cours integrales generalisees

Chapitre 7
Intégrales généralisées
7.1
Introduction
Pour tout intervalle fermé borné I = [a, b] avec a et b réels, et pour toute fonction f continue
�b
ou continue par morceaux sur I, il est possible de définir l’intégrale de Riemann a f (t)dt comme
limite de somme de Riemann. Il s’agit d’étendre cette définition à� des fonctions définies sur
+∞
l’ouvert ]a, b[ borné ou non. Par exemple peut-on donner un sens à 0 Ln(x)dx ?
7.2
Cas où I =
sur [a, b[
7.2.1
�b
a
f (t)dt avec b ∈ R ∪ {+∞} et f continue
Definition
Définition 7.2.1 Soit a ∈ R
� xet b ∈ R ∪ {+∞}, la fonction f est continue sur [a, b[. On pose
pour tout x ∈ [a, b[ : F (x) = a f (t)dt la primitive de f qui s’annule en a. Si limx→b F (x) existe
et est finie, on dit que l’intégrale généralisée converge et on note
�
b
f (t)dt = lim F (x).
x→b
a
Sinon on dit que l’intégrale généralisée diverge
Remarques
1. De même on définit
�b
a
f (t)dt lorsque f est définie continue sur ]a, b].
2. Si b ∈ R et si f est continue sur [a, b], alors l’intégrale de Riemann coincide avec l’intégrale
généralisée car la primitive F est continue en b.
3. La nature de l’intégrale généralisée dépend du comportement de f au voisinage de b. La
preuve est
� x immédiate il suffit d’appliquer la relation de Chasles : soit c ∈ [a, b[, on pose
G(x) = c f (t)dt, on a
� c
F (x) =
f (t)dt + G(x).
�b
a
�b
Donc si a f (t)dt converge et vaut l, on en déduit que c f (t)dt converge et vaut l − F (c).
La réciproque est immédiate. Par conséquent la valeur de l’intégrale est modifiée mais pas
37
38
CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
sa nature.
4. Il n’ y a pas de condition nécessaire de convergence.
Définition 7.2.2 Le reste d’une intégrale géralisée convergente est une fonction notée R définie
par
� b
� x
R(x) =
f (t)dt −
f (t)dt
a
a
pour tout x ∈ [a, b[.
7.2.2
–
–
Exemples : les intégrales de Riemann
� +∞
1
α dt converge
�11 1 t
dt converge si
0 tα
� +∞ 1
1
si et seulement si α > 1 et dans ce cas 1
α dt = α−1 .
�1 1 t
1
et seulement si α < 1 et dans ce cas 0 tα dt = 1−α
.
la preuve s’effectue par calcul direct de la primitive.
�b 1
Etudier le cas a (b−t)
α dt.
7.2.3
Exercices
Etudier les intégrales suivantes
�1
1. 0 Ln(t)dt = −1 : la fonction Ln(x) est continue sur ]0, 1], on connait une primitive de
Ln.
� +∞
2. 1 Ln(t)dt diverge.
� +∞
3. 0 e−t dt converge et vaut 1.
�0
4. −∞ e−t dt diverge.
� +∞
5. 0 sin(t)dt diverge.
7.2.4
Extension
Définition 7.2.3 On considère une fonction f continue sue ]a, b[ avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞,
�b
l’intégrale généralisée a f (t)dt est convergente si il existe c ∈]a, b[ tel que les deux intégrales
�c
�b
généralisées a f (t)dt et c f (t)dt convergent et dans ce cas on a
�
b
f (t)dt =
a
�
c
f (t)dt +
a
�
b
f (t)dt.
c
remarque : cette définition est indépendante du point c.
Quelques exemples
� +∞
1. −∞ tdt
� +∞
2. 0 Ln(t)dt
� 1 t−1
3. 0 Ln(t)
dt est faussement généralisée.
� +∞ −|t|
4. −∞ e dt converge et vaut 2.
7.2. CAS OÙ I =
7.2.5
�B
A
F (T )DT AVEC B ∈ R ∪ {+∞} ET F CONTINUE SUR [A, B[
39
Intégrales plusieurs fois généralisées
Définition 7.2.4 On considère une fonction f continue sur ]a, c[ et sur ]c, b[avec −∞ ≤ a <
�b
c < b ≤ +∞, l’intégrale généralisée a f (t)dt est convergente si les deux intégrales généralisées
�c
�b
f (t)dt et c f (t)dt convergent et dans ce cas on a
a
�
7.2.6
b
f (t)dt =
a
�
c
f (t)dt +
a
�
b
f (t)dt.
c
Propriétés des intégrales convergentes
Théorème 7.2.5 Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et deux fonctions f et g continues sur ]a, b[. On
�b
suppose que a f (t)dt converge, alors on a les propriétés suivantes :
1. Chasles : pour tout c ∈]a, b[ :
�
b
f (t)dt =
a
�
c
f (t)dt +
a
�
b
f (t)dt.
c
2. Linéarité : pour tous réels λ et µ :
�
b
λf (t) + µg(t)dt = λ
a
�
b
f (t)dt + µ
a
�
b
g(t)dt
a
dès que deux intégrales sur les trois convergent.
�b
3. Positivité si f ≥ 0 sur ]a, b[, alors a f (t)dt ≥ 0.
�b
4. Stricte Positivité si f > 0 sur ]a, b[, alors a f (t)dt > 0.
�b
�b
5. Croissance si f ≥ g sur ]a, b[, alors a f (t)dt ≥ a g(t)dt.
Pour la stricte positivité, on a
est positive.
7.2.7
�b
a
f (t)dt ≥
�x
a
f (t)dt > 0 par croissance de F (x) puisque f
Méthodes de calcul
Par primitive ou intégration par parties
�x
Soit f continue sur [a, b[, on pose F (x) = a f (t)dt. Pour calculer F on applique les méthodes
classiques de calcul d’une intégrale de Riemann.
par changement de variable
Cette méthode peut s’utiliser directement sur l’intégrale généralisée sans modifier sa nature
ni sa valeur si il y a convergence.
40
CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Théorème 7.2.6 Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et une fonction f continue sur ]a, b[. On suppose
qu’il existe une fonction φ de classe C 1 et strictement monotone sur ]a, b[, alors les limites
limt→a φ(t) et limt→b φ(t) existent et valent respectivement l1 et l2 .
�l
�b
Alors les intégrales a f (φ(t))φ� (t)dt et l12 f (u)du sont de même nature. De plus si l’une
converge l’autre converge et elles sont égales. On dit que l’on pose u = φ(t) comme changement
de variable.
remarque : la stricte monotonie de φ n’est pas nécessaire avec les intégrales de Riemann.
� +∞ t2
exemple : Etudier I = 0
(1+t2 )2 dt avec le changement de variable x = Arctan(t).
solution : on pose φ(t) = Arctan(t) cette fonction est de classe C 1 et strictement monotone sur
[0, +∞[, et φ(0) = 0 et limt→+∞ φ(t) = π/2 d’ou
I=
7.3
7.3.1
�
π/2
0
(tan(x))2
dx =
(1 + (tan(x))2 )
�
π/2
1
sin (x)dx =
2
2
0
�
π/2
0
1 − cos(2x)dx =
π
.
4
Cas où f est une fonction positive sur [a, b[
Théorème des fonctions monotones
Théorème 7.3.1 on a
– Toute fonction F croissante et majorée sur [a, b[ admet une limite finie en b.
– Toute fonction F croissante et non majorée sur [a, b[ admet une limite infinie en b.
preuve
– si f est majorée sur [a, b[, soit A = {f (x), x ∈ [a, b[}, A est un ensemble non vide et
majorée, il admet une borne supérieure dans IR notée M . On montre que lim f (x) = M .
x→b
– Si f n’est pas majorée, pour tout A réel, il existe xo tel que f (xo ) > A. Comme f est
croissante pour tout x ≥ xo , f (x) > A.
7.3.2
Condition nécessaire et suffisante de convergence
Théorème 7.3.2� Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et une fonction f continue et positive sur [a, b[.
x
On pose F (x) = a f (t)dt, puisque f est positive, F est une fonction croissante sur [a, b[ donc
�b
1. a f (t)dt converge si et seulement si F est majorée sur [a, b[.
�b
2. a f (t)dt diverge si et seulement si lim F (x) = +∞.
x→b
preuve La fonction F est croissante car sa dérivée f est positive. La deuxième se déduit
avec le théorème des fonctions monotones.
7.3. CAS OÙ F EST UNE FONCTION POSITIVE SUR [A, B[
7.3.3
41
Théorème de comparaison
Théorème 7.3.3 Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et deux fonction f et g continues et positives sur
[a, b[. Si il existe c ∈ [a, b[ tel que pour tout x ∈ [c, b[, 0 ≤ f (x) ≤ g(x) alors
�b
�b
1. a g(t)dt converge implique que a f (t)dt converge.
�b
�b
2. a f (t)dt diverge implique que a g(t)dt diverge.
remarque : la positivité est une
ce résultat. Par exemple
� +∞hypothèse fondamentale �dans
+∞ 1
−x ≤ x12 sur [1, +∞[ et pourtant 1 −xdx diverge alors que 1
x2 dx converge.
Corollaire 7.3.4 Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et deux fonction f et g continues et positives sur
[a, b[. Si f est négligeable devant g en b soit f = o(g), alors
�b
�b
1. a g(t)dt converge implique que a f (t)dt converge.
�b
�b
2. a f (t)dt diverge implique que a g(t)dt diverge.
Règle xα f (x).
Corollaire 7.3.5 Règle des équivalents Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et deux fonctions f et
�b
g continues et positives sur [a, b[. Si f est équivalent à g en b soit f ∼ g, alors a g(t)dt et
�b
f (t)dt sont de même nature.
a
Une conséquence de cette règle est que si f admet une limite finie non nulle en +∞, alors
� +∞
f (t)dt diverge. Par contre une intégrale peut être convergente sans que la fonction tende
a
vers 0, par exemple la fonction dont
le graphe sont des triangles centrs en tout entier k de base
� +∞
1/k 3 et de hauteur k. Ou encore 1 cos(x2 )dx converge.
7.3.4
Comparaison Série Intégrale
Théorème 7.3.6 Soit une fonction f continue, décroisante et positive sur [a, +∞[, avec
� +∞
a > 0. Alors la série de terme général f (n) et a f (t)dt sont de même nature.
preuve Soit k ≥ a, pour tout x ∈ [k, k + 1[ la décroissance de f permet d’écrire
f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k)
soit en intégrant
f (k + 1) ≤
D’où
N
�
k=E(a)+1
f (k + 1) ≤
�
�
k+1
k
f (t)dt ≤ f (k)
N +1
E(a)+1
f (t)dt ≤
N
�
f (k)
k=E(a)+1
où E(a) désigne la partie entière de a. On déduit le résultat de cette double inégalité.
Application : on obtient la convergence des séries de Riemann.
42
CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
7.4
La fonction gamma
Définition 7.4.1 On considère
Γ(x) =
�
+∞
tx−1 e−t dt.
0
Théorème 7.4.2 Le domaine de définition de la fonction Γ est ]0, +∞[.
preuve en +∞, on utilise théorème de comparaison avec x2 f (x) et en 0 on utlise un
équivalent.
cf essec 94
Théorème 7.4.3 Pour tout entier n, Γ(n + 1) = n!.
preuve récurrence
remarque formule à lire dans les deux sens.
7.5
Absolue convergence
�b
Définition 7.5.1 Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et une fonction f continue sur [a, b[. Si a |f (t)|dt
�b
�b
converge, on dit que l’intégrale a f (t)dt est absolument convergente. Si l’intégrale a f (t)dt
�b
�b
converge et a |f (t)|dt diverge, on dit que l’intégrale a f (t)dt est semi convergente.
Théorème 7.5.2 Soit −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et une fonction f continue sur [a, b[. Si l’intégrale
�b
�b
f (t)dt est absolument convergente, alors l’intégrale a f (t)dt converge et dans ce cas
a
|
�
b
a
f (t)dt| ≤
�
b
a
|f (t)|dt.
preuve L’astuce consiste à écrire que
En effet si l’intégrale
les intégrales
converge et
�b
a
�b
a
f = (f + |f |) − |f |.
f (t)dt est absolument convergente, comme
−|f (t)|dt et
�
�b
a
0 ≤ f + |f | ≤ 2|f |,
f + |f (t)|dt convergent, donc par linéarité l’intégrale
b
f (t)dt =
a
�
b
a
f + |f (t)|dt −
�
b
a
|f (t)|dt.
�b
a
f (t)dt
7.5. ABSOLUE CONVERGENCE
43
On obtient l’inégalité en revenant à la définition
|
�
x
a
f (t)dt| ≤
�
x
a
|f (t)|dt ≤
�
b
a
|f (t)|dt.