Representations approchees d`un groupe dans une

m a n u s c r i p t a math. 22, 293 - 310
9 by S p r i n g e r - V e r l a g 1977
(1977)
REPRESENTATIONS APPROCHEES D'UN GROUPE
DANS UNE ALGEBRE DE BANACH
Pierre
de la HARPE
et Max KAROUBI
Let T be a continuous map from a compact group G to
the group of invertible bounded linear operators on a
Hilbert space H, the latter being endowed with the norm
topology. If the norms ~IT[gh) - TCg]T[h]IJ are small
enough Cg,h e G], we show that T is a small perturbation
of some norm continuous r e p r e s e n t a t i o n of G on H.
I. Introduction.
espace
teurs
logie
tinu,
de Hilbert
lin@aires
a paru
groupe
et GL[H)
inversibles
Soit
S : G + GLCH]
- TCg]TCh)
natural
le groupe
Hun
des op@ra-
sur H muni de la topoun homGnorphisme
normiquement
de G dans
est petite
de poser
con-
conti-
est une application
de S Cau sans cO la norme de T[g]
pour tout g e G],
approch@e"
topologique,
une r e p r e s e n t a t i o n
H. Si T : G § GL[H]
voisine
est petite
T[gh]
complexe
c'est-~-dire
continue
Gun
born@s
normique.
nue de G dans
tation
Soient
alors
Test
une
- SCg)
"repr@sen-
H Cau sans cO la norme de
pour tous g,h e G].
le probl~me
293
inverse
Il nous
: une repr@-
2
DE LA HARPE - KAROUBI
sentation approoh6e de G dens H est-elle toujours voisine d'une
"vraie" r e p r @ s e n t a t i o n
vail est de montrer
que G est compact.
plus pr6cis~ment
Th@or~me
? L'objet de ce tra-
que la r~ponse est affirmative
Notre r@sultat
principal
lors-
s'@nonce
comme suit.
: Soient G u n
groupe compact et K,~ deux nom-
bres r@els avec K ~ I , e > O. Alors il existe un nombre r@el 6 > 0 ayant
la propri@t@
Pour toute a p p l i c a t i o n
suivante
:
continue T : G § GLCH]
telle
que ~IT[g)l[ ~ K et liT[g]-111 ~ K pour tout g ~ G, et
telle que
llT[gh] - T[g]T[h]ll ~ 6 pour teus g,h e G, il
existe un homomorphisme
continu S : G § GL[H] tel que
llS[gJ - T[g]ll ~ e pour tout g ~ G.
En un sens,
oonsid@rons
le probl~me de perturbation
ale
normiquement
m@me rapport aveo lss r e p r @ s e n t a t i o n s
continues des groupes
Berg El) aveo les op@rateurs
plicitement
situation
Berg,
Douglas,
normaux.
identit@s
en norme]
Fillmore
que les travaux de
il est int@ressant
CoO certaines
erreurs petites
que nous
[4],
Comme le note e•
de comparer cette
sont vraies modulo des
~ celle popularis@e
et d'autres
par Brown,
[cO les identit@s
sont vraies modulo des erreurs qui sont des op~rateurs
compacts).
Les deux situations
des approches
tr@s diff6rentes.
est que d ' i m p o r t a n t e s
en g@n@ral
[L'une des raisons
en
propri@t@s du spectre d'un op@ra-
teur sont invariantes modulo
mais extr@mement
n~cessitent
les perturbations
sensibles aux perturbations
Ii est donc remarquable
compactes,
normiques].
que, dens l'@tude des groupes
294
DE LA HARPE - KAROUBI
compacts,
cas.
IIen
~l~ments,
certaines m@thodes
3
sont utiles dans les deux
est ainsi de la r6duction au groupe 8 deux
permise par la projection PT ; voir ci-dessous
ainsi que [63.
La nature de nos m~thodes
nous conduit 8 g6n~rali-
ser le probl~me pos~. Ainsi remplagons-nous
le groupe des ~14ments
GL[H)
par
inversibles d'une alg~bre de
Banach A. Pour ~viter des confusions,
nous introduisons
aussi un A-module M ; il suffirait de prendre partout
pour N l'espace sous-jacent
nonique de A-module
8 A muni de sa structure ca-
~ droite.
Le deuxi~me paragraphe
est un pr~liminaire
idempotents dans une alg@bre de Banach
aussi un oas particulier du r6sultat
le groupe & deux @l@ments.
la preuve du r@sultat
2. Ouelques
principal,
avec G
principal.
scientifique"
le "Ponds national
pour son g@n@reux
suisse
support.
lemmes sur les idempotents d'une alg~bre
de Banach.
plexe
; il fournit
Le troisi@me paragraphe est
Le premier auteur remercie
de la Recherche
sur les
Soit A une alg@bre de Banach unif~re com-
; nous notons I l'unit6 de A ; nous convenons que
IIxYll ~ IIxII rIyll pour tous x,y ~ A et que I111i = I. Le
spectre de x dans A est not~ Sp[x).
Soient r u n
I
nombre r@el avec 0 < r < ~ et 0 le do-
maine du plan complexe d~fini par
295
4
DE LA HARPE - K A R O U B I
La # r o n t i ~ r e
~de
, de r a y o n
rayon
r eentr@
r centr@
orientations
Lemme
D est
la r @ u n i o n
~ l'origine,
en I j nous
du c e r c l e
et du c e r c l e
supposons
munis
, de
de leurs
standards.
I. Soit ~ un n o m b r e
idempotent
les
disjointe
non
nul de A e t
r@el
avec
soit
0 ~ ~ N I. Soit
Pun
@ c A avec
4
110 - PII < ~ ~
Alors
:
[j)
Sp(P)
r
IIPI1-3
c {0,1}
et
.
II[P-X)
-111 s 4r-21IPlt
si X s ~ - D
(jj]
c D e t t)ll[O_X)-I
Sp(@]
l II co-x? -1
II -< ar-211PII
-
(P-X) -1ll
-< I-~ItPI1-1
si X ~ ~ - O.
Preuve.
s•
[j)
Si X ~ {0,1},
X ~ r - o avec
jXl
l'inverse
-< lIP If + 1,
de P-X e s t
on
Jl CP-XI-11I < I+IXI+ItPII < 2r-2[llPil+1)
- IXl
IX-ll
-
a dana
< 4r-211PiI J
si IZl >-IIPII + 1, on a
~I[P-X)-III-<
21Xl
IZllZ-ll
qui est a u s s i
(j j)
2
< 2
< IXl----TT-1 IIPl--q
inq@rieur
Soit
~ 4r-211Pll.
X ~ $ - D, On a O-X
(P-l){1+[P-l) -I[O-P)}
avec
296
=
1 -~-P
X[X-1]
'
DE LA
HARPE
- KAROUBI
5
4
1
tlCm-h]-l[o-m]ll ~ 4r-211PII ~3-~2611PII-3 < 7'
r
-I
que I + [P-hi
inverse
que
[O-P] est inversible,
ne d@passe
Iien
r~sulte
que la norme de son
pas 2, donc que Q-h est inversible
IIEO-h]-lll ~ 21liP-hi-Ill
et
~ 8r-211pll. Enfin
tl [O'-h]-~-EP-h]-~ll-<ll[P-h]-lll II[P-h]-[O-h]ll IIEO-h) -Iii _<
_ _
4
~
-1
4r-211Pll~3226 llPll-36r-211pii = T~IIPII
Lemme 2. Soient U = {X e WIRe[hi
#onction
holomorphe
Soient ~, P e t
1
# ~} et f : U § W la
1
= I O si Re(hi
< 7
I si Re[hi
> z
2
par {[hi
@ oomme dans le lemme I, et
f #[h)dX
R = 2~.~T y h-@
Alors
d@~inie
,
: [j]
'
Rest
un idempotent
et IIRII -< 8r-lllpli
I f f[l]dX
P - 2iw T I-P
c~r
I
[JJ]
[jjj] YIR-PII -< 7T IlPll(jv]
tout @l@ment de A qui commute
Q Q commute
aussi ~ R.
Preuve.
[j] R e s t
un idempotent
car
[f(l]] 2 = f[h]
pour
tout X { U ; la norme de 2~R est born6e par le produit
de la longueur de Y2 et de la borne sup@rieure de [h-Q]
-2
sur Y2' c'est-~-dire par [2~r] ~L8 r IIPII] vu le lemme
1[jj].
De m@me
lemme 1[jj].
pri@t6s
[jjj] r@sulte de la seconde in6galit6
Les assertions
@l@mentaires
du
[jj] et [jv] sont des pro-
du caloul ~onctionnel
297
holomorphe.
-I
6
DE LA HARPE - KAROUBI
Lemme
3. Les notations
V = I-P-R+2RP.
Alors
@tant
comme
ci-dessus,
!IV-Ill ~ ~, V e s t
soit
inversible,
IIV-I-III ~ ~ et R = VPV-I.
Preuve.
Comme
Pet
R sont des idempotents,
RV = VP = RP.
On a
Itv-qlI = IIR[P-R]
+ [R-P]PII < IIR-PIIClIRII + IIPII] -<
c~r ,. ,
,, .
1--8-Ileli-1[sr-l+l]llPll
c~r
-< ~ [Br-1+r
-I
] = ~
O0
par suite,
Vest
inversible
et ~Iv-1-11} -< r flV-lllj < ~.
j=1
les i n f o r m a t i o n s obtenues comme suit.
Nous r@sumons
Proposition
I. Soit ~ un nombre
Soient
idempotent
Pun
IIQ-PII ~ ~2-14~IPII-3.
A ayant
aussi
Tout
@l@ment
@ s A avec
il existe
suivantes
un idempotent
R de
:
de A qui commute
VPV -1
Si V = I-P-R+2PR,
que T
et IIV-1 It ~ ~,
alors V e s t
Ii ~
4
-<
PreuVe.r
-T Soit_8 r < ~I (d'oG a u s s i -r9
=
0 ~ ~ ~ 1.
~ @ commute
& R.
[jj]
R
Alors
les p r o p r i @ t ~ s
(j]
de A e t
r@el avec
~ 2
Nous
dessus,
. Alors
n'avons
qui
Corollaire.
les
IIV-1-I
~.
] tel
~21-4 = -162-89
lemmes 1 8 3 s ' a p p l i q u e n t .
pas eherch@
sont c e r t a i n e m e n t
Soient
~ optimiser
I e A une racine
carr@e
voisin
de I. Alors
jugu6
de J [et donc aussi
298
les bornes
ci-
tr~s grossi@res.
et J ~ A un @l@ment
K de I voisin
inversible,
de l'unit~
il existe
un con-
de I] qui tom-
DE LA HARPE
mute @ t o u s l e s
Preuve.
7
@l~ments qui commutent & J.
Si P = 89
K = 2R - 1,
KAROUBI
oO R e s t
3. Repr@sentations
et
0 = ~(J+1],
comme dans l a
il
suffifi
proposition
de p o s e r
I.
approch@es d'un groupe compact dens
un module de Banach. Oans tout ce paragraphe,
A est
une elg#bre de Banach unif~re complexe comme plus heut.
Nous d@signons par M un A-module de Banach unif~re
droite
("unit linked Banach right A-module" dens Bonsell
et Ouncan O2] - et on convient de plus que
l[vxll ~ 41vlIIIxll pour tous v ~ M e t
x e AJ. Nous @crivons
LACM) l'alg~bre de Banech des op6reteurs
lin~eires born@s
sur M qui sont aussi des endomorphismes de A-module, et
inv
LA[MJ
le groupe des ~l@ments inversibles de LA(M] muni
de la topologie normique.
Si O est un espace topologique,
T : O + LA(M) inv une application continue et K un nombre
r6el positif,
nous dirons que T e s t
de borne K si
IIT(~]II ~ K et i[T[~]-111 ~ K pour tout w ~ O.
D@finition
1. Soient G u n
nombres r ~ e l s
groupe topologique,
K et ~ deux
( e v e c K ~ q et ~ ~ 0) et T : G § LA[M) inv
une application continue de borne K. Nous dirons qua T
est une r epr@sentation approch6e de G dens M de d@faut
si 11T[gh] - T[g)T[h)lj g 6 pour tous g,h c G. Nous noteruns Rep(~,KjCG,HJ
l'ensemble de toutes les applications
de ce type.
O~sormais,
G sere un groupe compact et dg sa mesure
de Hear normalis@e.
L'espace de Banach LM2[G) des classes
299
8
DE LA HARPE - KAROUBI
d'@quivalence de fonctions de cart@ sommable de G dans M
[voir BourbaKi [3], chapitre IV] est muni de sa structure naturelle de [G,A]-bimodule
: si g { G, nous notons
Lg l'op@rateur d@{ini sur L~[G]-_ par [Lg~][h] = ~[g-lh]
pour tout h ~ G ; s i x
teur d@fini s u r
L M2[G]
~ A, nous notons ~i
par
[@x][h]
= [@[h]]x
)~x l'op@ra-
pour t o u t
h ~ G. On prendra garde que l'homomorphisme g.
~L
de G
g
dans GL[L M2[G]) n'est en g@n@ral pas normiquement eontinu
mais seulement #ortement continu.
Si T : G --~LA[M]
inv
est dans R e p [ ~ , K ] [ G , M ] ,
on d~-
#init comme dans [8] les applications
2[G]
> LM
M
iT :
v l
~ [g
~ )
T[g -1 ] v ]
2[G)
LM
mT :
91
T[g - 1 ) - l ~ ( g ] d g
)I
G
2[G]
2
PT = iTmT : LM[G)
} LM
.
Lemme 4. Soit T comme ci-dessus.
[j)
Les applicationsi T, m T et PT sont des op~ra-
teurs lin@aires born@s
: lliTIl < K , ~ImTl~ ~ K , IIPTII ~ K 2
-
ce sont aussi des homomorphismes de A-module,
et PT est
2
un projecteur sur le sous A-module Im[i T] de LN[G].
[jj) Soient de plus T' e Rep(~,K][G,M)
d = supl~T'(g]
gcG
- T ( g ] II ; a l o r s
3OO
st
lIP T - PT' I~ s 2KSd,
DE LA HARPE - KAROUBZ
Preuve.
g
Nous laissons au lecteur le soin de v@rifier
(j]~
il ~aut noter que mTi T = id M. Pour [jj] :
supllT'[g)
g~G
-1
-T(g)
-1
-IIIIITCg)-T'CglIIItTCg]-III~K2d
tlssupllT'(g]
g~G
de sorte que
IIPT-PT ,II-<~iT IillmT-mT ,II+ lliT-iT ,IIIImT,ll_<r, K2d+dK<2K3d.
Lemme 5. Soit T comme ci-dessus.
Pour tout g s G, on a
I]LgPT-PTLg[ I g 2K36 ~ en particulier,
phisme, alors PT est G-6quivariant.
si T e s t
un homomor-
Oans t o u s l e s
cas,
les applications
G ----~LA[L M2iS] ]
lg t" ~LgPT-PTLg
Preuve.
i
~ LA[L~(G]]
G
sont continues.
> L -IPTLg
etlgl
g
Soient g e G e t
v
r
M ; alors
>M
LgiT[v)
>{T(k-lg]-T[k-1)T[g)}v
est de L~(G]-norme
qu'op@rateur
inf@rieure ~ ~l[v[], Par suite, en tant
de M dans L~[G),
Lgi T - iTT[g) est de norme
in@@rieure 8 6. O'autre part, pour g e t
h voisins dens G:
I]LgiT-iTT(g)-LhlT+iTT[h)II
suplt{T(k-lgJ-T[k-lh]}-{T[k
g~G
-1 ) T [ g ] - T [ h -1 )T(g]}ll
301
10
DE LA HARPE - KAROUBI
qui est petit puisque T e s t
Lgi T - i T T [ g ]
uniform6ment continue
d~pend c o n t i n a m e n t
Soient g s G e t
~e
2
LM[G]
;donc
de g.
; alors
{T[g]mT-mTLg }[q:))=I T(g]T(K -1]-lO2[k]dk- I TCK-1 ]-l(#[g-lk]dk=
G
G
I {T[g]Tl:K1]-l-T[k-lg-1]-l}uT[k]dk
G
est de M-norme inf6rieure ~
l'in6galit6 de H~Ider
et
6K211~11; ceci
r6sulte de
[voir Bourbaki [3], chapitre IV]
de
I[T(g]T[K - 1 ) - l - T [ k - l g
-I
] - I I1
ilT[k-lg - 1 ] -1 tlllT[k-lg -1 ]T[g)-T[K -1 ]IIIIT[K-1)-IlI~K~K
,
2
Par suite, en rant qu'op@rateur de LM[G] dans M,
T[glmT-mTLg est de norme ins
~ 6K 2, D'autre part,
pour @ et h voisins dans G :
IIT{g]mT-mTLg-T(h]mT+mT L h II-<
supll{T(g]T[k-1]-l_T(h]T[k-1]-l}
_
z(G
{T[K-1 g -1 ] -1 -Tl:k- Ih-I ]- 1 } II
qui est petit ; done T[g]mT-mTLg d@pend continOment de g.
I1 en r6sulte que, pour tout @ s G, l'op@rateur
LgPT-PTLg={LgiT-iTT[g]}mT+iT{T[g]mT-mTLz}
d@pend conti-
nOment de g, et que IILgPT-PTLglIS6K+K6K2~26K 3.
302
DE LA HARPE - KAROUBI
Soient alors g,h ~ G e t
11
soit e l'@l@ment
neutre de
G ~ alors
Lg-IPTLg-Lh-IPTLh={(Lg-I-Lh-1)PT-PT(Lg-I-Lh-1)}Lg
+
L h - I { P T [ Lg-Lh) - { Lg-Lh} PT}+{ [ Lh-lLg -L e )PT-PT{Lh
1L g -L e ) } .
IIen
r~sulte que l'applieation
-I
} Lg
est continue,
PTLg
ce qui ach@ve la preuve du lemme 5.
Lg-lPTLgdg dens LA[L~[G)) ~
G
e'est la derni~re affirmation du lemme 5 qui rend cette
O~finissons
d@finition
0T = I
possible.
Lemme 8. [j)
L'op6rateur
phisme de [G,A)-bimodule,
particulier,
si T e s t
2
O T sur LM{G}
est un endomor-
iI@TII~K2 et ~I@T-PTII~2K3~
un homomorphisme,
; en
alors 0 T = PT"
{jj} Soit de plus T' comme dens le lemme 4
alors
ll@T - @T,ll ~ 2Kgd.
Preuve,
variance
Cela r@sulte des lemmes pr@c@dents et de l ' i n de la mesure de Hear sur G,
Proposition
2. Soit g u n
nombre r@el avec 0 ~ g ~ 2
-6
.
Soit T E Rep{~,K) [G,M) avec 6 ~ eC2K} -9, Alors il existe
inv
un homomorphism ~ continu S : G
> LA(H)
avec
supllSCg]
g~G
Preuve.
- T [ g ) l l ~ s.
Les op@rateur
PT et QT @tent d@finis comme plus
303
12
DE LA HARPE - KAROUBI
haut, les lemmes 6 et 4[j] impliquent
I]QT-PTIf~s2-BK-6~s2-811PTII-3.
On peut donc d@finir
RT - 2i~I ~I f[X]dletx_o__~_VT = I-PT-RT+2RTPT
ragraphe
2 ; la proposition
comme dans le pa-
I implique que R T e s t
sur LM2[G] et un endomorphisme
projecteur
un
de (G,A]-bimo-
dule, que V T e s t inversible, et que les normes de VT-I
-I
et de V T -I sont born~es par I.
Pour tout g ( G, posons S[g] = mTVT-ILgVTiT
; mon-
G --~LA[M]
trons d'abord que S :
est une application
con-
g~-~S[g]
tinue.
Les restriotions
de V T et de R I 6 l'image de i I
[qui est aussi oelle de PT] coincident,
commutsnt
pour tout g ~ G, l'op@rateur
Comme R I e t
kg
S[g] est le com-
2[G]
> LM
pos6 de mTV T 1R T avec r
. Pour tous
:
v
i
LziT[v]
g,h e G, o n a
I
tl{r162
= {I II{T(K-lg)-T[K-1
h) }v lIEdk}2 _<
G
[supliT(k-lg]-T[k-lh]ll]tlvll
g~G
~
par suite, ~[g] d@pend continOment de g e t
Montrons que S est un homomorphisme
LA[M] inv
Soient g,h ~ G e t e l'616ment
-I
alors S[e] = mTV T VTi T = id M e t
S[g)S[h]
S(g] aussi.
de G dans
neutre de G ;
= mTVT-ILgVTiTmTVT-ILhVTiT . Par la proposition
J, VTiTmTVT -I = VTPTVT -I = R T, qui commute 6 L h ; done
S[g]S[h]
= mTVT-ILzLhRTVTi T ; mais
304
DE LA HARPE - KAROUBI
13
[RTVT]i T = [VTPT)i T = VTi T et S[g)S[h) = Sigh).
Montrons en#in que T e s t
une perturbation ad hoc
de S. Soit g ~ G. Alors
'
!IS[g]-T[g)l[=IImTVT -I Lg V TzT-mTV
T -IVTiTT(g)II <
IIm T IIIIVT-III{IfLgVT-VTL J
lliT II*IIv T IIIILgiT-iTT[g] II}.
Mais II LgVT-VTLg~ s IILgPT-PTLg 1I*2 IIRT II IILgPT-PTLgtl per d@finition de V T at oompte tenu de ce que R T commute b Lg
done IILgVT-VTLgII~E2-8 K-8[I+21IRTII) par le lemme 5.
Comme IIRTII z 8r-IIIPTII per le lemme 2 [on choisi r strictement in#@rieur ~, mais voisin de ~), on a
1+2 tlRTll ~ 1 + 1 8 r - l K 2 ~ 64K 2
par l e lemme 4 [ j ] .
On
a done IILgVT-VTLgl I ~ g2-2K -4. Par s u i t e
IIS(g]-T(g]IIs2K{~2 - 2K-4K+2~}=[ ~ - 2 + 4 6 K ] s
(voir le d~but de la preuve du lemme 5).
Notons que TIS(g)I[ s IIT[g)It + g ~ K * g pour tout
g ~ G, c'est ~ dire que S est de borne K + e.
O@finition 2. L~ensemble des applications de G dens
LA[M)inv est muni de Ia distance d@qinie par
d(T,T') = suplIT[g)-T'(g]ll. Pour tous K et s comme dens
gs
la d6#inition I, l'ensemble Rep[6,K)(G,H) est muni de la
distance induite.
Proposition 3. Soient K et 6 deux nombres r@els aveo
305
DE LA HARPE
14
K -> I e t
KAROUBI
@ _< 2-15K -g. Pour tout T E Rep(@,K][G,M],
notons
ST l ' h o m o m o r p h i s m e d@-?ini dana,,, l a p r e u v e de l a p r o p q s i -6
tion 2. Alors, pour s -- 2 , l'applicatioll
t
Rep[B.K,
;,R e P ( o , K + g ) [G.M]
[G,M)
T I
) ST
est uniform@ment continue
Remarque.
L'espace but est form@ de "vraies" repr@senta-
tions ; si T e s t
une "vraie" repr@sentation,
alors
S T = T.
Preuve.
Nous conservons les notations pr@c6dement intro-
duites. Soient T,T' ~ Rep(~,K][G,M)
et d = d[T,T']. Par
le lemme 6[jj], on a fIQT-@T,II ~ 2K3d. Par le lemme 6(j],
on a JlQT-PTII ~ 2K36 et IIOT,-PT, II 4 2K3~. De plus
2K36 ~ 2-14K-6 ~ 2-1411PTII-3 par le lemme 4(j]. ll r@sulte danc du lemme 1(jj] que [avec r comme au paragraphe
I]
1
I1[ X-OT ] -q - (X-O T , ) -111 < IIC Z-O T) -~11 II[X-O T , ) - [ X-OT)tl II (;~- QT , )-III
8r-2K22KSd8r-2K 2 = 27r-4KTd.
On lit done sur la d@#inition de R T et RT, que
IIRT-RT, II ~ 27r-3K7d.
II existe done une constante C telle
que
306
DE LA HARPE - KAROUBI
15
II VT-V T , II = 11-PT+PT , -RT+R T , +2RTPT-2R T , PT' II -<
II 2RT-I IIIIPT-PT,II +IIRT-RT,II 112PT, -1 It -< Cd ,
ilv T
--
1-VT,-llt-< IIVT-111 IIVT,-VTII llV T,
--I
fl -< 4Cd .
Ii est facile de v@rifier qu'on peut m@me choisir C pour
que ~mT-mT,II ~ Cd et TIlT-iT,If ~ Cd. II en r@sulte qu'il
existe une constante 0 telle que
= IlmTVT - ILgVTiT-mT,VT, -1LgVT ' iT,II ~ Od
ilST[g)-ST,[g]ll
pour tout g ~ G.
Choisissons maintenant pour M l'espace de Banach
sous-jacent
~ A, muni de sa structure canonique de A-mo-
dule ~ droite.
I
A
zp
Les applications
~ LA[M]
I LA[M]
~A
et
) Ix ~>zx]
sont des isomorphismes
bres de Banach,
Za
>Z[1]
unif@res et isom@triques d'alg@-
inverses l'un de l'autre ; le groupe
A inv des @l@ments inversibles dans A est done canoniqueinv
ment isomorphe a LA[N)
. L e s propositions 2 et 3 s'expriment alors comme suit.
Soient G u n
groupe compact et A une alg@bre de Ba-
nach, comme au d~but du paragraphe II. Soient K et
307
16
DE LA HARPE - KAROUBI
deux
nombres
reels
avec
K -> 1 e t
6 -< 2 - 1 5 K - 9
; soit
Rep[~,K)[G,A)
l'espace des applications normiquement
continues T : G
~ Ainv telles que
SuplIT(g)II~K
SuplIT[g)-IlI~K
g~G
g~G
sup ] I T [ g h J - T [ g J T ( h ) l l ~ 6
g, h~G
qui est un espace mEtrique pour la distance dEfinie par
d[T,T')
= supllT[g)-T'[g)tl.
g~G
Si ~ = 0, on Ecrit ReP{Kj[G,A)
au lieu de ReP[0,K ) CG,A).
Proposition 4. Ii existe une application uniformEment
continue
{
Rep[~,Rj[G,AJ
~
Tl
ReP{2K) CS,A2
'> S T
qui induit l'identitE sur ReP[Kj[G,A).
Corollaire.
Si T et T' sont deux 61Ements suffisament
voisins de Rep[6,K][G,A),
alors les deux representations
S T et ST, sont conjuguEes.
Preuve. S T et ST, satisfont alors les hypoth@ses du
lemme 7
qui suit.
Lemme 7. Soient S e t
G dans A inv tels que
S' deux homomorphismes continus de
]IS[g)-S' [g)ll < [su~llS'(g)ll) -I
g~b
308
DE LA HARPE
Alors S e t
Preuve.
KAROUBI
17
S' sont conjugu6s.
Soit
O = f|
S C g ) S ' [ g - 1 ] d g ; a l o r s S{g)@ = @S'{g)
G
g E G, et i l r e s t e ~ v 6 r i f i e r
que Q e s t i n v e r J
pour t o u t
sible.
fsll
S'[g
Mais
-
II1-QII~ II1-SCg)S'Cg 1)lldg
G
1]lllts'[g)-S[g]lldg
< 1 par h y p o t h ~ s e ,
d'oa
le
r6sultat.
Soient d6sormais H u n
espace de Hilbert complexe et
L[H) l'alg~bre stellaire des op6rateurs
sur H ; notons GL(H)
lin6aires b o m b s
le groupe des 616ments inversibles
de L[H) et U(H) son sous-groupe des @l@ments unitaires,
tous deux munis de leurs topologies normiques.
T ~ Rep[6,K)CG,L[H)]
tion
4, On s a l t
Soit
avec 6 et K comme darts la p r o p o s i -
que ST e s t
conjugu6e ~ une r e p r ~ s e n t a u
tion unitaire de G dans H, disons S T, par un 616ment
proche de I [voir par exemple E63, proposition
[no)o~ ~ la famille des multiplicit6s
2). Soient
des repr6sentations
irr@ductibles de G darts S T
u [les notations sont celles de
Dixmier [5], n ~ 15.1).
Le corollaire & la proposition 4
dit alors que l'application ainsi d~finie de
Rep[6,K){G,L[H))
dans l'ensemble des fonctions & valeurs
A
enti@res positives sur G est localement constante.
On
peut m@me voir qu'elle s@pare les composantes connexes
de Rep[6,K]{G,L{H)).
On salt aussi que les ~amilles
[no]oe G de son image n'ont qu'un nombre fini de termes non
nuls [73.
Ii n'y a aucune diSficult~ ~ formuler et ~ montrer
l'analogue de la proposition 4 pour les applications
nor-
miquement continues de G dans le groupe U{H), ni ~ con-
309
18
DE LA HARPE - KAROUBI
sid@rer un espace de Hilbert r@el j nous en laissons le
soin au lecteur.
REFERENCES
[I] BERG I.D : "On approximation of normal operators by
weighted shifts". Michigan Math. J. 21 377-383 [1974).
Voir aussi "Index theory for perturbations of direct
sums of normal operators and weighted shifts",
paraStre.
[2] BONSALL F.F. st DUNCAN J.
bras". Springer 1973.
[3] BOURBAKI N. : "Int6gration,
tion". Hermann 1965.
: "Complete normed algechapitres
I ~ IV, 26 @di-
[4] BROWN L.G., DOUGLAS R.G. et FILLMORE P.A. : "Unitary
equivalence modulo the compact operators and extensions of C*~algebras". Springer Lecture Notes in
Mathematics 345 ~1973) 58-128.
E5] OIXMIER J. : "Les C*-alg~bres et leurs repr@sentations [26 ~dition)". Gauthier-Villars 1989.
[6] DE LA HARPE P. et KAROUBI M. : "Perturbations compactes des repr@sentations d'un groupe dans un espace de Hilbert, I". Bull. Soc. math. France, M@moire
46, 1978,
41-65
E6] KALLMAN R.R. : A characterization of uniformly continuous representations of connected locally compact
groups. Michigan Math. J. 16 [1969) 257-263.
Max KAROUBI
Universit@ de Paris VII
U.E.R. de Math@matiques
2, Place Jussieu
75007 PARIS
Pierre de la HARPE
Universit@ de Gen6ve
Section de Math@matiques
2-4, rue du Li6vre Case postale 124
1211GENEVE 24
(Requ le 6 Juillet,
310
1977)