Les fractions égyptiennes

Atelier Math.en.jeans
Sujet : « Les fractions Egyptiennes »
Décompositions de fractions en fractions
Egyptiennes
Existe-t-il un moyen optimal pour décomposer toute fraction en
une fraction Egyptienne ?
1 1 1 1 1
+ + + +
5 5 5 5 5
2 2 1
1= + +
5 5 5
1 1 1 1 1
1= +
+ +
+
3 15 3 15 5
2 2 1
1= +
+
3 15 5
2 2
2
2
1
1= +
+
+
+
4 12 16 240 5
1 1 1 1
1
1 = + + + +
2 5 6 8 120
1=
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
7 7 7 7 7 7 7
1 2 2 2
1= + + +
7 7 7 7
1 1 2 1
2
1= + + +
+
7 4 4 28 28
1=
1 =
1
1
5
=
+
9 9×2 2
5
1
1
1
=
+
+
7 7×3 3×2 2
1 1 1
1
1
+ + +
+
2 4 7 14 28
Elèves :
Octave CURMI - Seconde
Amandine GOUMARD, Louciné SARKHANOVA – Première S.
Marie CHARBONNIER, Adrien CHAIGNE, Pierre DUPUIS, Benoît GOUPILLEAU,
Aurore MIGUEL, Vincent PENELLE, Edouard ROSIER, Artak SARKHANOV, Martial
TRIGEAUD – Terminale S.
Enseignants : Florence GABARRA, Cédric JOSSIER.
Chercheur : Camille LAURENT-GENGOUX – Université de Poitiers
Lycée de l’image et du son - 303 avenue de Navarre – 16022 ANGOULEME CEDEX
Année scolaire 2005 – 2006
Sommaire.
I - Introduction._____________________________________________ 2
II - Décomposition des nombres entiers. __________________________ 2
1) Les formules dites des « matching pairs ». __________________________ 2
2) Comment décomposer 1 sous forme d’une fraction Egyptienne ? __________ 3
3) Tentons d’écrire le nombre 2 en une fraction égyptienne. _______________ 4
4) Tentons à présent d’écrire le nombre entier 3 en fraction égyptienne. _____ 5
III - Utilisation de l’algorithme de Fibonacci. ______________________ 8
1) Principe de l’algorithme._________________________________________ 8
2) Trouver n. ___________________________________________________ 9
3) L’algorithme. _________________________________________________ 9
4) Finitude de l’algorithme. _______________________________________ 10
5) Problèmes. __________________________________________________ 10
IV - Utilisation du théorème de Bézout. _________________________ 11
1) Théorème de Bézout et utilisation pour les fractions Egyptiennes. _______ 11
2) Existe t-il plusieurs couples (u ; v) tels que : au + bv = 1 ?____________ 11
3) Existe-t-il un couple (u ;v) tel que 0 < u < b et –a < v < 0 ? _________ 13
4) Mise en place d’un nouvel algorithme. _____________________________ 14
V - Propriétés de l’algorithme de Bézout._________________________ 14
1) Cet algorithme se termine. _____________________________________ 14
2) Les dénominateurs sont majorés par b² ____________________________ 15
3) La suite des dénominateurs est décroissante. _______________________ 15
4) Conclusion. __________________________________________________ 16
VI - Création de feuilles de calcul. _____________________________ 16
1) Utilisation des congruences._____________________________________ 16
2) Utilisation de l’algorithme d’Euclide étendu._________________________ 17
VII - Conclusion.____________________________________________ 19
VIII - Parole d’élève. ________________________________________ 20
1/21
I - Introduction.
L’atelier Maths en Jeans de cette année nous proposait de travailler sur les
fractions égyptiennes.
1
Les égyptiens n’utilisaient que les fractions du type , avec n un entier naturel
n
non nul et ne connaissaient pas les fractions négatives. On apellera « fraction
1
1
1
,
,
sont des fractions
unitaire » une telle fraction. Par exemple :
2 45 23454
unitaires.
a
Ainsi nous avons tenté d’écrire les fractions irréductibles du type , avec a et b
b
deux entiers naturels sous la forme d’une somme de fractions unitaires toutes
différentes. Cette décomposition en somme de fractions unitaires a été appelé
« fraction Egyptienne ».
Nous nous sommes alors posé les questions suivantes : pouvons-nous écrire
a
toutes les fractions du type
en fraction égyptienne ? Existe-t-il plusieurs
b
façons de le faire ? Existe-t-il une « meilleure » façon de le faire ?
Nous avons travaillé sur trois pistes différentes :
• L’utilisation des formules des « matching pairs ».
• L’utilisation de l’algorithme de Fibonacci.
• L’utilisation du théorème de Bézout.
Nous nous sommes partagé le travail en deux groupes, un groupe qui a travaillé
sur la décomposition des nombres entiers en fraction Egyptienne et l’autre sur la
décomposition des fractions plus petites que 1.
II - Décomposition des nombres entiers.
1)
2
y
Les formules dites des « matching pairs ».
=
2
2
+
y + 1
y( y + 1 )
=
1
y
+
2
(ici y = 5)
5
2
2
2
2 2 1 1
=
+
= +
= +
5 5 + 1 5(5 + 1) 6 30 3 15
1
1
+
y + 1 y( y + 1 )
Exemples : pour
2/21
(Formule 1)
2 1
1
1
1 1
1
= +
+
= + +
5 5 5 + 1 5(5 + 1) 5 6 30
ou
2)
Comment décomposer 1 sous forme d’une fraction Egyptienne ?
Principe : On additionne m fois la fraction unitaire
Exemple :
1=
1 1
5
= +
5 5
5
=
2
y+1
1
1
1
1
1
+
2
5
(Formule 2)
1 1
+
5 5
+
2
5
+
2
1
y( y + 1 )
y
+
1
y+1
+
+
1
5
+
1
5
1
:
m
1
y( y + 1 )
2
1
1
1
2
+
+
+
+
5×(5+1)
5
5+1
5×(5+1)
5+1
1 1 1
1 2
=
+ +
+
+
3 6 15 30 5
1 1 1
1 2 2
= + +
+
+ +
(Formule 1)
3 6 15 30 6 30
1
1
2 2
=
+
+
+ (On utilise deux fois la formule 1)
6 30 15 3
1
1
2
2
2 2
+
+
+
+ +
=
6 30 16 240 4 12
=
1 =
1
2
+
1
3
+
1
8
+
1
30
+
1
120
De la même manière on obtient
1 =
7
7
=
1
2
+
1
5
+
3/21
1
6
+
1
8
+
1
120
+
1
5
En procédant ainsi, on peut obtenir une infinité de décompositions de 1 :
Valeurs de m
5
7
11
13
19
23
29
31
37
47
51
Dénominateurs des fractions unitaires
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3)
5
4
3
4
6
3
4
4
6
3
4
6
7
11
7
8
12
8
8
8
12
14
8 120
14 28
17 66
14 28
10 19
23 35
29 30
16 31
10 24
24 47
23 26
561
46 2093
24 120
138 276
55
60
62 124
37
44
71 282
28
46
4186
190 2280
2415
109 120 218 5995
248 496
120 190 352 2280
564 1128 10011
51
83 166 1326
23708
47415 34830 1124114820
30932 247456
2093
4186 55029
Tentons d’écrire le nombre 2 en une fraction égyptienne.
On fait la somme des 2 décompositions précédentes :
2 =
5
7
+
=
5
7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
3
8
30 120
2
5
6
8
120
1
Or on retrouve ici 2 fractions unitaires identiques : . Nous allons exploiter le
2
1 1
+ =1
2 2
fait que :
En simplifiant chaque membre de la relation précédente par 1 :
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
1 =
8
30 120 5
6
8
120
3
⇔
1
=
1
3
+
1
4
+
1
30
+
1
60
+
1
5
+
1
6
On obtient une nouvelle décomposition de 1.
Par ailleurs, on a obtenu une autre décomposition de 1 à partir de
7
:
7
7 1 1 1 1
1
= + + +
+
7 7 4 2 14 28
En procédant de même avec ces deux autres décompositions de un, on obtient :
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
2=
+ + + +
+ + + +
+
2 5 6 8 120 7 4 2 14 28
4/21
110058
1 =
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
14
+
1
28
+
1
120
Additionnons : 1 et 1 font … 2
1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
+ + + + +
+
+
+ + +
+
+ +
=2
4 5 6 7 8 14 28 120 3 4 30 60 5 6
1 1 1
1 1 1 2 1 1 2
De plus, + + = ; + = et + =
6 3 6 3 5 5 5
4 4 2
Or , ici on peut simplifier sans exclure la valeur de 1 :
1
1
1 1 1
1
1
1 2 2
+
+
+ + +
+
+
+ +
8 120 14 7 2 28 30 60 3 5
En utilisant une formule du matching pairs, on trouve :
2=
2=
1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
2 3 4 5 6
7
8
12
14
15
28 60 120
On parvient ainsi à obtenir une décomposition de 2.
4)
Tentons à présent d’écrire le nombre entier 3 en fraction
égyptienne.
On pense d’emblée à faire la somme de 3 décompositions de 1 :
Problème : toutes celles que nous avons ont un dénominateur égal à 2 ou /et à 3,
ce qui oblige à exclure la valeur de 1 voire de 2 à notre somme de fractions.
Tentons alors multiplier 3 à une décomposition de 1 :
3=
⇔
⎛1 1 1 1
1 ⎞
3× ⎜ + + + +
⎟
⎝ 2 5 6 8 120 ⎠
3 =
3 3 3 3
3
+ + + +
2 5 6 8 120
5/21
Problème : nous ne parvenons pas à réécrire la fraction
3
car c’est supérieur à
2
1.
Prenons une décomposition non composée d’une fraction ayant 2 au
dénominateur :
⎛1 1 1 1
1
1 ⎞
3=3×⎜ + + + +
+
⎟
⎝ 3 4 5 6 30 60 ⎠
3=
3
3 3 3 3 3
+ + + +
+
3 4 5 6 30 60
3=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
+ + + + + + + +
+
+
2 2 2 3 3 4 5 6 10 15 20
Problème : trop de fractions unitaires identiques
Tentons maintenant de multiplier 4 à une décomposition de 1 .
Il faut donc une formule générale pour transformer une fraction de type
une fraction égyptienne :
4
n
=
2
n
+
4
n
2
n
on utilise les 2 formules du matching pair :
2
y
=
2
2
+
y+1
y( y + 1 )
⇒
4
n
=
1
n
+
=
1
y
1
n + 1
+
1
1
+
y + 1 y( y + 1 )
+
1
n × ( n + 1 )
+
2
n + 1
+
2
n × ( n + 1 )
Utilisons une décomposition en fraction égyptienne de 1 comportant que des
dénominateurs impairs pour soucis de simplification :
6/21
en
soit
⇔
⇔
1 1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + + +
+
+
+
3 5 7 9 11 15 35 45 231
4 4 4 4 4 4
4
4
4
4=
+ + + + +
+
+
+
3 5 7 9 11 15 35 45 231
1=
4=
1 2 2 1 1
1 2 2 1 1
1 1 1 2 2 1 1
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ +
3 4 12 4 12 5 6 30 6 30 7 8 56 8 56 9 10
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
90 10 90 11 12 132 12 232 15 16 240 16 240 21
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
22 462 22 462 165 166 27390 166 27390 693 694
2
2
1
+
+
+
480942 694 480942
+
Problème :
Après de multiples simplifications, cette somme est composée de plusieurs
1
3
fractions «
» , une fraction «
» , etc.
2
3
Nous ne parvenons pas à écrire l’entier 4 en fraction égyptienne.
Tentons de décomposer les entiers à l’aide d’une autre méthode.
Il s’agit d’abord de diviser par 2 la décomposition de 2 que nous avons, pour
obtenir une nouvelle écriture de 1 composée uniquement de dénominateurs pairs :
2
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 1= + + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
4 6 8 10 12 14 16 24 28 30 56 120 240
On peut donc lui ajouter une décomposition de 1 possédant uniquement des
dénominateurs impairs :
2=
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4 6 8 10 12 14 16 24 28 30 56 120 240
1
1
1
1
1 1 1 1 1
+
+
+
+
+ + + + +
3 5 7 9 11 15 35 45 231
Ainsi, si on effectue plusieurs fois de suite ces deux opérations, les
dénominateurs pairs augmentent, et on a plus de chances pour qu’ils soient
7/21
différents du plus petits dénominateurs pairs lorsqu’on ajoutera la valeur 1 à
notre nouvelle décomposition de 2.
Mais après de multiples essais, l’application de cette méthode s’est révélée très
longue et inefficace.
III - Utilisation de l’algorithme de Fibonacci.
1)
Principe de l’algorithme.
a
1
inférieure à 1. On prend la plus grande fraction
b
n
a
a
inférieure à , avec n entier. C’est le premier terme de la décomposition de . On
b
b
a 1
calcule – et on recommence l’opération avec la fraction obtenue, jusqu’à n’avoir
b n
1
1
1
que des fractions unitaires. On a alors a/b =
+
+ … + , la décomposition de
n1 n2
nk
a
en fraction égyptienne.
b
On part d’une fraction
Exemple :
7
7
1
Pour . La plus grande fraction inférieur à est .
9
9
2
7 1 5
- =
9 2 18
1
5
1
La plus grande fraction supérieure à et inférieure à
est
2
18
4
5 1
1
– =
(unitaire)
18 4 36
1
5 1 7 1 1
Ainsi :
=
- = - Donc :
36 18 4 9 2 4
7
9
=
1
2
+
1
4
8/21
+
1
36
2)
Trouver n.
On doit avoir :
1 a
1
b
< ≤
Ùn> ≥n-1
n b n–1
a
Or n et n – 1 sont des entiers naturels et
b
est un quotient.
a
⎛b⎞
⎛b⎞
⎜ ⎟
Donc E⎜ ⎟ = n – 1. Donc n = E⎜ ⎟ + 1
a
⎝ ⎠
⎝a ⎠
n est donc le quotient de la division euclidienne de b par a augmenté de 1.
a’ a 1 na – b
La fraction suivante est = – =
. Donc a’ = na – b et b’ = bn
b’ b n
bn
3)
L’algorithme.
On en déduit l’algorithme suivant :
Demander A ; n’accepter que A entier >2
Demander B ; n’accepter que B entier >A
Lbl A
A→D
B→F
Lbl B
-(D*E(F/D)-F)→C
Si C><0 alors D→F ; C→D ; aller à « Lbl A » ; FinSi
A/D→A
B/D→B
Si A=1 alors B→List2[1] ; afficher List2 ; Stop ; FinSi
1→U
Lbl 1
E(B/A)+1→C
C→List2[U]
AC-B→A
BC→B
U+1→U
A→D
B→F
Lbl 2
-(D*E(F/D)-F)→G
Si G><0 alors D→F ; G→D ; aller à « Lbl 2 » ; FinSi
A/D→A
B/D→B
Si A=1 alors B→List2[U] ; afficher List2 ; Stop ; FinSi
9/21
aller à Lbl 1
Cet algorithme donne les dénominateurs des fractions de la décomposition
sous forme de liste.
4)
Finitude de l’algorithme.
Après avoir essayé quelques exemples qui fonctionnaient, nous avons essayé de
prouver qu’il fonctionnait pour toutes les fractions inférieures à 1.
a
On a montré que pour une fraction ,
b
Effectuons la division euclidienne de b par a, alors : b = aq + r avec
⎛b⎞
q = E⎜ ⎟ = n – 1 (donc n = q + 1) et 0 ≤ r < a.
⎝a⎠
a’
la fraction suivante dans l’algorithme
est telle que b’ = bn Ù b’= b(q + 1) et
b’
a’= an - b Ù a’= aq + a – b Ù a’= a – (b – aq) Ù a’= a – r
On peut donc définir la suite (an) des numérateurs des fractions restantes
à chaque étape par an+1 = an – rn
Or rn est le reste de la division euclidienne de bn par an
Donc 0 ≤ rn < an
Ù 0 ≥ -rn > -an
Ù an ≥ an+1 > 0
(an) est une suite d’entiers naturels. Si an+1 = an , rn=0 donc bn est divisible
par an donc la fraction est simplifiable en une fraction unitaire. Donc (an) est une
suite strictement décroissante, elle converge donc vers 1. Conclusion : quelle que
a
inférieure à 1, l’algorithme de Fibonacci en donnera une
soit la fraction
b
décomposition en fraction égyptienne.
5)
Problèmes.
Cet algorithme présente un problème : les dénominateurs des fractions
restantes augmentent très rapidement. En effet, la suite (bn) est donnée par
7
bn+1 = bn (qn + 1). Pour des fractions comme , on obtient a l’aide de l’algorithme
9
7 1 1
1
précédent des décompositions correctes : = + +
mais pour des fractions
9 2 4 36
10/21
65781
comme
, on obtient des erreurs avec les algorithmes programmés :
448574
65781
1
1
1
1
1 1
= +
+
+
+ +
448574 7 265 71567 1256620429 3 -3
Cet algorithme ne permet donc pas de décomposer toutes les fractions,
car les dénominateurs augmentant très rapidement, les machines à calculer font
des erreurs. On doit donc trouver un algorithme plus efficace.
IV - Utilisation du théorème de Bézout.
1)
Théorème de Bézout et utilisation pour les fractions
Egyptiennes.
Théorème : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. a et b sont premiers entre
eux si et seulement s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
En partant de la relation initiale au + bv = 1 nous avons :
au + bv = 1
1
au
+v=
⇔
b
b
au
1
⇔ + vu =
bu
bu
a 1 v
⇔ =
b bu u
1
Nous obtenons alors une première fraction unitaire ( ) pour débuter l’écriture
bu
a
v
de en fraction égyptienne. Se pose alors un problème, le terme – semble être
b
u
négatif.
2)
Existe t-il plusieurs couples (u ; v) tels que : au + bv = 1 ?
Lorsque nous avons trouvé « à la main » les premiers couples (u ; v), nous avons
remarqué que l’on n’obtenait pas toujours un u positif et un v négatif, ce qui nous
posait problème pour appliquer le théorème de Bézout.
Mais nous arrivions à trouver plusieurs couples sur plusieurs exemples.
Nous avons donc cherché à démontrer qu’il existait plusieurs couples (u ; v).
Pour faire cette démonstration nous avons utilisé le théorème suivant :
Théorème de Gauss :
11/21
Soit e, f, g, p et q des entiers relatifs.
Si e divise le produit fg et si e et f sont premier entre eux ; alors e divise g
⇔ fg = pe
⇔ PGCD ( e ; f ) = 1
⇔ g = qe
On a pu déterminer grâce au théorème d’Euclide étendu (voir plus loin pour
le principe de fonctionnement de cet alogoritme) un premier couple, que l’on
notera le couple ( u0 ; v0), tel que :
au0 + bv0 = 1
Donc :
au0 + bv0 = aun + bvn
b ( v0 – vn ) = a ( un – u0 )
⇔
a et b sont premier entre eux ; donc d’après le théorème de Gauss :
(k et k’ sont de entiers relatifs )
-b divise ( un – u0 )
⇔ un – u0 = k b
⇔ un = u0 + k b
-a divise ( v0 – vn )
⇔ v0 – vn = k’a
⇔ vn = v0 – k’a
Un nouveau problème se pose :
Comment démontrer que k = k’ ?
On a :
un = u0 + k b
vn = v0 – k’a
De plus, on sait que :
au0 + bv0 = aun + bvn = 1
En remplaçant un et vn dans l’équation précédente par leur valeur, on a :
au0 + bv0 = a ( u0 + k b ) + b ( v0 – k’a )
Ce qui donne en développant :
au0 + bv0 = au0 + bv0 + abk – abk’
⇔
ab k = ab k’
Conclusion :
k = k’
On obtient ainsi deux suites :
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Un = U0 + kb
Vn = V0 – ka
Il existe ainsi une infinité de couple (u ; v). Pour éviter les problèmes
rencontrés avec la méthode de Fibonacci, c’est à dire des dénominateurs qui
deviennent de plus en plus grand, nous avons ajouté une condition sur le couple
(u ; v) :
0 <u <b
-a < v < 0
Mais pouvons nous obtenir un v vérifiant ces conditions lorsque nous avons
un u vérifiant ces conditions ?
3)
Existe-t-il un couple (u ;v) tel que 0 < u < b et –a < v < 0 ?
Il existe plusieurs entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démontrons qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers vérifiant cette relation tel
que : 0 < u < b et –a < v < 0.
Supposons a et b premiers entre-eux, d’après le théorème de Bézout, il existe
un couple (u0 ; v0) tel que au0 + bv0 = 1
• Si 0 < u0 < b, on a trouvé un u adéquat
• Supposons que u0 ≥ b Alors, il existe q et r tels que : u0 = qb + u ; 0 ≤ u < b
Ainsi : comme u0a + bv0 = 1 :
alors (qb + u)a + bv0 = 1
donc : ua + (v0 + qa)b = 1
Les nouveaux coefficients de BEZOUT sont r et v0 + qa
• On procède de la même manière pour le cas où u0 < 0
On a démontré que l’on peut toujours trouver un couple (u ; v) avec 0 < u < b
Montrons que dans ce cas –a < v < 0 :
Supposons que –v ≥ a alors v ≤ -a
alors au < ab
et b v ≤ - ab
donc au + bv < 0
C’est impossible car au + bv = 1
Ainsi on a 0 < u < b et 0 < v < a
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4)
Mise en place d’un nouvel algorithme.
v
est aussi une fraction unitaire c’est-à-dire si –v = -1 alors
u
l’écriture sous forme de fraction égyptienne de notre fraction initiale est
terminée.
v
Si –
est une nouvelle fraction irréductible alors on recommence l’opération
u
a’
précédente en posant –v = a’ et u = b‘. On recommence avec
et ainsi de suite
b’
jusqu’à trouver notre décomposition complète de la fraction initiale en fraction
unitaire.
Si le terme –
Après avoir manipulé cette façon de procéder sur différents exemples nos avons
essayé de trouver des moyens de généraliser le problème et de savoir si toutes
les nombres compris entre 0 et 1 pouvaient admettre une écriture en fraction
égyptienne.
V - Propriétés de l’algorithme de Bézout.
1)
Cet algorithme se termine.
Lorsqu’on décompose une fraction à l’aide du théorème de Bézout, on crée deux
suites d’entiers :
au0 + bv0 = 1
On recommence pour a = -v0 et b = uO
alors : -v0 × u1 + u0 × v2 = 1
et ainsi de suite :
…
Pour tout entier n : -vn × un+1 + un × vn+1 = 1
On a prouvé de plus que 0 < u0 < b et –a < v0 < 0
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On en déduit alors par un raisonnement par récurrence :
Pour tout entier naturel n :
0 < un+1 < un et vn < vn+1 < 0
Ainsi u est une suite d’entiers positifs décroissante,
elle possède donc un nombre fini de termes.
De même pour la suite v qui est une suite croissante d’entiers négatifs.
Il existe donc un entier n tel que vn = -1
2)
Les dénominateurs sont majorés par b²
En utilisant la suite précédente, il vient que les dénominateurs de la
décomposition sont :
b × u0 ; u0 × u1 ; u1 × u2 … un × un+1 ; un+1
Or, on sait que pour tout n : un+1 < un < b
Donc, pour tout n : un × un+1 < b × b
Conclusion : les dénominateurs sont majorés par b2
3)
La suite des dénominateurs est décroissante.
On a démontré que pour tout n , 0 < un+1 < un, si u est la suite des coefficients de
Bézout.
Les dénominateurs sont alors des termes :
wn = un+1 × un
alors un+2 < un+1
et
un+1 < un
donc un+2 × un+1 < un+1 × un
Ainsi wn+1 < wn
Conclusion : la suite des dénominateurs est décroissante.
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4)
Conclusion.
Ainsi on optimise l’algorithme de Fibonacci : Le nombre au dénominateur reste
inférieur à b² et les dénominateurs sont de plus en plus petits. Ainsi les
dénominateurs « n’explosent » pas comme avec la méthode de Fibonacci. Cet
algorithme décompose donc beaucoup plus efficacement des fractions
inférieures à 1 même pour des dénominateurs très grands.
Les dénominateurs des fractions unitaires étant relativement petits on évite
ainsi à l’ordinateur de faire des erreurs de calcul en arrondissant les nombres.
Cet algorithme peut donc être appliqué par un ordinateur et donne de très bon
résultat. C’est ce que nous avons fait grâce à un tableur.
VI - Création de feuilles de calcul.
Voyons comment déterminer systématiquement les couples (u ;v). Deux méthodes
ont été utilisées :
1)
Utilisation des congruences.
En utilisant le théorème de Bézout : au + bv = 1
Donc 1 – au = bv
Ö Il faut trouver u et v tels que b divise 1 – au
Définition des congruences : a ∈ ZZ, b ∈ ZZ et n ∈ ς*
a est congru à b modulo n signifie que a et b ont le même reste dans la division
euclidienne par n.
On note a ≡ b (n).
Division euclidienne de a par n :
a = qn + r
avec 0 ≤ r < n
De plus, r = 0 × n + r
Donc a et n ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Ainsi :
Si a ≡ r (n) avec 0 ≤ r < n
alors r est le reste de la division euclidienne de a par n.
Règles de calcul :
Si a ≡ b (n), soit c un entier relatif, alors :
a + c ≡ b + c (n)
ac ≡ bc (n)
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b divise 1 – au si et seulement si 1 – au ≡ 0 (b)
Différents cas pour u sont possibles :
u ≡ 0 (b)
soit u = 0 + kb
u ≡ 1 (b)
…
u ≡ b – 1 (b)
On calcule 1 – au pour chaque cas.
On obtient ainsi un entier x tel que :
si u ≡ x (b), alors, 1 – au ≡ 0 (b)
Donc il existe deux entiers relatifs k et v tels que :
si u = x + kb, 1 – au = vb
On obtient donc un ensemble de couples d’entiers (u;v) avec :
(1 – au)
u = x + kb et v =
b
• Exemple : a=7 et b=15
Essayons avec u = 15k , k un entier
alors 1 - au = 1 – 7 × 15k = 1 – 105k
Ceci n’est pas divisible par 15, il faut choisir un autre u
Essayons avec u = 15k + 13
1 - au = 1 – 7 × (15k + 13) = -90 – 105k
90 et 105 sont des multiples de 15 donc :
-90 – 105k = 15k’
Ceci vérifie : 1 – au = bv
Ainsi si u = 15k + 13 alors v = (-90 – 105k) / 15 => ensemble de solutions entières
Prenons k = 2
u = 15 × 2 + 13 = 43
1 – 7 × 43
et v =
= -20
15
on a bien 7 × 43 + 15 × (-20) = 301 – 300 = 1
Ceci nous a permis de créer des feuilles de calcul et de déterminer la suite des
couples (u ;v) nous donnant la décomposition d’une fraction irréductible dont le
dénominateur est inférieur à 100 en une fraction Egyptienne.
2)
Utilisation de l’algorithme d’Euclide étendu.
Trouver un couple (u;v) avec l’algorithme d’Euclide …
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Il s’agit tout d’abord de déterminer le plus grand diviseur commun à a et b noté
PGCD(a;b) grâce à l’algorithme d’Euclide :
Exemple : 9 et 7
a = bq2 + r2
b = r2q3 + r3
r2 = r3q4 + r4
…
rn-2 = rn-1qn + rn
rn-1 = rnqn+1
9=1×7+2
7=3×2+1
2=2×1+0
1 = PGCD(9 ; 7)
rn=PGCD(a ;b)
On a :
r2 = a – bq2
r3 = b – r2q3
…
rn = rn-2 – rn-1qn
2=9–1×7
1=7–2×3
1=7–2×3
Or 2 = 9 – 7
1 = 7 – (9 – 7) × 3
1 = -3 × 9 + 4 × 7
On a :
r3 = b – r2q3
Comme r2 = a – bq2
r3 = b – (a – bq2)q3
r3 = -q3a + (1 + q2q3)b
En procédant de même, on peut avoir pour tout n :
rn = aun + bvn
Expressions de un et de vn …
On a donc : rn-2 = un-2a + vn-2b
rn-1 = un-1a + vn-2b
Comme :
rn = rn-2 – rn-1qn
rn = un-2a + vn-2b – (un-1a + vn-1b)qn
rn = (un-2 – un-1qn)a + (vn-2 – vn-1qn)b
Donc :
un = un-2 – un-1qn
vn = vn-2 – vn-1qn
On peut réaliser le tableau suivant qui nous donne le couple (u;v)
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un
1
0
1
…
vn
0
1
-q2
…
rn
a
b
r2
…
un
vn
rn
un
1
0
1
-3
qn
⎛a⎞
q2 = E⎜ ⎟
⎝b⎠
…
⎛qn-2⎞
⎟
qn = E ⎜
⎝ qn-1 ⎠
Ln
L0
L1
L2 = L0 – q2 L1
…
A chaque étape :
un × a + vn × b = rn
Ln = Ln-2 – qn Ln-1
vn
0
1
-1
4
rn
9
7
2
1
0
(-3) × 9 + 4 × 7 = 1 donc u = -3 et v = 4
qn
E(9/7) = 1
E(7/2) = 3
E(2/1) = 2
Ln
L0
L1
L2 = L0 – L1
L3 = L1 – 3L2
A partir d’une de ces deux méthodes on peut déterminer l’ensemble des couples
(u ;v) successifs tels que u>0 et v<0
la suite des dénominateurs nous est donné par wn = un+1 × un et on s’arrête
lorsque u = 1. On a alors une écriture sous forme de fraction égyptienne de la
fraction de départ.
Ceci nous a permis de mettre en place des feuilles de calcul pour
décomposer toute fraction inférieure à 1 en une fraction Egyptienne.
VII - Conclusion.
Le projet ici présenté est un travail collectif regroupant plusieurs lycées
d'une même région pour un sujet commun. Cette activité amène des élèves
d'horizons lointains à se rencontrer en fin d'année scolaire lors d'une exposition
à la Cité des Sciences à Paris. Chacun va alors présenter son projet et sa
résolution devant les autres. Il s'agit donc d'un véritable échange collectif
intra-lycéens.
Notre projet concernait les fractions égyptiennes qu'il nous fallait savoir
utiliser à partir de fractions comme nous les connaissons aujourd'hui. Cependant
par quels outils pouvait-on arriver à nos résultats et dans quelles autres
situations pouvait-on recourir aux fractions égyptiennes (décomposition de
chiffres,...).
Nos recherches nous ont amené à découvrir de nouveaux théorèmes, et à
utiliser des connaissances personnelles. Il fallait cependant ne pas perdre de vue
notre objectif qui étaient traduire nos chiffres et fractions en fractions
égyptiennes donc en somme de fractions unitaires. C'est sans doute cela qui nous
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a posé le plus de problèmes puisque dans l'exposé de notre projet, il n'y avait pas
eu assez d'insistance sur la signification d'une fraction égyptienne.
Le travail réalisé a pourtant été conséquent et même un peu trop pour le
peu de travail que nous avons pu exposer à Paris. Il a été difficile de clarifier nos
idées lors des réunions à Poitiers pour présenter l'évolution du projet. Il a fallu
étayer tout cela lors de la préparation pour l'exposition de Paris.
Le projet a été allégé de beaucoup par conséquent et ne rendait pas
forcément compte du travail fourni pendant l'année.
VIII - Parole d’élève.
Mon travail sur MATH en JEANS a tout d'abord porté sur la
compréhension des différents algorithmes, en particulier celui de Fibonacci. Il
s'agissait de tester l'algorithme afin de comprendre les outils mis à notre
disposition .
Après, il a fallu se recentrer sur la problématique. Un autre théorème
s'est alors ajouté à nos outils : le théorème de BEZOUT et il m'a fallu le
comprendre tout comme les algorithmes.
J'ai cependant eu beaucoup de difficultés à comprendre ce que je
recherchais écartant alors trop souvent la problématique de mes recherches.
Ceci ne m'a pas aidé à mieux cerner la définition d'une fraction égyptienne.
C'est donc par les comptes rendus réalisés avant les réunions à Poitiers que le
sujet et notre objectif m'ont paru plus définis.
Je ne me suis pas pour autant impliquée dans une démonstration
particulière d'un des théorèmes utilisés mais plutôt dans l'application de ceux-ci
par des exemples comme pour Bézout.
A la seconde réunion à Poitiers, j'ai cependant refait la démonstration du
théorème de Bézout afin de pouvoir en sortir les conditions qui allaient
s'appliquer sur les fractions à traduire (numérateur et dénominateur), les
conditions donc auxquelles le théorème allait devoir se soumettre. Les exemples
que j'avais trouvé et d'autres ont confirmé les conditions trouvées.
Il a fallu rappeler qu'une fraction égyptienne n'est pas une fraction
unitaire mais une somme de fractions unitaires différentes les unes des autres.
Le reste de mon travail a surtout concerné la présentation orale du travail
réalisé ou la préparation de nos panneaux de présentation.
J'ai énormément apprécié le travail que nous avons effectué pendant
l'année.
C'est un excellent moyen de montrer et même faire vivre aux jeunes le métier
de chercheur. Le sujet était intéressant et rend compte des avancées physiques
et mathématiques que nous avons eu en quelques siècles.
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Ce qui m'a le plus marqué, c'est l'échange que nous avons pu faire avec
d'autres lycées. Chacun a avancé parfois sur une branche similaire mais sans
jamais aboutir sur les recherches d'un des autres lycées.
Les rencontres faites ont été enrichissantes pour tous et l'exposition de
Paris a montré des sujets très intéressants.
Le plus appréciables était sans doute que ce projet n'est pas limité aux
classes supérieures puisque des cinquièmes voire même des élèves issus des
classes primaires y participaient.
Enfin, il y avait à la fois une liberté des élèves pour leurs recherches mais
les professeurs ont pourtant toujours su s'impliquer dans le projet afin d'aider
les élèves sans réaliser le travail à leur place; juste en tant que guides.
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