stabilite en virage - Université de Liège

STABILITE DYNAMIQUE
DU VEHICULE EN VIRAGE
Pierre DUYSINX
Ingénierie des Véhicules Terrestres
Université de Liège
Année Académique 2015-2016
1
Références bibliographiques



G. Sander « Véhicules Automobiles», Notes de cours, 1983, Université
de Liège
G. Genta. « Motor Vehicle Dynamics: Modeling and Simulation ». World
Scientific. 1997.
J.R. Ellis. Vehicle Dynamics. London Business Book Limited. 1969
2
Plan de l’exposé


Modèle bicyclette
Équations du comportement dynamique du modèle bicyclette






Étude de la stabilité du mouvement




Équations d’équilibre
Équations de compatibilité
Équations de la dynamique
Dérivées de stabilité
Équations sous forme canonique
Signe des parties réelles
Étude du discriminant
Cas du virage établi
Description de la trajectoire
3
Modèle bicyclette

Véhicule infiniment rigide




en tangage (q=0)
et en pompage (w=0)
Véhicule sans roulis : p=0
On peut ignorer le phénomène de transfert de charge latéral qui
conduit à une réduction de la raideur d’envirage de l’essieu
lorsque les accélérations latérales restent sous 0.5 g (L. Segel,
Theoretical Prediction and Experimental Substantiation of the
Response of Automobile Steering Control, Cornell Aer. Lab.


Buffalo. NY.)
Mouvement à vitesse constante V
Plan y=0 est plan de symétrie : Jyx = 0 et Jyz = 0
4
Modèle bicyclette

Petits angles
de braquage

de dérive
 Théorie linéarisée

CONCLUSION

Modèle linéarisé à deux degrés de liberté:


angle de dérive b (v)
vitesse de lacet r
5
Modèle bicyclette
6
Équilibre dans le repère dynamique (véhicule)

Équations d’équilibre

Dérivée dans le repère dynamique

Équations d’équilibre
7
Équilibre dans le repère dynamique

Modèle à 2 ddls
e Jxy = 0
et Jyz = 0

Équations du mouvement
Équations des réactions relatives aux
déplacements bloqués

8
Équilibre dans le repère dynamique

Explication
Pour un mouvement circulaire

e Jxy = 0
et Jyz = 0
Forces agissantes:
Forces développées par les pneus

Autres forces (ex forces aérodynamiques)
négligées, car elles ne dépendent pas des
perturbations (en première approximation)

9
Équilibre dans le repère dynamique

Équilibre selon Fy et Mz
e Jxy = 0
et Jyz = 0

Hypothèse des petits angles

Équilibre linéarisé
10
Équations de compatibilité

Compatibilité des angles et des vitesses

Petits angles de dérive et de braquage

Si u=V
11
Équation de comportement des pneus

Forces latérales et raideur d’envirage
Source: Gillespie (fig 6.2)
12
Modèle dynamique

Équilibre

Introduisons les relations constitutives

Utilisons les compatibilités
13
Modèle dynamique

Les forces latérales et les moments de lacets s’écrivent donc:

Soit
14
Modèle dynamique

Équations de comportement du modèle bicyclette
15
Dérivées de stabilité


De manière équivalente, cela revient à développer en série de
Taylor les forces et moments autour de la configuration de
référence
On note habituellement les dérivées de stabilité
16
Dérivées de stabilité

Valeur des dérivées de stabilité

Les équations différentielles s’écrivent alors
17
Forme canonique des équations



Il est également intéressant de remarquer que le modèle
bicyclette conduit à un modèle linéaire invariant au cours du
temps. Il est commun de mettre ce type de modèle sous forme
canonique.
Les variables d’état du système et le vecteur de commande
sont:
Les matrices A et B du systèmes s’obtiennent aisément
18
Étude de la stabilité du système

Utilisation de la transformation de Laplace

Le système devient
(s mV ¡ Y¯ ) ¯(s) + (mV ¡ Yr ) r(s) = Y± ±(s)
¡N¯ ¯(s) + (s Jzz ¡ Nr ) r(s) = N± ±(s)
La stabilité de la réponse libre résulte de l’examen des racines
de l’équation caractéristique

Soit
mV Jzz s2 ¡ (Y¯ Jzz + mV Nr ) s + (Y¯ Nr ¡ Yr N¯ + N¯ mV ) = 0
19
Étude de la stabilité du système


Équation caractéristique
Cette équation est semblable à celle des vibrations d’un
oscillateur à 1 degré de liberté
x
k
c
m
f
20
Étude de la stabilité du système


Racines de l’équation caractéristique
Critère de stabilité: les parties réelles de toutes les racines
doivent être négatives


Si racines complexes conjugués, la somme des racines doit être
négative
Si racines réelles, la somme doit être négative et le produit positif
Soit:

Le critère est équivalent à Routh Hurwitz.
21
Étude de la stabilité du système
Im
x
t
t
k
t
c
m
f
Re
stable
t
instable
t
22
Étude de la stabilité du système

Équation caractéristique (rappel)

A vérifier:

Première condition: toujours satisfaite
23
Étude de la stabilité du système

Seconde condition:

Soit

D’où la condition
24
Étude de la stabilité du système



La seconde condition est satisfaite si
Pour un véhicule sous-vireur:
le comportement est toujours stable
Pour un véhicule sur-vireur
le comportement est instable au-dessus de la vitesse critique
25
Étude du type de mouvement

Examen du discriminant



si r>0: 2 racines réelles, amortissement plus que critique et
mouvement apériodique
si r<0: 2 racines complexes conjuguées, amortissement sous
critique
si r=0, 2 racines confondues, amortissement critique
26
Étude du type de mouvement

Valeur du discriminant

On trouve finalement
27
Étude du type de mouvement

Discriminant (rappel)

Lorsque Nb<0 (machine sur-vireuse), r>0.



La réponse est apériodique
Stable tant que v < Vcrit.
Lorsque Nb>0 (machine sous-vireuse), r<0.


Le terme positif décroît avec 1/V²
La réponse devient oscillante amortie au-delà de la vitesse
28
Équations du virage en régime établi

Le mouvement circulaire est caractérisé par:

Il vient successivement

La valeur de l’angle de dérive

La valeur de la vitesse de lacet
29
Équations du virage en régime établi

On en déduit le gain de vitesse de lacet:

Sachant que:

Il vient
30
Équations du virage en régime établi

Soit en tenant compte des données cinématiques du
mouvement en virage

En introduisant la valeur

On retrouve l’expression classique
31
Description de la trajectoire

La trajectoire peut être décrite par une loi paramétrique entre le
temps et les coordonnées absolues
x projeté
X

On définit:
q l’angle de course
entre la trajectoire et l’axe des X

y l’angle de cap entre
l’axe des X et l’axe des x
du repère de la voiture

b l’angle de dérive

du véhicule, l’angle entre
l’axe des x de la voiture et
le vecteur vitesse tangent à
la trajectoire
Angle de cap y
Angle de course 

Angle de dérive b
Vitesse
instantannée
(projection)
Angle de braquage 
y projeté
Trajectoire
du véhicule
Y
32
Description de la trajectoire


On évidemment les relations suivantes entre les angles de
course q, de cap y et de dérive b:
Les vitesses linéaires s’obtiennent par changement de repère
entre le repère inertiel et celui de la voiture:
33