MAT 6609 : devoir 3 Restriction et induction

MAT 6609 : devoir 3
Restriction et induction
Date de remise : le 15 avril au cours
Question 1 : soit H ⊂ G un sous-groupe du groupe fini de G et soit S = {si , 1 ≤ i ≤ |G/H|}
un famille de représentants des classes à gauche modulo H. Soit W ⊂ CH ⊂ CG un CHsous-module.
(1)
(a) Montrer que, comme espaces vectoriels,
W↑G=
M
sW.
s∈S
Comme d’habitude, sW = {sw | w ∈ W}.
(1)
0 1
(b) Soit ρ : A4 → GL(2, C) définie par ρ((12)(34)) = id et ρ((123)) = −1
−1 et soit W
le module associé. Obtenir les matrices représentant les éléments (12), (23) et (34) dans la
représentation associée au module W ↑ S4 .
Question 2 : soit X un ensemble fini sur lequel G opère. (Ceci veut dire qu’il existe une
fonction G × X → X notée par (g, x) 7→ gx tel que ex = x et (gh)x = g(hx) pour tout x ∈ X
et g, h ∈ G.) On note par CX l’espace vectoriel des combinaisons linéaires formelles des
éléments de X. Puisque G opère sur X, CX est un CG-module (de permutation). Soit ρ la
représentation associée et χ son caractère.
(1)
(a) On appelle orbite de x, notée Gx, l’ensemble des images de x par G. Soit c le nombre d’orbites distinctes. Montrer que c est égal au nombre de fois que ρ contient la représentation
triviale.
( 12 )
(b) On fait opérer G sur le produit X × X par g(x, y) = (gx, gy) pour tout g ∈ G et x, y ∈ X.
Monter que le caractère de la représentation correspondante est égal à χ2 .
(1)
(c) On dit que G agit transitivement sur X si c = 1. On dit que G agit doublement transitivement
si, quels que soient x, y, x 0 , y 0 ∈ X tels que x 6= y et x 0 6= y 0 , il existe g ∈ G tel que x 0 = gx et
y 0 = gy. Montrer l’équivalence des quatre énoncés suivants.
(i) G est doublement transitif ;
(ii) l’action de G sur X × X possède deux orbites, la diagonale et la complémentaire ;
(iii) hχ2 | 1i = 2 ;
(iv) χ − 1 est un caractère irréductible non trivial.
(Noter que, si χ est un caractère réel, alors hχ|χi = hχ2 |1i.)
(1)
(d) Soit H un sous-groupe de G et X = G/H l’ensemble des classes à gauche de H dans G.
G opère sur X avec caractère χ. Montrer que χ = 1H ↑ G.
( 21 )
(e) Donner un exemple d’un groupe G et d’un de ses sous-groupes H tels que (1H ↑ G) − 1G
soit irréductible.
Question 3 : soit K, H deux sous-groupes du groupe fini G. Pour un s ∈ G fixé, l’ensemble
KsH = {ksh ∈ G | k ∈ K, h ∈ H} est nommé la double classe de s dans G modulo (K, H) ou
simplement la double classe de s. L’ensemble des doubles classes est noté K \ G / H.
( 21 )
(a) Montrer que les doubles classes distinctes de G forment une partition de G.
1
( 12 )
(b) Vrai ou faux : |KsH| = |KtH| pour tout K, H, G et s, t ∈ G. (Le prouver si c’est vrai, trouver
un contre-exemple si c’est faux.)
(1)
(c) Soit S une famille de représentants des doubles classes KsH. Soit W un CH-module et ρ
la représentation associée. Pour s ∈ S, soit le sous-groupe Hs = sHs−1 ∩ K et notons par Ws
le CHs -module obtenu en définissant ρs : Hs → GL(W) par ρs (x) = ρ(s−1 xs) pour x ∈ Hs .
Montrer que :
M
(Ws ↑ K).
(W ↑ G) ↓ K '
s∈S
Suggestion : considérer les sous-espaces V(s) engendrés par tous les xW avec x ∈ KsH.
(1)
(d) Soit H ⊂ G et W un CH-module. Montrer que, pour que W ↑ G soit irréductible, il faut
et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites :
(i) W est irréductible et
(ii) pour tout s ∈ G mais 6∈ H, les deux représentations Ws et W ↓ Hs ne possèdent aucun
facteur de décomposition commun.
(1)
(e) Un exemple : soit H = A5 et G = S5 . Vérifier que A5 \ S5 / A5 = {A5 eA5 , A5 (12)A5 }.
Soit le caractère irréductible ψ4 de A5 et W le module irréductible associé. (Les tables de
caractère de S5 et A5 sont données aux pages 201 et 221 de James & Liebeck.) Donner les
caractères de W(12) et W ↓ H(12) . Est-ce que W ↑ S5 est irréductible ?
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