces, semi-normes, etc) correspondant, puis de caractériser
les fonctions splines à l’aide des noyaux (semi)-reproduisants associés. Dans ce contexte, les fonctions radiales
apparaissent comme des fonctions splines particulières. En particulier les dernières créations de fonctions
radiales à support compact.
On insistera aussi sur les aspects pratiques de mise en œuvre et sur les applications : applications aux
traitement d’images, à la reconstruction et la représentation de données 2D-3D, ainsi que des exemples
d’animation de modèles (vidéo et télé numérique par exemple), réseaux neuronaux.
Méthodes asymptotiques pour les équations différentielles complexes
Michèle Loday-Richaud
1. Méthodes asymptotiques.
• Méthode du col et variantes.
• Fonctions Gamma généralisées.
• Autres exemples.
2. Introduction à la sommabilité.
• Rappels succincts sur les faisceaux.
• Définition asymptotique de la k-sommabilité.
• Méthode de Borel-Laplace.
• Résurgence et multisommabilité.
3. Application au calcul des invariants méromorphes des équations différentielles linéaires.
• Invariants normalisés.
• Évaluation numérique.
Références bibliographiques : Sur les équations différentielles complexes :
W. Wasow, Asymptotic expansions for ODE, Intersciences Publications 1965.
Sur la sommation :
B. Malgrange, Sommation des séries divergentes, Expositiones Mathematicæ 13, 163-222, 1995.
J. Martinet, J.-P. Ramis, Théorie de Galois différentielle et resommation, dans Computer algebra and
differential equations (CADE 1989). Édité par É. Tournier. Academic Press.
Sur l’asymptotique :
Il existe de nombreux ouvrages. Voici quelques titres proches de nos préoccupations.
N. Bleistein, R. Handelsman, Asymptotic expansions of integrals, Dover.
E.T. Copson, Asymptotic expansions, Cambridge University Press 1965
E. Delabaere, Un peu d’asymptotique, Cours de DEA. Université de Nice 1997.
M. Kohno, Global analysis in linear differential equations, Kluwer academic Publishers 1999.
F.W.J. Olver, Asymptotics and special functions, NY Academic Press 1974.
Pré-requis : Rudiments sur les fonctions d’une variable complexe. Intégration sur des chemins.
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Géométrie hyperbolique
Goergi Popov
Le but de ce cours est de donner une introduction à la géométrie hyperbolique. Il traitera de divers aspects
des surfaces parmi les suivants : métrique riemannienne (distance, courbure, géodésique), plan hyperbolique,
groupes fuchsiens et ensembles limites, laplaciens, spectres, formules de traces.
Références bibliographiques :
J. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Springer Verlag, 1994.
A.F. Beardon, The geometry of discrete groups, Sringer-Verlag, 1983.
P. Buser, Geometry and spectra of compact Riemann surfaces, Progress in mathematics, 106, Birkhäuser,
1992.
Groupes de symétrie et mécanique quantique
Didier Robert
L’objectif du cours est de montrer comment en combinant des méthodes algébriques, géométriques et
analytiques on peut expliquer un certain nombre de phénomènes quantiques découverts dans les années
1925-1930.
Plan :
1. Introduction aux groupes et algèbres de Lie et à leurs représentations.
2. Représentations irréductibles des groupes finis ou compacts. Théorie des caractères. Exemples: groupes
symétriques, SU(2) et SO(3). Calcul du spectre de l’atome d’hydrogène. Effet Zeeman.
3. Le spin et l’effet Zeeman anormal.
4. Représentations linéaires du groupe de Lorentz et mécanique quantique relativiste.
Références bibliographiques :
Van der Waerden, Group theory and quantum mechanics
Sattinger, Weaver, Lie groups and algebras with applications to physics, geometry and mechanics
Weyl, the theory of groups and quantum mechanics
Sagle, Walde, Inroduction to Lie groups and Lie algebras
Thaller, The Dirac equation
Géométrie algébrique complexe
Christoph Sorger
L’objectif du cours est de donner une introduction à la géométrie algébrique.
Programme prévu :
1. Variétés algébriques.
2. Fibrés vectoriels.
3. Correspondance diviseurs et fibrés en droite.
4. Classes de Chern.
5. Théorème de Riemann-Roch.
6. Applications.
Références bibliographiques :
R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 52. Springer- Verlag
W. Fulton, Intersection theory 2nd ed. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 2.
Berlin: Springer.
Shafarevic, Basic algebraic geometry 1 et 2. Transl. from the Russian by Miles Reid. 2nd, rev. and exp.
ed. Springer-Verlag
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Analyse microlocale et théorie spectrale
Xue-Ping Wang
Le but de ce cours est de présenter quelques outils de la théorie moderne des équations aux dérivées
partielles et de les appliquer à l’étude des problèmes spectraux des opérateurs différentiels, en particulier, de
l’opérateur de Schrödinger.
Le contenu de ce cours est le suivant :
• Distributions, front d’onde, front d’onde de la diffusion.
• Intégrales oscillantes, méthode de la phase stationnaire.
• Opérateurs pseudodifférentiels : Calcul symbolique, continuité dans L2 .
• Propagation de singularité des opérateurs du type principal réel.
• Bicaractéristiques généralisées et propagation de singularité près du bord d’un domaine.
• Construction de paramétrices.
• Théorie spectrale des opérateurs elliptiques sur un domaine compact.
• Asymptotiques de valeurs propres négatives de l’opérateur de Schrödinger.
• Fonctions propres généralisées de l’opérateur de Schrödinger.
Pré-requis : Une bonne connaissance des matières en Analyse fonctionnelle et en Distribution enseignées
dans la MaÎtrise de Mathématiques à Nantes serait utile pour bien suivre ce cours.
Références bibliographiques :
M. Dimassi, J. Sjöstrand, Spectral asymptotics in the semiclassical limit London Math. Soc. Lecture
Notes Series 268, Cambridge Univ. Press, 1999.
A. Grigis, J. Sjöstrand, Microlocal analysis for differential operators, London Math. Soc. Lecture Notes
Series 196, Cambridge Univ. Press, 1994.
L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Vol.1 et Vol. 3, Springer, 1985.
M. A. Shubin, Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer, 1987.
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