DS 7-2 MECANIQUE du point-corrige

MP – Physique-chimie. Devoir
DS n°7-2 -corrigé
Cinématique : révolutions sidérale et synodique de la Lune, orbites
stationnaires
−1
1. Période synodique de la Lune. Tsyn
 1
1
=
−  = 29,53 j
 TL TT 
2. Durée du jour lunaire et durée du jour solaire moyen.
−1
Tj lune
 1
1 
=
−  = 24 h 50 min .
 Tj sid TL 


−1
Tj sol
 1
1 
=
−  = 24 h 00 min (bien sûr !…)
 Tj sid TT 


3. Démonstration de la troisième loi de Kepler
GM 1  2π 
F v2
an = =
ou encore
= 
R  , soit
m R
R2
R T 
2
4. Calcul du produit GM. GM =
R 3 GM
=
T 2 4π 2
3
4π2 RTL
= 4,04 × 1014 S.I.
2
T
5. Orbite géostationnaire.
1
3
2
T 3
 GM

Il s’agit d’une orbite circulaire équatoriale. Rgéostat =  2 Tj2sid  = RTL  j sid  = 42 × 103 km
 4π

 TL 
Ces satellites présentent un grand intérêt particulièrement pour les télécommunications.
6. Orbite héliostationnaire. Il s’agit d’une orbite circulaire écliptique (dans le plan de l’orbite de la Terre
autour du Soleil) parcourue dans le sens rétrograde à la même vitesse angulaire que le mouvement
orbital de la Terre.
1
Rhéliostat
2
T 3
 GM
3
=  2 TT2  = RTL  T  = 2, 2 × 106 km
 4π

 TL 
Ces satellites permettent l’observation permanente du Soleil ou, au contraire, mais c’est également
intéressant, ils peuvent être en permanence dans l’obscurité de la nuit.
7. Problème à deux corps.
Il faut reprendre l’étude dans le référentiel du centre de masse du système Terre-Lune. La troisième
loi de Kepler est alors modifiée, la masse M représentant la somme des masses M T + M L .
Mécanique du point : étude de pendules de pesanteur
A. Pendule simple
d 2θ g
8. Équation différentielle. 2 + sin θ = 0 .
dt
L
9. Oscillations de faible amplitude. θ = θ0 cos ω0t avec
ω0 =
g
.
L
10. Trajectoire de phase. Il s’agit bien sûr d’une ellipse parcourue dans le sens horaire.
Jean Le Hir, 28 mars 2008
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LYCÉE DE KERICHEN
MP-Physique-chimie
Devoir surveillé n°7 -2
11. Diagramme énergétique.
En prenant pour origine le point le plus bas, nous avons :
E p ( t ) = mgL (1 − cos(θ0 cos ω0t ) ) ≈
1
1
2
2
mgLθ02 ( cos ω0t ) et Ek ( t ) = mgLθ02 ( sin ω0t ) .
2
2
1
12. Relation entre θ et θ . mL2 θ 2 + mgL (1 − cos θ ) = mgL (1 − cos θ0 ) soit θ 2 = 2ω02 ( cos θ − cos θ0 ) .
2
13. Portrait de phase.
θ0 = ±
π
: θ 2 = 2ω02 cos θ
2
θ

θ0 = ±π : θ 2 = 2ω02 ( cos θ + 1) =  2ω0 cos 
2

2
B. Pendule sophistiqué
14. Choc. Par application du théorème du moment cinétique, nous pouvons affirmer que le moment
2
cinétique est conservatif : θ Q ( L − a ) = θ P L2 .
15. Calcul de l’amplitude θ1 .
3
2
 L 
 L 2
Nous avons θ P = −ω0θ0 et donc θ Q = −ω0 θ0 
 = ω1θ1 soit θ1 = −θ0 
 .
 L−a
 L−a
3
3
 L 2
 L 
16. Calcul de l’amplitude θ2 . θ2 = −θ1 
 = θ0 
 .
 L−a
 L−a
3n
 L 2
17. Calcul de l’amplitude θn . θn = ( −1) θ0 
 .
 L−a
n
L’énergie mécanique totale E ( t ) est une fonction croissante du temps. A chaque passage au plus bas,
le dispositif mécanique donne une impulsion qui fait croître l’énergie. Comme les oscillations sont
 L
L−a 
synchrones de période T = π 
+
 , l’énergie est une fonction croissante par paliers.
g
g


Lors de la première impulsion, l’énergie passe de la valeur E0 =
1
1
mgLθ02 = mL2 θ P2 à la valeur
2
2
1
supérieure E1 = mga + mL2 θ Q2 . L’énergie potentielle mga est restituée lors de l’élongation extrémale
2
lorsque la masse m redescend en P, mais l’augmentation d’énergie cinétique est définitivement
acquise.
JLH 28/03/2008
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