Proposition de mémoire de Master 2`eme année Développements d

Proposition de mémoire de Master 2ème année
Développements d’optique géométrique pour des problèmes aux limites
L’étudiant(e) effectuera son travail au sein du laboratoire de mathématiques Jean
Leray de l’université de Nantes.
La théorie de l’optique géométrique étudie le comportement asymptotique de solutions
d’équations aux dérivées partielles dans la limite des “hautes fréquences”. Cette théorie
est d’un intérêt tout particulier lorsque l’équation aux dérivées partielles étudiée décrit un
phénomène de propagation comme les équations de Maxwell, l’équation de Schrödinger,
la mécanique des fluides etc.
Le but du mémoire est d’aborder la théorie de l’optique géométrique pour les systèmes
d’équations aux dérivées partielles hyperboliques du premier ordre
d
∂u
∂u X
+
Aj
= 0,
∂t
∂xj
j=1
(1)
où les Aj sont des matrices et l’inconnue u est à valeurs vectorielles. On se donne alors
une suite de données initiales indéxées par un paramètre ε ∈ ]0, 1] :
u(t = 0, x) = exp(i ϕ0 (x)/ε) U0 (x) ,
(2)
et on cherche à décrire le comportement asymptotique, lorsque ε tend vers 0, de la solution
de (1) prenant la donnée initiale (2). On s’attachera dans un premier temps à comprendre
ce qui se passe pour la propagation dans l’espace tout entier en se focalisant sur les points
suivants : résolution du problème de Cauchy pour (1), développements de type BKW
pour les solutions hautement oscillantes, propagation à la vitesse de groupe. On étudiera
ensuite le cas où le système (1) est posé dans un demi-espace et où l’on impose un certain
nombre de conditions sur le bord du demi-espace. Il s’agit alors de comprendre comment
les oscillations se réfléchissent sur le bord du domaine.
Prérequis : pour aborder ce mémoire, une bonne connaissance de l’analyse de Fourier est nécessaire. Il est également souhaitable, mais pas indispensable, d’avoir déjà
été confronté aux équations aux dérivées partielles de type hyperbolique (au moins les
équations de transport ou l’équation des ondes). Aucune connaissance spécifique sur les
problèmes aux limites n’est nécessaire ; l’étudiant(e) pourra aborder ce sujet au cours du
mémoire.
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Poursuite en thèse de doctorat : le mémoire proposé peut s’inscrire dans un parcours
incluant une thèse de doctorat dans cette thématique. Plus précisément, les travaux existants justifient bien les développements d’optique géométrique dans le cas de domaines à
frontière régulière (le demi-espace est un cas modèle), y compris dans des situations où les
conditions au bord induisent une amplification des oscillations quand elles se réfléchissent.
La théorie pour des domaines à coins n’en est encore qu’à ses balbutiements et le travail
doctoral proposé aurait justement pour but d’éclaircir un certain nombre de phénomènes
dans ce cas : problèmes fortement/faiblement bien-posés, réflexions multiples d’oscillations, concentration dans un coin etc. Les étudiants intéressés sont fortement incités à
prendre contact avec l’encadrant aux coordonnées ci-dessous pour plus d’informations.
Quelques références : voici quelques références que l’on pourra consulter au cours du
mémoire.
S. Benzoni-Gavage et D. Serre, Multi-dimensional hyperbolic partial differential equations : first-order systems and applications, Oxford University Press, 2007.
J.-F. Coulombel et O. Guès, Geometric optics expansions with amplification for hyperbolic boundary value problems : linear problems, Annales de l’Institut Fourier, 2010.
P.D. Lax, Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems, Duke Mathematical Journal, 1957.
G. Métivier, The mathematics of nonlinear optics, Elsevier, 2009.
J. Rauch, Hyperbolic partial differential equations and geometric optics, American Mathematical Society, à paraı̂tre.
L. Sarason et J. Smoller, Geometric optics and the corner problem, Archive for Rational
Mechanics and Analysis, 1974/1975.
M. Williams, Nonlinear geometric optics for hyperbolic boundary problems, Communications in Partial Differential Equations, 1996.
Encadrant : Jean-François Coulombel
Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (UMR CNRS 6629)
Université de Nantes
2 rue de la Houssinière, BP 92208
44322 NANTES Cedex 3
Téléphone : 02 51 12 59 32
Email : [email protected]
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