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Lambert ARSAC
CRCG
Conjecture de Frankl
Une preuve
Nous nous proposons ici d’énoncer puis de démontrer la conjecture de Frankl.
Théorème 1 (1979) Pour toute famille finie d’ensembles finis (non vides), stable
par unions, il existe un élément appartenant à au moins la moitié des ensembles de
la famille.
Démonstration :
Soit donc n ∈ N>1 , et (Ei )16i6n une famille finie d’ensembles finis stable par union.
Montrons que
∃x
|{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| >
n
.
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Pour la suite de cette démonstration, nous allons avoir besoin d’un lemme.
Lemme 1 Pour une telle famille,
∃k ∈ [[1,n]]
∀i ∈ [[1,n]]
∀x ∈ Ei
x ∈ Ek .
Démonstration.
En effet, la famille (Ei )16i6n est stable par union, donc
n
[
Ei ∈ (Ei )16i6n .
i=1
Il existe donc k ∈ [[1,n]] tel que E1 ∪ · · · ∪ En = Ek .
Donc
∀i ∈ [[1,n]] Ei ⊂ Ek ,
ce qui donne bien que
∀i ∈ [[1,n]] ∀x ∈ Ei
x ∈ Ek .
Ce qui conclut la preuve du lemme.
Attaquons nous maintenant au théorème par récurrence.
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Notons pour tout n ∈ N>1 , P(n) l’assertion : "Pour toute telle famille à n éléments,
il existe un élément appartenant à au moins la moitié des ensembles de la famille".
On sait déjà que P(n) est vraie pour n 6 46 (Roberts - Simpson (2010) – http://
maths.curtin.edu.au/local/docs/simpson/TheUnion-closedSetsConjAJCversion.
pdf).
La propriété est donc très largement initialisée.
Supposons P(n), montrons P(n + 1).
Soit donc une famille à n + 1 éléments.
Distinguons deux cas.
? Si n est impair : n = 2k + 1, k entier.
On sait donc qu’il existe un élément x tel que
|{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| > n/2 = k + 1/2.
Or le cardinal est un nombre entier, il donc équivalent de dire que
|{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| > k + 1.
Or
|{i ∈ [[1,n + 1]], x ∈ Ei }| > |{i ∈ [[1,n]], x ∈ Ei }| ,
et k + 1 = (2k + 2)/2 = (n + 1)/2.
Donc
|{i ∈ [[1,n + 1]], x ∈ Ei }| >
n+1
.
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Donc on a P(n + 1).
? Si n est pair : n = 2k, k entier.
On a donc notre famille à n + 1 éléments (chaque élément étant un ensemble), et
d’après le lemme, on sait qu’il existe α ∈ [[1,n]] tel que
∀i ∈ [[1,n + 1]] ∀x ∈ Ei
x ∈ Eα .
On considère alors la famille
(Ei )i∈[[1,n+1]]\{α} .
Or
|[[1,n + 1]] \ {α}| = n,
donc d’après l’hypothèse de récurrence, il existe x tel que x appartienne à au
moins la moitié des ensembles.
C’est à dire
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|{i ∈ [[1,n + 1]] \ {α}, x ∈ Ei }| >
n
.
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Or x a été choisi de telle sorte (grâce au lemme), que x ∈ Eα !
Donc
|{i ∈ [[1,n + 1]], x ∈ Ei }| >
n
n+2
n+1
+1=
>
.
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Donc on a P(n + 1).
Finalement, on a
∀n ∈ N>1
P(n) ⇒ P(n + 1),
et on a P(n) pour 1 6 n 6 46.
Donc on a
∀n ∈ N>1
ce qui conclut la démonstration.
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P(n),