Contrôle final 2015

1ère année R&T
M1205
Hugues Garnier
Contrôle des connaissances final - 1h30
Calculatrice et documents non autorisés
Exercice 1.
Soient les signaux définis par :


t
si 0 ≤ t < 2





si 2 ≤ t < 3
2
s1 (t) = −t + 5
si 3 ≤ t < 4


1
si t ≥ 4




0
sinon
(
1 − |t|
s2 (t) =
0
s3 (t) = 2 e−t u(t);
si − 1 ≤ t ≤ 1
sinon
s4 (t) = 2 et u(−t)
Tracez précisément en couleur, les uns en dessous des autres, les 4 signaux.
Exercice 2.
Figure 1:
Soit le signal x(t) représenté sur la figure 1.
1. Donner une description mathématique du signal.
2. Tracer les unes en dessous des autres, en couleur et sans calcul, les représentations graphiques
de :
• x(t − 2)
• x(2t)
• x 2t
• x(−t)
• −x(t)
•
1
3 x(t)
−1
1
Exercice 3.
Tracer précisément les uns en dessous des autres, sur 2 périodes, les signaux suivants :
π
2πt
s1 (t) = 2 cos t +
;
s3 (t) = |s2 (t)|
;
s2 (t) = sin
4
3
Exercice 4.
Figure 2:
1. Donner une description mathématique du signal x(t) représenté sur la Figure 2.
2. Reconstituer le signal x(t) à l’aide de signaux de type échelon u(t).
Exercice 5.
Figure 3:
1. Donner une description mathématique du signal y(t) représenté sur la Figure 3.
2. Reconstituer le signal y(t) à l’aide de signaux de type échelon u(t) et rampe r(t).
Exercice 6.
Soit le signal x(t) défini par :
x(t) =
t
(u(t) − u(t − 2))
2
1. Tracer précisément en couleur le signal x(t).
2. x(t) est-il pair, impair ou ni l’un ni l’autre? Justifier.
3. Déterminer et tracer la décomposition paire/impaire du signal x(t).
2
Rappel: un signal ni pair, ni impair x(t) peut s’écrire comme la somme de deux signaux, l’un pair
xp (t), l’autre impair xi (t)
x(t) = xp (t) + xi (t)
avec
1
[x(t) + x(−t)]
2
1
xi (t) = [x(t) − x(−t)]
2
xp (t) =
Exercice 7.
Soient les signaux x(t), y(t) et z(t) définis par :
t
x(t) = rect
2
y(t) = 2δ(t − 2) − δ(t) + 2δ(t + 1)
t
z(t) = −2δ(2t) + δ
2
1
Rappel : δ(at) = |a|
δ(t).
Tracer précisément en couleur, les unes en dessous des autres, les représentations graphiques de
x(t), y(t) et z(t).
Exercice 8.
On s’intéresse aux réponses temporelle et fréquentielle d’un filtre passe-haut CR. La tension d’entrée
est notée e(t) et la tension aux bornes de la résistance est notée s(t). L’équation différentielle liant
l’entrée à la sortie s’écrit :
ds(t)
de(t)
RC
+ s(t) = RC
dt
dt
On supposera RC = 0, 01s.
1. On envoie un échelon d’amplitude E à l’entrée du montage, e(t) = Eu(t). La réponse dite
indicielle du filtre s’écrit :
t
s(t) = Ee− RC u(t)
Tracer précisément la réponse indicielle s(t) du filtre CR pour E = 10V.
2. La réponse en fréquence du filtre s’écrit :
H(jω) =
j ωωc
1 + j ωωc
avec
ωc =
1
RC
Elle peut également s’écrire :
H(jω) = |H(jω)| ejϕ(jω)
avec
| ωωc |
2
1 + ωωc
|H(jω)| = r
ϕ(jω) =
π
− arctan
2
ω
ωc
Déterminer et rassembler dans un tableau les valeurs de |H(jω)| et ϕ(jω) pour ω = 0, ω = ωc
et ω → +∞.
3. En déduire le tracé de l’allure des réponses fréquentielles en amplitude |H(jω)| et en phase
ϕ(jω) pour ω ≥ 0. Vérifier la caractère passe-haut du filtre.
3