L`oligopole coopératif ou collusif ou cartel

Université des Sciences Sociales de Toulouse
Année universitaire 2008 - 2009
Licence d’Économie 2e Année
Microéconomie 4
TD N°4
— L’oligopole coopératif ou collusif ou cartel —
1. Duopole symétrique : Le cartel.
On reprend les données de l’exercice 1 du TD 3 (“Un duopole symétrique”). Pour
mémoire, il s’agissait d’un oligopole composé de deux firmes (la firme 1 et la firme 2)
produisant un bien homogène. Les deux firmes ont des fonctions de coût identiques :
c(yi ) = yi2 , pour i = 1, 2. La demande du marché dépend de la quantité totale de bien
sur le marché ; la fonction de demande inverse est de la forme : p(y1 +y2 ) = 10−(y1 +y2 ).
Les deux firmes décident à présent de former un cartel afin d’obtenir des profits plus
élevés.
(a) Déterminer la solution du cartel (quantités y1cart , y2cart , prix pcart , profits π1cart et
π2cart ).
Les firmes cherchent les quantités y1 et y2 qui maximisent la somme de leurs
profits :
max π(y1 , y2 ) = π1 (y1 , y2 ) + π2 (y1 , y2 ) = (10 − y1 − y2 )y1 − y12 + (10 − y1 − y2 )y2 − y22 .
y1 ,y2
La solution de ce problème vérifie les CPO suivantes :
∂π
= [−4y1 + 10 − y2 ] − y2 = 0
∂y1
.
∂π
= [−4y2 + 10 − y1 ] − y1 = 0
∂y2
Les CPO ont volontairement été séparées en deux termes. Le premier terme (entre
crochet) correspond à la CPO que l’on avait dans le cas de l’équilibre de Cournot.
On voit qu’ici un nouveau terme est présent. Si l’on considère la première équation,
qui représente la dérivée du profit joint par rapport à y1 , le nouveau terme est −y2 .
C’est en fait la dérivée de π2 par rapport à y1 : Cela signifie tout simplement que
dans le cas du cartel, la firme 1 choisit y1 en prenant en compte l’impact négatif
de son output sur la recette et donc le profit de la firme 2 : quand la firme 1
augmente son output de une unité, le prix du marché diminue de ∂p/∂y1 , soit une
unité, donc la recette de la firme 2 diminue de y2 .
1
Ce système d’équation a pour solutions : y1cart = y2cart = 5/3 ≈ 1, 67 < y1C =
y2C = 2. Le prix de marché est : pcart = 20/3 ≈ 6, 67 > pC = 6, les profits sont :
π1cart = π2cart = 25/3 ≈ 8, 33 > π1C = π2C = 8. Comme dans le cas de l’équilibre de
Cournot, la solution est symétrique puisque les firmes sont identiques. Les profits
des firmes sont plus élevés car les firmes restreignent globalement leur production
pour s’assurer un prix de vente élevé.
(b) La solution du cartel est-elle stable ?
Non, la solution du cartel n’est pas stable : on peut montrer que chaque firme a
intérêt à ne pas maximiser le profit du cartel si elle pense que l’autre firme va
le faire. Supposons que la firme 1 pense que la firme 2 va produire comme prévu
la quantité y2cart ≈ 1, 67 qui maximise le profit du cartel. Sa meilleure stratégie
est alors de choisir la production qui maximise son profit étant donné y2cart . Cette
production est donnée par sa fonction de réaction, que nous avons déterminée dans
le TD précédent : y1d = f1 (y2cart ) = 25/12 ≈ 2, 08 > y1cart ≈ 1, 67, donc la firme 1
a intérêt à faire défection, en produisant plus que prévu dans le cartel. Le prix est
alors pd = 25/4 = 6, 25. Le profit de la firme 1 est π1d ≈ 8, 68 > π1cart ≈ 8, 33. Le
profit de la firme 2 est π2d ≈ 7, 64 < π2cart ≈ 8, 33. On remarque que le profit de la
firme 2 est même inférieur au profit de Cournot (π C = 8), ce qui est un argument
de plus pour montrer que le cartel est instable : si jamais l’autre firme ne respecte
pas l’accord, la firme trompée obtient un profit encore plus faible qu’à l’équilibre
non-coopératif de Cournot.
Cependant, on conçoit bien intuitivement que cet argument n’est pas forcément
valable dans la réalité, où les interactions entre les firmes sont répétées dans le
temps. Si la firme 1 trompe la firme 2, celle-ci ne voudra probablement plus former
de cartel à l’avenir, et les deux firmes se retrouveront bloquées à l’équilibre de
Cournot. Au total, il n’est pas certain que casser un cartel soit la stratégie qui
rapporte le plus de profit à long terme. Ces points sont développés en cours.
(c) Calculer l’écart entre le prix du marché et le coût marginal dans le cas de l’équilibre
de Cournot, de la concurrence parfaite et de la solution du cartel (on considérera
que le coût marginal du cartel est le coût marginal de l’une des deux firmes
indifféremment). Commenter.
Le coût marginal de la firme i est Cmi (yi ) = 2yi . Le tableau suivant récapitule
donc les différents résultats pour chaque situation.
p
6,67
6
5
Situation
Cartel
Cournot
Concurrence parfaite
Cm
3,33
4
5
p − Cm
3,33
2
0
L’écart entre le prix et le coût marginal est le plus élevé dans le cas du cartel,
ce qui n’est pas surprenant puisqu’un cartel se comporte comme un monopole
(si toutes les firmes du marché prennent part au cartel). Cet écart est nul dans
le cas de la concurrence parfaite puisqu’en concurrence parfaite, le prix est égal
au coût marginal. L’écart est intermédiaire dans le cas de l’équilibre de Cournot :
l’équilibre de Cournot est une situation de concurrence entre les firmes, mais cette
2
concurrence est moins forte qu’en concurrence parfaite, ce qui permet aux firmes
de fixer des outputs tels que le prix soit supérieur au coût marginal.
(d) Pour chacune des solutions non-coopératives (équilibre de Cournot, concurrence
parfaite) et coopérative (cartel) précédentes, calculer le surplus des consommateurs et le surplus total. Commenter.
Le surplus des producteurs est constitué de la somme de leurs profits. Le surplus des consommateurs la somme totale que les consommateurs étaient prêts à
dépenser pour acquérir les quantités offertes sur le marché, moins ce qu’ils ont
effectivement dépensé. C’est donc la surface du triangle délimité par la courbe de
demande, l’axe des ordonnées et le prix du marché. Compte tenu des données de
l’exercice, c’est donc : (10 − p(y1 + y2 ))(y1 + y2 )/2 = (y1 + y2 )2 /2. Le tableau
suivant récapitule donc les différents niveaux de surplus pour chaque situation.
Situation
Cartel
Cournot
Concurrence parfaite
SC
5,56
8
12,5
SP
16,67
16
12,5
ST
22,22
24
25
On observe sans surprise que le surplus du consommateur est maximum pour la
solution de concurrence parfaite puisque la quantité disponible est la plus élevée et
le prix le plus faible, et qu’il est minimal dans la situation de cartel où les firmes
restreignent le plus leurs outputs et le prix est le plus élevé. L’inverse est vérifié en
ce qui concerne le surplus des producteurs. Au niveau du surplus total, on obtient
le résultat standard que l’optimum est atteint pour la solution de concurrence parfaite et le minimum pour la situation de cartel (qui est analogue à un monopole).
La situations de Cournot est intermédiaire pour les trois types de surplus. C’est
normal puisqu’il s’agit d’une situation où les firmes sont en concurrence contrairement à ce qui se passe dans un cartel, mais se livrent à une concurrence moins
rude qu’en concurrence parfaite.
2. Duopole asymétrique : Le cartel.
On reprend l’exercice 2 du TD 3. Il s’agissait d’un duopole constitué des firmes 1 et
2 produisant toutes deux un bien homogène. La fonction de demande inverse est la
suivante : p(y1 + y2 ) = 100 − y1 − y2 . Les fonctions de coût des firmes 1 et 2 sont
respectivement : C1 (y1 ) = y12 et C2 (y2 ) = 5y2 .
Les deux firmes décident de former un cartel.
(a) Déterminer la solution du cartel (quantités y1cart , y2cart , prix pcart , profits π1cart et
π2cart ).
Les firmes choisissent les volumes de production qui maximisent la somme de
leurs profits. Poser le problème de maximisation. La solution de ce problème est
telle que les dérivées partielles s’annulent : on a donc deux CPO à écrire. Les
CPO déterminent un système de deux équations à deux inconnues. Les solutions
sont y1cart = 2, 5, y2cart = 45 ; le prix est pcart = 52, 5 et les profits π1cart = 125,
π2cart = 2137, 5. On vérifie que la production totale du cartel est inférieure à celle
de l’équilibre de Cournot : y1cart + y2cart = 47, 5 < y1C + y2C = 55. Cependant
3
un détail doit être noté : la firme 2 produit plus à la solution du cartel qu’à
l’équilibre de Cournot (y2cart = 45 > y2C = 40), mais il ne s’agit nullement d’un
cas exceptionnel : si les firmes ont des coûts différents, il est tout à fait possible
que la production de certaines d’entre elles à la solution du cartel soit supérieure
à leur production à l’équilibre de Cournot.
(b) A quelle condition les deux firmes vont-elles accepter de former un cartel ? Préciser
numériquement la réponse et l’illustrer par un graphique sur lequel figureront la
solution de cartel et l’équilibre de Cournot dans le repère (O, π1 , π2 ).
On vérifie bien que la somme des profits des firmes dans le cas du cartel est supérieure à ce qu’elle est à l’équilibre de Cournot (2262, 5 contre 2050). Cependant,
seule la firme 2 gagne à former cette coalition : son profit passe de 1600 à 2137, 5.
Au contraire, le profit de la firme 1 passe de 450 à 125. Ainsi la firme 1 n’accepterat-elle de participer au cartel que si la firme 2 lui transfère une partie de son profit,
au moins égale à ce qu’elle perd en participant au cartel. Soit T ≥ 0 le transfert.
On doit donc avoir π1cart + T ≥ π1C , soit T ≥ 450 − 125 = 325. De plus la firme
1 n’accepte de verser ce transfert que si elle gagne toujours à participer au cartel
malgré le transfert, soit π2cart − T ≥ π2C , et donc T ≤ 2137, 5 − 1600 = 537, 5.
En pratique un tel transfert peut être difficile à mettre en oeuvre : en effet, les
autorités anti-concurrentielles pourraient le déceler dans les écritures comptables,
or les ententes sont interdites.
3. Fusion au sein d’un triopole.
On considère le marché d’un bien dont la fonction de demande inverse est donnée par
p(y) = a − y. Le bien est produit par trois entreprises, désignées par i = 1, 2, 3. Chaque
entreprise a pour fonction de coût Ci (yi ) = cyi , où c < a. On note Y la quantité totale
écoulée sur le marché : Y = y1 + y2 + y3 .
Dans cet exercice, nous allons étudier les effets de la fusion de deux de ces firmes. Une
fusion entre deux firmes peut être vue comme un cas particulier de coopération entre
ces firmes.
(a) Pourquoi impose-t-on la condition c < a ?
Il suffit de représenter sur un graphique la courbe de demande et la courbe de coût
marginal. Si c ≥ a, alors la firme doit fixer un prix p ≥ c ≥ a pour faire un profit
positif ou nul, donc la demande est nulle. La condition c < a permet de s’assurer
que la demande n’est pas forcément nulle.
(b) L’équilibre du marché est décrit comme un équilibre de Cournot. Déterminer la
fonction de réaction de chacune des firmes. En déduire les volumes de production,
le prix du marché, les profits à l’équilibre de Cournot.
Le problème étant symétrique, il suffit d’étudier le problème de l’une des firmes.
Prenons par exemple la firme 1. Celle-ci choisit le volume de production qui maximise son profit compte tenu de ses anticipations sur les quantités choisies par les
autres firmes. Soit, avec les notations habituelles :
max π1 (y1 , y2a , y3a ) = (a − y1 − y2a − y3a )y1 − cy1 .
y1
4
La solution de ce problème est telle que la dérivée partielle du profit par rapport à
y1 s’annule. La firme 1 en déduit sa fonction de réaction :
y1 = f1 (y2a , y3a ) =
a−c 1 a
− (y2 + y3a ).
2
2
Et on en déduit des fonctions de réaction analogues pour les firmes 2 et 3. A
l’équilibre, les anticipations sont correctes : y1a = y1 , y2a = y2 , y3a = y3 . On obtient
donc un système de 3 équations à 3 inconnues à résoudre :

− 21 (y2 + y3 )
 y1 = a−c
2
− 21 (y1 + y3 ) .
y2 = a−c
2

y3 = a−c
− 21 (y1 + y2 )
2
On pourrait résoudre ce système, mais il suffit d’utiliser l’astuce habituelle dans
un problème symétrique : à l’équilibre toutes la firmes choisiront la même quantité
y c . Celle-ci vérifie donc l’équation :
yc =
a−c 1 c
− (y + y c ),
2
2
ce qui implique y c = y1c = y2c = y3c = a−c
; le prix est alors pc = (a + 3c)/4 ; les
4
2
c
c
c
profits sont : π1 = π2 = π3 = ((a − c)/4) .
(c) Les firmes 1 et 2 envisagent maintenant de fusionner. Si elles fusionnent, la mise
en commun des ressources des deux firmes permet de réduire leur coût marginal
de c à cf , avec 0 < cf ≤ c. La fonction de coût de cette nouvelle entreprise, appelée
entreprise f , est alors Cf (yf ) = cf yf , yf désignant son volume de production. A
quelle condition les firmes 1 et 2 souhaiteront-elles fusionner ?
Les firmes 1 et 2 choisiront de fusionner si c’est profitable pour elles, c’est-à-dire
si la somme de leurs profits à l’équilibre de Cournot précédent (à trois firmes) est
inférieure au profit de la nouvelle entreprise f lorsqu’elle est en concurrence avec
la firme 3.
(d) Supposons maintenant que la fusion ait eu lieu : le marché est donc à présent un
duopole composé de la firme f et de la firme 3. Déterminer les fonctions de réaction
de ces deux firmes dans ce duopole à l’équilibre de Cournot (on vérifiera que la
quantité y3 n’est positive que pour cf ≥ 2c − a et on supposera cette condition
vérifiée pour simplifier l’exercice). En déduire les volumes de production, le prix
du marché que l’on notera pf et profits des deux firmes à l’équilibre.
La firme f choisit le volume de production qui maximise son profit compte tenu de
ses anticipations sur les quantités choisies par la firme 3. Soit, avec les notations
habituelles :
max πf (yf , y3a ) = (a − yf − y3a )yf − cf yf .
yf
La solution de ce problème est telle que la dérivée partielle du profit par rapport à
yf s’annule. La firme f en déduit sa fonction de réaction :
yf = ff (y3a ) =
5
1
a − cf
− y3a .
2
2
(Il n’est peut-être pas inutile de montrer que formellement le résultat serait identique si les firmes avaient formé un cartel au lieu de fusionner. Dans ce cas,
les firmes 1 et 2 maximiseraient la somme de leurs profits, ce qui revient au
programme de maximisation précédent en remplaçant yf par y1 + y2 : il s’agit
donc simplement d’un changement de variable, les deux problèmes sont strictement identiques). De manière analogue, on détermine la fonction de réaction de
la firme 3 :
a−c 1 a
− yf .
y3 = f3 (yfa ) =
2
2
a
A l’équilibre, les anticipations sont correctes : yf = yf , y3a = y3 . On obtient donc
un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre :
a−c
yf = 2 f − 12 y3
.
y3 = a−c
− 21 yf
2
Les solutions de ce système sont : yf = (1/3)(a − 2cf + c), y3 = (1/3)(a − 2c + cf ).
Il faut alors bien faire attention à ces solutions car elles peuvent être négatives !
Ainsi, yf ≥ 0 équivaut à cf ≤ (c + a)/2, ce qui est évidemment toujours vérifié
puisque cf ≤ c < a. En revanche, y3 ≥ 0 équivaut à cf ≥ 2c − a, ce que l’on
supposera vérifié.
Le prix est pf = (1/3)(a + c + cf ) > c ; les profits sont πf = (1/9)(a − 2cf + c)2 et
π3 = (1/9)(a − 2c + cf )2 .
(e) On appelle synergies la différence c − cf . Montrer que si cf = c c’est-à-dire si les
synergies sont nulles, la fusion n’aura pas lieu. Donner l’intuition de ce résultat.
La fusion n’a lieu que si elle est profitable. A l’équilibre de Cournot sans fusion, la
somme des profits des firmes 1 et 2 est : (1/8)(a − c)2 . A l’équilibre avec fusion, le
profit de la firme f est πf = (1/9)(a − c)2 < (1/8)(a − c)2 donc la fusion n’est pas
intéressante. En l’absence de synergies, la fusion n’est pas profitable. La raison
est que la firme 3 anticipe une baisse de la production jointe des firmes 1 et 2, et
augmente sa production en conséquence, de (1/4)(a − c) à (1/3)(a − c).
(f) Déterminer le niveau minimal de synergies pour lequel la fusion est profitable.
On a πf = (1/9)(a − 2cf + c)2 donc la fusion est profitable ssi (1/9)(a − 2cf +
c)2 > (1/8)(a − c)2 , ce qui
sont positives)
√ équivaut à (puisque toutes les valeurs √
(1/3)(a − 2cf + c) > (1/2 2)(a − c), ou encore (a − 2cf + c) > (3/2 2)(a − c). On
remarque que le terme de gauche peut s’écrire a−2cf +c+2c−2c
= a−c+2(c−cf ),
√
donc l’inégalité
précédente équivaut à 2(c − cf ) > (3/2 2)(a − c) − (a − c), soit
√
3−2
2
c − cf > 4√2 (a − c), soit c − cf supérieur à environ 0, 033(a − c) > 0. C’est le
seuil minimal de synergies pour que la fusion soit profitable.
(g) Dans le cas où la fusion est profitable, quel est l’impact de la fusion sur le prix
d’équilibre ? Calculer la variation du surplus des consommateurs qui résulte de
la fusion. Quel enseignements ces résultats suggèrent-ils pour la politique de la
concurrence ?
On suppose donc que la condition ci-dessus est vérifiée. On a :
pf − p =
a + c + cf
a + 3c
a − 5c + 4cf
a − c − 4(c − cf )
−
=
=
.
3
4
12
12
6
Le prix pf est supérieur à p ssi (a − c)/4 > c − c√
f . Dans ce cas, on a donc, en
(3−2 2)
reprenant le résultat de la question précédente, 4√2 (a − c) < c − cf < (a − c)/4.
Le prix
pf est inférieur à p ssi (a − c)/4 < c − cf . Dans ce cas, on a donc
√
(3−2 2)
√
(a − c) < (a − c)/4 < c − cf . Le surplus des consommateurs pour un prix p
4 2
quelconque est égal à .5(a − p)2 . Donc la variation de surplus des consommateurs
est égale à :
(a − pf )2 (a − p)2
(p − pf )(2a − p − pf )
−
=
2
2
2
et elle est positive si et seulement si pf < p, i.e., compte tenu de ce qui précède,
si les synergies sont suffisamment importantes (supérieures à (1/4)(a − c)). Du
point de vue de la politique de la concurrence, ceci suggère qu’une fusion dans un
oligopole à la Cournot ne peut profiter aux consommateurs que si elle s’accompagne
de gains de productivité suffisamment élevés.
7