cours proportionnalité

4ème
Cours Proportionnalité
I / Quelques définitions
a) Avec un tableau
On dit qu’il y a proportionnalité dans un tableau lorsque l’on peut passer d’une ligne à
l’autre en multipliant par un même nombre.
Exemples :
2
4
3
6
5
10
10
20
× 2
× 0,1
10
1
5
0,5
0,3
0,03
1
0,1
Les nombres 2 et 0,1 sont des coefficients de proportionnalité.
b) Proportionnalité et représentation graphique
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés sur
une droite passant par l’origine des axes.
Exemple : Voici un tableau de proportionnalité concernant le prix du raisin.
Poids x (en kg)
Prix y (en €)
1
3,50
3
10,50
4
14
5
17,50
La représentation graphique de ce tableau est une droite passant par l’origine.
Attention : La lecture d’un graphique ne donne qu’un ordre de grandeur. Seul un calcul donne
avec certitude la valeur exacte.
1
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II /Quatrième proportionnelle
Exemple : On suppose que dans une coopérative le volume et le prix du vin sont proportionnels.
15 l de vin coûtent 24 € ; combien coûtent 23 L ?
Méthode 1 : tableau de proportionnalité
Volume de vin ( en
litres )
Prix ( en euros )
15
23
24
x
Produit en croix : 15x = 23 × 24 ( = 552 )
x=
552
= 36,8
15
23 L de vin coûtent 36,8 €.
Méthode 2 : « passage à l’unité »
15 L coûtent 24 €, donc 1 L coûte 24 : 15 = 1,6 €
Donc 23 L coûtent : 23 × 1,6 = 36,8 €.
Cela s’appelle rechercher une quatrième proportionnelle.
III / Pourcentages
Rappel : Appliquer un pourcentage à une quantité revient à la multiplier par une fraction.
Exemple : 40 % de 600 € : 600 ×
40
= 600 × 0,4
100
= 240
Exemples d’utilisation :
La classe de 4ème A est composée de 26 élèves : 4 garçons et 22 filles.
Le pourcentage de garçons est :
nombre de garçons
4
=
nombre d'élèves total
26
≈ 0,154 soit 15,4 %.
18 filles sont nées en 1996 ; le pourcentage de filles nées en 1985 est donc :
nombre de filles nées en 96
nombre total de filles
18
≈ 0,820 soit 82 %.
soit
22
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Cours Proportionnalité
Il est important de savoir par rapport à quoi on calcule un pourcentage ! !
Un CD passe de 16 € à 18 €. Quel est le pourcentage d’augmentation ?
Ecart de prix : 18 – 16 = 2
On calcule
écart de prix
= 2 = 0,125 soit 12,5 % d’augmentation.
prix initial
16
Remarque : Les pourcentages ne s’additionnent pas ni ne se soustraient !
Exemples : Une TV coûte 150 €. On augmente son prix de 20% puis on le baisse de 20%.
Son prix est :
20
20
= 30 donc 180 € après l’augmentation, puis : 180 ×
= 36 d’où 180 – 36 = 144 €
100
100
après la baisse.
Finalement, on ne retrouve pas le prix de départ !
150 ×
Cette même TV augmente d’abord de 10% puis de 20%. A-t-elle augmenté de 30% ?
150 ×
10
20
= 15 donc 165 €, puis : 165 ×
= 33 d’où 165 + 33 = 198 € ( prix définitif )
100
100
150 ×
30
= 45 d’où 195 € après augmentation de 30%.
100
L’augmentation totale est de
48 = 0,32 soit 32 % .
150
3
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IV / Vitesse moyenne
1) Définition
La vitesse d’un voiture, par exemple, n’est pas toujours la même tout au long d’un trajet. Mais
si cette voiture parcourt 240 km en 3 h, elle parcourt en moyenne 80 km durant chaque heure.
On dit que sa vitesse moyenne est 80 km/h.
La vitesse moyenne v d’un mobile parcourant une distance d pendant une durée t est le
quotient de d par t :
v =
On a aussi d = vt et t =
d
t
d
v
Cette vitesse s’exprime généralement en kilomètres par heure que l’on note km/h (km.h-1) ou
en mètres par seconde que l’on note m/s (ou m.s-1)
2) Représentation graphique
Nous avons le tableau suivant donnant la distance parcourue en fonction du temps pour le train
Paris – Berlin.
t (en heures)
distance (en
kilomètres)
1
130
3
390
3,5
455
5
650
6,5
845
Représenter graphiquement ce tableau avec l’échelle suivante :
1 cm en abscisse représente 1 heure, 1 cm en ordonnée représente 100 kilomètres.
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Cours Proportionnalité
Lire sur le graphique et calculer :
- Distance parcourue en 4h et 30 minutes ? ( 585 km )
- Temps mis pour parcourir 300 km ? ( ≈ 2,3 h soit 2h et 18 min environ )
- Temps mis pour parcourir 450 km ? ( ≈ 3,5 h) , …..
Remarque : on a également t =
d
et d = vt
v
3) Exemples: conversion km/h en m/s.
a) exprimer la vitesse 30 km/h en m/s :
En 1h, on parcourt 30 km soit 30000 m , 1 h = 3600 s
30000
Donc la vitesse est :
≈ 8,33 m/s.
3600
b) Un avion de chasse vole à la vitesse constante de 500 m/s.
Quelle distance aura-t-il parcouru ( en km ) en 2 heures ?
En 1 s, il parcourt 500 m ; en 3600 s, 500 × 3600 = 1 800 000 m en 1 heure soit 1800
km.
Il parcourt donc 3600 km en 2 heures.
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