Activité algorithmique - Fractions egyptiennes
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Activité algorithmique - Fractions egyptiennes
Terminale S Spécialité Les fractions égyptiennes Les anciens Égyptiens ne connaissaient, comme rationnels, que les inverses d'entiers. Il s'agit de décomposer un rationnel de ]0 ; 1[ en une somme d'inverses d'entiers strictement croissants. On appelle fraction égyptienne toute fraction de numérateur égale à 1. On s’intéresse aux décompositions des nombres rationnels p comme somme de telles q fractions où les dénominateurs sont des entiers naturels tous distincts. I L’art de décomposer 2 Exemple 1 : décomposer . 7 2 1 1 = + 7 7 7 Or 1 1 1 1 1 2 1 1 1 = + = + ; donc = + + 7 7 8 56 7 8 7×8 8 56 1) Exprimer une relation générale découlant de 1 1 1 1 = + à partir de = ….. 7 8 7×8 n Démontrer cette relation. 3 2) Décomposer avec cette méthode . 7 3) Un premier algorithme : proposer un algorithme en pseudo-code décomposant selon p cette méthode une fraction du type . q Idées générales de l’algorithme : Si p = 1 alors la décomposition est terminée : 1 q Sinon Transformer fin 1 p en p fractions q q Faux Tant que non(fin) Faire Si deux fractions ont le même dénominateur alors conserver la première fraction 1 1 1 transformer la 2ème fraction en + q q + 1 q(q + 1) Sinon Fin Vrai FinSi Fin TantQue Afficher la liste des fractions décomposées obtenues FinSi 1 Terminale S Spécialité Les fractions égyptiennes 4) Implémenter cet algorithme sous AlgoBox et le tester avec 2 3 5 ; et . 7 7 23 II Un algorithme efficace Tout nombre rationnel peut être décomposé selon la méthode précédente. Cette méthode est simple, mais a le défaut de ne pas économiser le nombre de fractions 3 égyptiennes utilisées. Ainsi, nous pouvons trouver une décomposition de en trois fractions 7 3 1 1 1 suivantes : = + + . 7 3 15 35 Un algorithme plus efficace pour décomposer un nombre rationnel x consiste à considérer le 1 1 plus petit entier n supérieur à , puis à recommencer sur la différence x – . x n 3 Exemple : Pour décomposer , cela donne successivement : 7 7 • le plus petit entier supérieur à est 3 3 3 1 2 – = 7 3 21 21 • le plus petit entier supérieur à est 11. 2 2 1 1 - = 21 11 231 3 1 1 1 On obtient la décomposition : = + + . 7 3 11 231 1) Ecrire l’algorithme correspondant en pseudo-code ; l’implémenter avec AlgoBox et le 2 3 5 . tester avec ; et 23 7 7 2) Une preuve de cet algorithme : une descente infinie Considérons un nombre rationnel x tel que 0 < x < 1. 1 . Posons x = x1 et n1 le plus petit entier supérieur à . x1 1 1 Définissons ensuite x2 par x = x2 + et n2 le plus petit entier supérieur à , etc .. n1 x1 De façon générale, nous obtenons : 1 1 1 x = xp + + +…+ n1 n2 np-1 rp Ecrivons xp sous la forme d’une fraction irréductible, xp = . Nous avons donc : sp rp+1 1 rp 1 rpnp – xp xp+1 = =xp – = – = sp+1 np xp np xpnp a) A partir des propriétés suivantes de la fonction partie entière : • E(x) ≤ x < E(x) +1 ; • x – 1 < E(x) ≤ x 2 Terminale S Spécialité Les fractions égyptiennes Montrer que : (i) (xp) est une suite décroissante et tel que 0 < xp < 0. 1 (ii) np-1 < ≤ np xp (iii) 0 ≤ rpnp – sp <rp. rp+1 b) La fraction étant irréductible, on en déduit que rp+1 < rp sp+1 On construit ainsi une suite décroissante d’entiers strictement positifs. On en déduit qu’il existe p inférieur au numérateur de x tel que rp+1 = 1 et donc : 1 1 1 x= + +…+ n1 n2 np p Cet algorithme permet donc de décomposer un nombre rationnel en au plus p q fractions égyptiennes. III Des nombres pratiques Lorsque le numérateur p est la somme de diviseurs distincts du dénominateur q, le p nombre se décompose en fractions égyptiennes de dénominateurs inférieurs à q. q Un nombre q tels que pour tout p entier < q ; p est somme de diviseurs de q est appelé un nombre pratique. 1) Donner la liste 10 premiers nombres pratiques. 9 2) Décomposer la fraction en utilisant le fait que 20 est un nombre pratique. 20 IV Des multiples pratiques Si le dénominateur d’un nombre rationnel n’est pas pratique, nous pouvons nous y ramener s’il possède un multiple pratique. 3 En reprenant le cas de , on utilise le fait que 28 est pratique. 7 3 3×4 7 + 4 + 1 1 1 1 = = + + . Donc = 28 4 7 28 7 28 Pour construire de tels multiples pratiques, nous disposons du théorème suivant : Si q est un nombre entier et n un nombre entier pratique premier avec q tel que q < 2n, alors q×n est pratique. 5 en somme de trois fractions égyptiennes 23 différentes de celles données par l’algorithme du II. Utiliser ce théorème pour décomposer 3 Terminale S Spécialité Les fractions égyptiennes V Pour aller plus loin 1) Décomposition en trois Les exemples étudiés montrent des décompositions eu au plus trois fractions égyptiennes. D’après l’algorithme décrit dans le paragraphe « Un algorithme p efficace », c’est le cas pour les nombres rationnels de la forme avec p = 1, 2 ou 3. q Cela semble également être le cas si p = 4 ou 5. Cependant, personne n’a pu prouver ces conjectures. Elles sont dues à Erdös pour la première et Sierpinski pour la seconde. 2) Un algorithme « pratique » pour déterminer des nombres pratiques Pour déterminer si un nombre un pratique, on peut utiliser la caractérisation suivante : Soit n un nombre qui admet c diviseurs est : d1 = 1, d2, …, dc d n est pratique Pour tout r compris entre 1 et c – 1, ∑dr ≥ dr+1 – 1 i=1 Utiliser ce théorème pour écrire un algorithme qui liste les nombres pratiques compris entre 1 et 1000. 4